A homotecia é um conceito matemático que descreve a relação de semelhança entre figuras geométricas que possuem proporções iguais. Neste contexto, as propriedades, tipos e exemplos de homotecia são fundamentais para compreender como as figuras podem ser ampliadas ou reduzidas mantendo a mesma forma. Este conceito é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da geometria, sendo essencial para o estudo da semelhança entre figuras geométricas. Neste artigo, exploraremos as propriedades, tipos e exemplos de homotecia para melhor compreensão deste importante conceito matemático.
Tipos de homotetia: entenda as diferentes formas dessa transformação geométrica.
A homotetia é uma transformação geométrica que consiste na ampliação ou redução de uma figura, mantendo a mesma forma. Existem diferentes tipos de homotetia, que podem ser classificados de acordo com a relação de ampliação ou redução entre as figuras.
Um dos tipos de homotetia mais comuns é a homotetia direta, que ocorre quando a figura resultante da transformação é ampliada em relação à figura original. Nesse caso, o fator de ampliação é maior que 1. Por outro lado, a homotetia inversa acontece quando a figura resultante é reduzida em relação à figura original, com um fator de ampliação menor que 1.
Além disso, também podemos falar sobre a homotetia central, que ocorre quando o centro de ampliação ou redução está localizado em um ponto específico, chamado de centro de homotetia. Já a homotetia axial acontece quando o centro de homotetia está localizado em um eixo de simetria da figura.
É importante destacar que a homotetia preserva algumas propriedades das figuras, como a forma, os ângulos e as proporções. Isso significa que mesmo após a transformação, as figuras continuam semelhantes, apenas com tamanhos diferentes.
Para exemplificar, podemos pensar em um mapa de uma cidade que é ampliado ou reduzido para uma escala maior ou menor. Nesse caso, estamos lidando com uma homotetia, onde as proporções e a forma das ruas e dos prédios são preservadas, apenas alterando o tamanho de cada elemento.
Em resumo, os diferentes tipos de homotetia nos permitem compreender como as figuras geométricas podem ser transformadas de acordo com diferentes fatores de ampliação ou redução, mantendo suas propriedades fundamentais.
Significado de homotetia na matemática: conceito fundamental de dilatação e redução de figuras geométricas.
Homotecia é um conceito fundamental da geometria que consiste na dilatação ou redução de figuras geométricas por meio de uma transformação geométrica. A homotecia é uma operação que preserva a forma e a proporção das figuras, apenas alterando o tamanho delas.
Na homotecia, a figura original e a figura transformada são semelhantes, ou seja, possuem a mesma forma, mas tamanhos diferentes. A operação de homotecia é representada por um ponto fixo chamado de centro de homotecia e um fator de proporção que indica o aumento ou a diminuição da figura.
Um dos principais usos da homotecia na matemática é na resolução de problemas de escalonamento, como em mapas ou plantas arquitetônicas. Além disso, a homotecia é utilizada em diversas áreas, como na física, engenharia e design.
Existem dois tipos de homotecia: a dilatação, que aumenta o tamanho da figura, e a redução, que diminui o tamanho da figura. Ambas as operações mantêm a forma da figura original, apenas alterando suas dimensões.
Um exemplo simples de homotecia é o aumento ou a redução de um desenho em um papel. Se multiplicarmos todas as dimensões do desenho por um mesmo fator, obteremos uma figura homotética, preservando a forma original.
Em resumo, a homotecia é uma importante ferramenta matemática que permite a dilatação e redução de figuras geométricas, preservando sua forma e proporção. Essa operação é amplamente utilizada em diversas áreas, sendo essencial para a compreensão e resolução de problemas relacionados à escala e proporção.
Descobrindo a razão de uma homotetia através de simples cálculos geométricos.
Quando nos deparamos com uma homotetia, muitas vezes queremos descobrir qual é a razão de ampliação ou redução que está sendo aplicada. Para fazer isso, podemos recorrer a simples cálculos geométricos.
Suponhamos que tenhamos dois triângulos semelhantes, um original e outro após a aplicação de uma homotetia. Se conhecemos as coordenadas dos vértices de ambos os triângulos, podemos determinar a razão de ampliação ou redução através da seguinte fórmula:
r = d’/d
Onde r é a razão de homotetia, d’ é a distância entre dois pontos correspondentes no triângulo após a homotetia e d é a distância entre os mesmos pontos no triângulo original.
Para calcular a razão de homotetia, basta escolher dois pontos correspondentes nos triângulos e calcular a distância entre eles em cada triângulo. Em seguida, basta dividir a distância do triângulo após a homotetia pela distância do triângulo original.
Assim, através de simples cálculos geométricos, podemos descobrir a razão de uma homotetia e compreender melhor as transformações geométricas que estão sendo aplicadas.
Entenda o conceito de homotetia de ampliação neste breve guia explicativo.
A homotetia de ampliação é um conceito geométrico que descreve uma transformação que amplia ou reduz uma figura em relação a um ponto chamado de centro de homotetia e um valor chamado de razão de ampliação. Quando a razão de ampliação é maior que 1, a figura é ampliada; quando é entre 0 e 1, a figura é reduzida.
Uma das propriedades mais importantes da homotetia de ampliação é que os segmentos de reta que passam pelo centro de homotetia são transformados em segmentos de reta paralelos. Além disso, os ângulos entre os segmentos de reta são preservados, ou seja, a homotetia de ampliação não altera os ângulos das figuras.
Existem diferentes tipos de homotetia, como a homotetia direta (quando a razão de ampliação é positiva) e a homotetia inversa (quando a razão de ampliação é negativa). A homotetia também pode ser classificada como isométrica (quando a razão de ampliação é igual a 1) ou anisométrica (quando a razão de ampliação é diferente de 1).
Um exemplo simples de homotetia de ampliação é o aumento de um desenho em uma folha de papel. Se dobrarmos as dimensões do desenho em relação a um ponto central, estamos realizando uma homotetia de ampliação com uma razão de ampliação maior que 1.
Homotecia: Propriedades, Tipos e Exemplos
A dilatação é uma alteração geométrica no plano que, a partir de um ponto fixo chamado centro (O), as distâncias são multiplicados por um factor comum. Desta forma, cada ponto P corresponde a outro ponto P ‘produto da transformação, e estes estão alinhados com o ponto O.
Então, homotecia é uma correspondência entre duas figuras geométricas, onde os pontos transformados são chamados homotéticos, e estes são alinhados com um ponto fixo e com segmentos paralelos entre si.
Homothecia
Homotecia é uma transformação que não possui uma imagem congruente, porque de uma figura serão obtidas uma ou mais figuras de tamanho maior ou menor que a figura original; isto é, que a homotecia transforma um polígono em outro similar.
Para que a homotecia seja cumprida, eles devem corresponder ponto a ponto e reta a reta, de modo que os pares de pontos homólogos estejam alinhados com um terceiro ponto fixo, que é o centro da homotecia.
Da mesma forma, os pares de linhas que os unem devem ser paralelos. A relação entre esses segmentos é uma constante chamada razão de homotecia (k); de modo que a homotecia possa ser definida como:
Para fazer esse tipo de transformação, você começa escolhendo um ponto arbitrário, que será o centro da homotecia.
A partir deste ponto, segmentos de linha são desenhados para cada vértice da figura a ser transformada. A escala na qual a reprodução da nova figura é feita é dada pelo motivo da homotecia (k).
Propriedades
Uma das principais propriedades da homotecia é que, pelo motivo da homotecia (k), todas as figuras homotéticas são semelhantes. Entre outras propriedades destacadas estão as seguintes:
– O centro da homotecia (O) é o único ponto duplo e isso se transforma; isto é, não varia.
– As linhas que passam pelo centro se transformam (são duplas), mas os pontos que a compõem não são duplos.
– Linhas que não passam pelo centro são transformadas em linhas paralelas; dessa forma, os ângulos da homotecia permanecem os mesmos.
– A imagem de um segmento por um homotélio do centro O e razão k, é um segmento paralelo a esse e é k vezes o seu comprimento. Por exemplo, como visto na imagem a seguir, um segmento AB para homóticos resultará em outro segmento A’B ‘, de modo que AB será paralelo a A’B’ ek será:
– ângulos homotéticos são congruentes; isto é, eles têm a mesma medida. Portanto, a imagem de um ângulo é um ângulo que tem a mesma amplitude.
Por outro lado, é possível afirmar que a homotecia varia de acordo com o valor de sua razão (k), podendo ocorrer os seguintes casos:
– Se a constante k = 1, todos os pontos são fixos porque se transformam. Assim, a figura homotética coincide com a original e a transformação será chamada de função de identidade.
– Se k ≠ 1, o único ponto fixo será o centro da homotecia (O).
– Se k = -1, a homotecia se torna uma simetria central (C); isto é, uma rotação em torno de C ocorrerá em um ângulo de 180 o .
– Se k> 1, o tamanho da figura transformada será maior que o tamanho do original.
– Se 0 <k <1, o tamanho da figura transformada será menor que o do original.
– Se -1 <k <0, o tamanho da figura transformada será menor e girado em relação ao original.
– Se k <-1, o tamanho da figura transformada será maior e girado em relação ao original.
Tipos
A homotecia também pode ser classificada em dois tipos, dependendo do valor de sua razão (k):
Homotecia direta
Ocorre se a constante k> 0; isto é, os pontos homotéticos estão do mesmo lado em relação ao centro:
O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre figuras homotéticas diretas sempre será positivo.
Homotecia reversa
Ocorre se a constante k <0; isto é, os pontos iniciais e sua homotética estão localizados nas extremidades opostas em relação ao centro da homotecia, mas alinhados com ela. O centro estará entre as duas figuras:
O fator de proporcionalidade ou razão de similaridade entre os valores homotéticos inversos sempre será negativo.
Composição:
Quando vários movimentos são executados sucessivamente até que uma figura igual ao original seja obtida, uma composição de movimentos ocorre. A composição de vários movimentos também é um movimento.
A composição entre dois homotetos resulta em uma nova homotecia; isto é, existe um produto de homótica no qual o centro será alinhado com o centro das duas transformações originais, e a razão (k) é o produto das duas razões.
Assim, a composição de dois homotecias H 1 (S 1 , k 1 ) e H 2 (O 2 , k 2 ), a multiplicação das suas razões: k 1 x k 2 = 1 vai resultar em uma relação de homotetia k 3 = k 1 x k 2 . O centro desta nova homotecia (O 3 ) estará localizado na linha O 1 O 2 .
Homotecia corresponde a uma mudança plana e irreversível; se forem aplicadas duas homóticas que tenham o mesmo centro e razão, mas com um sinal diferente, a figura original será obtida.
Exemplos
Primeiro exemplo
Aplique uma homotecia no polígono central (O), localizado a 5 cm do ponto A e cuja razão é k = 0,7.
Solução
Qualquer ponto é escolhido como o centro da homotecia, e a partir dessas meias-linhas são desenhadas ao longo dos vértices da figura:
A distância do centro (O) ao ponto A deve ser OA = 5; Com isso, você pode determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OA ‘), sabendo também que k = 0,7:
OA ‘= kx OA.
OA ‘= 0,7 x 5 = 3,5.
O processo pode ser feito para cada vértice, ou você também pode desenhar o polígono homotético lembrando que os dois polígonos têm lados paralelos:
Por fim, a transformação tem a seguinte aparência:
Segundo exemplo
Aplique homotecia no polígono central dado (O), localizado a 8,5 cm do ponto C e cuja razão e k = -2.
Solução
A distância do centro (O) ao ponto C é OC = 8,5; Com esses dados, é possível determinar a distância de um dos pontos homotéticos (OC ‘), sabendo também que k = -2:
OC ‘= kx OC.
OC ‘= -2 x 8,5 = -17
Após traçar os segmentos dos vértices do polígono transformado, os pontos iniciais e suas homotéticas devem estar localizados em extremidades opostas em relação ao centro:
Referências
- Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho técnico: caderno de atividades.
- Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Afinidade, Homologia e Homotecia.
- Baer, R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
- Hebert, Y. (1980). Matemática geral, probabilidades e estatística.
- Meserve, BE (2014). Conceitos fundamentais de geometria. Courier Corporation.
- Nachbin, L. (1980). Introdução à álgebra. Reverte