Inclinação de uma linha: fórmula e equações, representação, exemplos

Inclinação de uma linha: fórmula e equações, representação, exemplos

A inclinação de uma linha é a tangente do ângulo θ que a linha forma com o eixo horizontal, que por convenção é medido no sentido anti-horário. A inclinação de qualquer linha é sempre constante e é por isso que é uma de suas características mais essenciais.

Para calcular, você precisa conhecer dois pontos na linha, cujas coordenadas são (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ). Entre os dois pontos, um segmento que pertence à linha é desenhado e, em seguida, os segmentos que representam a distância entre x 1 e x 2 e entre y 1 e y 2 são desenhados , como na figura abaixo.

Os três segmentos formam um triângulo retângulo cujas pernas são: Δx = x 2 – x 1   e Δy = y 2 – y 1 . Eles correspondem respectivamente a um deslocamento horizontal e vertical.

Agora definimos um quociente, chamado tangente do ângulo θ e abreviado tg θ, que é precisamente a inclinação m da linha:

m = tg θ = Δy / Δx

Observe que, para uma linha, esse ângulo permanece constante, independentemente dos pontos tomados para calcular sua tangente. De qualquer forma, esse valor nos fornece uma medida de quão acentuada é a linha.

Através das coordenadas dos pontos selecionados, a fórmula da inclinação é:

m = (y – y 1 ) / (x 2 – x 1 )

Representação gráfica

Abaixo, temos várias situações em que o conceito de inclinação é relevante. Seu valor pode ser facilmente calculado medindo o respectivo deslocamento vertical e horizontal e, em seguida, fazendo o quociente indicado no início.

Isso nos dá uma idéia da irregularidade ou declínio de alguma estrutura, como uma rampa, um telhado ou uma estrada:

A inclinação da rampa mostrada na figura 2 à esquerda é m = 1/12, a do telhado é m = 1/3 e a da estrada é expressa em porcentagem. Uma porcentagem de 10% significa que, a cada 100 metros que você avança horizontalmente, você ganha 10 metros de altura:

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Nesse caso, a inclinação é 10/100 = 0,1, que expressa em porcentagem é equivalente a 10%.

Tipos de declive

A inclinação de uma linha pode ser positiva, negativa ou nula. Por exemplo, a linha mostrada na figura 1 tem uma inclinação positiva. Agradecemos imediatamente porque vemos que a linha “sobe” se a vemos da esquerda para a direita.

Se a linha descer olhando da esquerda para a direita, sua inclinação será negativa. E quando uma linha é horizontal, sua inclinação é zero.

Finalmente, para linhas verticais, a inclinação é indefinida.

A representação gráfica de cada tipo está abaixo:

Como é calculada a inclinação de uma linha?

Calcular a inclinação é muito simples, basta encontrar o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal e depois fazer o quociente entre os dois.

Quando você tem o desenho da linha no plano cartesiano, estes deslocamentos são encontrados ao escolher quaisquer dois pontos na linha P 1 e P 2 , determinar as suas coordenadas e aplicar a definição dada no início:

m = (y – y 1 ) / (x 2 – x 1 )

Como o valor da inclinação é independente da escolha de P 1 e P 2 , vamos escolher qualquer ponto P das coordenadas (x, y) que pertence à linha, cujas coordenadas não são conhecidas, e outro ponto P 1 cujas coordenadas são: (x 1 , y 1 ).

A inclinação é:

m = (y – y 1 ) / (x – x 1 )

Podemos limpar o y :

y – y 1 = m (x – x 1 )

Agora, suponha que o ponto P 1  seja a interseção da linha com o eixo vertical, com coordenadas (0, b). Substituindo isso na equação acima:

y – b = m (x – 0) → y = mx + b

Essa expressão é conhecida como equação da linha na forma de interseção de encosta , pois a linha é inequivocamente determinada quando sua encosta e sua interseção com o eixo vertical são conhecidas.

Conhecer apenas a inclinação não é suficiente para caracterizar uma linha no plano, pois linhas infinitas podem ter a mesma inclinação, o que significa que são paralelas, mas passam por outros pontos.

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Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Encontre a inclinação da linha mostrada na figura a seguir:

Solução

P 1 e P 2 são dois pontos de fácil leitura que serão utilizados para o cálculo, observe também que são as respectivas interseções com os eixos de coordenadas.

As coordenadas de cada ponto são:

P 1 (4,0) e P 2 (0,4)

Substituindo na equação pela inclinação:

m = (4 – 0) / (0 – 4) = 4 / (- 4) = -1

A inclinação é negativa, o que era esperado após a visualização do gráfico.

– Exercício 2

Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1, -6) e é paralela à reta y = 2x – 3.

Solução

A inclinação da reta procurada deve ser a mesma de y = 2x – 3, pois são paralelas. Para esta linha, a inclinação é m = 2; portanto, a que procuramos tem a forma:

y – y 1 = 2 (x – x 1 )

Agora substituímos o ponto pelo qual nossa linha passa: x 1 = 1 e y 1 = -6.

y – (-6) = 2 (x – 1)

Portanto y = 2x – 2-6 → y = 2x – 8

Exemplos

Duas quantidades podem ser relacionadas de tal forma que seu gráfico seja uma linha reta. Nesse caso, diz-se que as quantidades têm dependência linear e a inclinação da linha pode ser interpretada como a taxa de variação de uma variável para outra.

Exemplo 1

Suponha que uma piscina se encha de água a uma taxa constante ao longo do tempo. Naturalmente, quanto mais o tempo passa, mais água é armazenada. Bem, a taxa na qual o pool é preenchido é apenas a inclinação da linha que relaciona volume ao tempo:

Neste exemplo, a piscina enche à taxa de 6/3 galões por minuto ou 2 galões / minuto.

Exemplo 2

Quando um móvel viaja em linha reta com velocidade constante, a inclinação do gráfico de posição em função do tempo não é outra senão a referida velocidade. O gráfico mostra um celular com velocidade positiva, o que significa que está se afastando da origem.

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Referências

  1. Alvarez, J. A encosta de uma rodovia. Recuperado de: geogebra.es.
  2. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  3. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
  6. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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