Somatório telescópico: como é resolvido e exercícios resolvidos

O somatório telescópico é um ramo de operações com séries numéricas. Ele aborda as somas de elementos de um valor inicial a “n” de expressões cujo argumento obedece a qualquer um dos seguintes padrões:

(F x – F x + 1 ); (F x + 1 – F x )

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Como também:

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Fonte: Pixabay.com

Eles representam uma soma de elementos que, quando desenvolvidos, estão sujeitos a cancelamentos de termos opostos. Tornando possível definir a seguinte igualdade para somas telescópicas:

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Seu nome deriva do relacionamento com a aparência de um telescópio clássico, que poderia ser dobrado e implantado, mudando significativamente sua dimensão. Da mesma forma, os somatórios telescópicos, de natureza infinita, podem ser resumidos na expressão simplificada:

F 1 – F n + 1

Demonstração

Ao desenvolver a soma dos termos, a eliminação de fatores é bastante óbvia. Onde, para cada um dos casos, elementos opostos aparecerão na próxima iteração.

O primeiro caso, (F x – F x + 1 ), será tomado como exemplo , pois o processo funciona de maneira homóloga para (F x + 1 – F x ).

Desenvolvendo os 3 primeiros valores {1, 2, 3}, observa-se a tendência de simplificação

X 1 (F 1 – F 1 + 1 ) = F 1 – F 2

X 2 (F 2 – F 2 + 1 ) = F 2 – F 3

X 3 (F 3 – F 3 + 1 ) = F 3 – F 4

Onde, ao expressar a soma dos elementos descritos:

X 1 + X 2 + X 3 = F 1 – F 2 + F 2 – F 3 + F 3 – F 4

Note-se que os termos F 2 e F 3 são descritos juntamente com seus opostos, o que torna sua simplificação inevitável. Da mesma forma que é notado que os termos de F 1 e F 4 são mantidas.

Se a soma foi feita de x = 1 a x = 3, significa que o elemento F 4 corresponde ao termo genérico F n + 1.

Demonstrando assim a igualdade:

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Como é resolvido?

O objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendos.

Para sua resolução, somente será necessário avaliar os termos F 1 e F n + 1 . Essas substituições simples compõem o resultado final da soma.

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A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.

O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum.

O método de fatoração característico em somas telescópicas é o de frações simples. Isso ocorre quando uma fração original é dividida em uma soma de várias frações, onde o padrão telescópico (F x – F x + 1 ) ou (F x + 1 – F x ) pode ser observado .

Decomposição em frações simples

Para verificar a convergência das séries numéricas, é muito comum transformar expressões racionais com o método de frações simples. O objetivo é modelar o argumento para dar a forma de um somatório telescópico.

Por exemplo, a seguinte igualdade representa uma decomposição em frações simples:

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Ao desenvolver a série numérica e aplicar as propriedades correspondentes, a expressão assume a seguinte forma:

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Onde você pode ver a forma telescópica (F x – F x + 1 ).

O procedimento é bastante intuitivo e consiste em encontrar os valores do numerador que, sem quebrar a igualdade, permitem separar os produtos que estão no denominador. As equações que surgem na determinação desses valores são apresentadas de acordo com comparações entre os dois lados da igualdade.

Este procedimento é observado passo a passo no desenvolvimento do exercício 2.

História

É bastante incerto poder definir o momento histórico em que os somatórios telescópicos foram apresentados. No entanto, sua implementação começa a ser vista no século XVII, nos estudos de séries numéricas realizadas por Leibniz e Huygens.

Ambos os matemáticos, ao explorar a soma de números triangulares, começam a notar tendências na convergência de certas séries de elementos sucessivos. Mas ainda mais interessante é o início da modelagem dessas expressões, em elementos que não necessariamente acontecem.

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De fato, a expressão usada anteriormente para se referir a frações simples:

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Foi apresentado por Huygens e imediatamente chamou a atenção de Leibniz. Quem, com o tempo, pôde observar a convergência para o valor 2. Sem saber, ele implementou o formato de soma telescópica.

Exercícios

Exercício 1

Defina para qual termo a seguinte soma converge:

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Ao desenvolver manualmente a soma, o seguinte padrão é observado:

(2 3 – 2 4 ) + (2 4 – 2 5 ) + (2 5 – 2 6 ). . . . (2 10 – 2 11 )

Onde os fatores de 2 4 a 2 10 têm partes positivas e negativas, evidenciando seu cancelamento. Os únicos fatores que não serão simplificados serão o primeiro “2 3 ” e o último “2 11 “.

Dessa maneira, ao implementar os critérios de soma telescópica, você obtém:

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Exercício 2

Transforme o argumento em uma soma do tipo telescópico e defina a convergência da série:

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Conforme indicado na declaração, a primeira coisa será realizar a decomposição em frações simples, a fim de repensar o argumento e expressá-lo telescopicamente.

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Você deve encontrar 2 frações cujos denominadores são respectivamente “n” e “n + 1”, onde o método usado abaixo deve atingir os valores do numerador que atendem à igualdade.

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São definidos os valores de A e B. Primeiro, é feita a soma das frações.

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Em seguida, os denominadores são simplificados e uma equação linear é estabelecida.

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Na próxima etapa, a expressão à direita é operada, até que um padrão comparável ao “3” à esquerda seja alcançado.

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Para definir as equações a serem usadas, os resultados de ambos os lados da igualdade devem ser comparados. Ou seja, nenhum valor da variável n é observado no lado esquerdo, então A + B terá que ser igual a zero.

A + B = 0; A = -B

Por outro lado, o valor constante A terá que ser igual ao valor constante 3.

A = 3

Portanto.

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A = 3 e B = -3

Depois que os valores do numerador tiverem sido definidos para frações simples, o somatório será reajustado.

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Onde a forma de soma telescópica genérica já foi alcançada. A série telescópica é desenvolvida.

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Onde, ao dividir por um número muito grande, o resultado estará cada vez mais próximo de zero, observando a convergência da série com o valor 3.

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Esse tipo de série não poderia ser resolvido de outra forma, devido à quantidade infinita de iterações que definem o problema. No entanto, esse método, juntamente com muitos outros, enquadra o ramo de estudo das séries numéricas, cujo objetivo é determinar os valores de convergência ou definir a divergência dessas séries.

Referências

  1. Lições de cálculo infinitesimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
  2. Cálculo Integral: Sucessões e Séries de Funções. Antonio Rivera Figueroa. Patria Editorial Group, 21 de outubro. 2014
  3. Um Curso de Cálculo e Análise Real. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 de junho 2006
  4. Série infinita Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
  5. Elementos da teoria dos processos infinitos. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporado, 1923.

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