Teorema de Moivre: demonstração e exercícios resolvidos

O Teorema de Moivre é um importante resultado da matemática que estabelece uma relação entre as raízes n-ésimas de um número complexo e suas potências. Neste artigo, vamos apresentar a demonstração do Teorema de Moivre e resolver alguns exercícios práticos para ajudar na compreensão e aplicação desse teorema. Vamos explorar como esse teorema pode ser utilizado para simplificar cálculos envolvendo números complexos e potências. Vamos lá!

Exercícios práticos de aplicação da fórmula de Moivre: resolução de problemas com números complexos.

Exercícios práticos de aplicação da fórmula de Moivre: resolução de problemas com números complexos pode ser uma tarefa desafiadora, mas com a prática e compreensão adequada da fórmula de Moivre, é possível resolver esses problemas de forma eficiente.

Para aplicar a fórmula de Moivre, primeiro precisamos representar o número complexo na forma trigonométrica, ou seja, na forma (re^{itheta}), onde (r) é o módulo do número complexo e (theta) é o argumento. Em seguida, podemos usar a fórmula de Moivre para elevar esse número complexo a uma potência (n), obtendo assim a solução para o problema.

Por exemplo, vamos resolver o problema de calcular ((1+i)^{3}) utilizando a fórmula de Moivre. Primeiro, representamos (1+i) na forma trigonométrica, que é (sqrt{2}e^{frac{pi}{4}i}). Em seguida, aplicamos a fórmula de Moivre para elevar esse número a potência 3, obtendo o resultado (-2+2i).

Outro exemplo prático seria calcular ((sqrt{3}+i)^{4}) utilizando a fórmula de Moivre. Representamos (sqrt{3}+i) na forma trigonométrica, que é (2e^{frac{pi}{6}i}), e aplicamos a fórmula de Moivre para obter o resultado (-8+8i).

Portanto, a aplicação da fórmula de Moivre em exercícios práticos com números complexos pode ser uma ferramenta poderosa para resolver problemas de forma rápida e eficiente, desde que se tenha uma boa compreensão da fórmula e de como aplicá-la corretamente.

Exercícios resolvidos de Moivre em até 15 palavras.

Exercícios resolvidos de Moivre são problemas matemáticos que utilizam o teorema de Moivre para solucionar.

Exercícios resolvidos utilizando a fórmula de Moivre em 1 passo.

Para resolver exercícios utilizando a fórmula de Moivre em apenas 1 passo, basta seguir o seguinte procedimento:

Passo 1: Utilize a fórmula de Moivre para encontrar a forma trigonométrica do número complexo dado. Por exemplo, se temos o número complexo ( z = 3 + 4i ), podemos escrevê-lo na forma trigonométrica da seguinte maneira:

[ z = 5 left( cosleft( arctanleft( frac{4}{3} right) right) + i sinleft( arctanleft( frac{4}{3} right) right) right) ]

Dessa forma, encontramos a representação trigonométrica do número complexo ( z ) em apenas um passo, utilizando a fórmula de Moivre.

Fórmulas de Moivre: conceitos essenciais para cálculos com números complexos.

Fórmulas de Moivre: são ferramentas fundamentais para realizar cálculos envolvendo números complexos. Estas fórmulas foram desenvolvidas por Abraham de Moivre, um matemático francês do século XVIII. Elas permitem simplificar operações com potências de números complexos, facilitando a resolução de equações e problemas matemáticos.

Uma das principais fórmulas de Moivre é a fórmula de De Moivre, que estabelece uma relação entre as potências de um número complexo e sua forma trigonométrica. Esta fórmula é expressa da seguinte maneira: (cos θ + i sen θ)^n = cos(nθ) + i sen(nθ), onde θ é o argumento do número complexo e n é um número inteiro.

Outra fórmula importante é a fórmula de Moivre para a raiz n-ésima de um número complexo. Esta fórmula nos permite encontrar todas as raízes de um número complexo, facilitando a resolução de equações polinomiais. A fórmula é dada por: (r(cos θ + i sen θ))^(1/n) = r^(1/n) (cos(θ/n + 2kπ/n) + i sen(θ/n + 2kπ/n)), onde r é o módulo do número complexo, θ é o argumento e k é um inteiro que varia de 0 a n-1.

Com o uso das fórmulas de Moivre, torna-se mais simples realizar operações como multiplicação, divisão, potenciação e extração de raízes de números complexos. Estas fórmulas são essenciais para a resolução de problemas em diversas áreas da matemática, como álgebra, geometria e cálculo.

Teorema de Moivre: demonstração e exercícios resolvidos

O teorema de Moivre aplica processos fundamentais da álgebra, como os poderes e raízes extração em números complexos. O teorema foi enunciado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez essa associação através de expressões seno e cosseno. Esse matemático gerou um tipo de fórmula através da qual é possível elevar um número complexo z à potência n, que é um número inteiro positivo maior ou igual a 1.

Qual é o teorema de Moivre?

O teorema de Moivre afirma o seguinte:

Se você possui um número complexo na forma polar z = r _Ɵ , em que r é o módulo do número complexo z e o ângulo Ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ Ɵ 2π, para calcular seu n – esse poder não será necessário multiplicar por si mesmo n vezes; isto é, não é necessário fabricar o seguinte produto:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n vezes.

Pelo contrário, o teorema diz que, escrevendo z em sua forma trigonométrica, para calcular a enésima potência, proceda da seguinte forma:

Se z = r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) então z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sen n * Ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z ² = r ² [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Se você precisar n = 3, então z ³ = z ² _* z. Além disso:

z ³ = r ² [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r ³ [cos 3 (Ɵ) + i sen 3 (Ɵ )].

Desta maneira, as razões trigonométricas do seno e do cosseno podem ser obtidas para múltiplos de um ângulo, desde que as razões trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, ele pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a enésima raiz de um número complexo z, de modo que z ⁿ = 1.

Para provar o teorema de Moivre, o princípio da indução matemática é usado: se um número inteiro “a” possui uma propriedade “P” e, para qualquer número inteiro “n” maior que “a”, possui a propriedade “P”, cumpre que n + 1 também tenha a propriedade “P” e todos os números inteiros maiores ou iguais a “a” tenham a propriedade “P”.

Demonstração

Dessa maneira, a prova do teorema é feita com as seguintes etapas:

Base indutiva

Primeiro, é verificado se n = 1.

Como z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ¹ = r ¹ [cos (1 _* Ɵ) + i _* sen (1 _* Ɵ)] , para n = 1, o teorema é cumprido.

Hipótese indutiva

A fórmula deve ser verdadeira para um número inteiro positivo, ou seja, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Verificar

Está provado ser verdadeiro para n = k + 1.

Como z ^{k + 1} = z ^k _* z, então z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Em seguida, as expressões são multiplicadas:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* senƟ) + (i _* sen kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sen kƟ) _* (i _* senƟ)).

Por um momento, o fator r ^{k + 1} é ignorado e o fator comum i é tomado:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (senƟ) + i (sen kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sen kƟ) _* (senƟ).

Como i ² = -1, substituímos na expressão e você obtém:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (senƟ) + i (sen kƟ) _* (cosƟ) – (sen kƟ) _* (senƟ).

Agora a parte real e imaginária está ordenada:

(cos kƟ) _* (cosƟ) – (sen kƟ) _* (senƟ) + i [(sen kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (senƟ)].

Para simplificar a expressão, são aplicadas as identidades trigonométricas da soma dos ângulos para o cosseno e o seno, que são:

cos (A + B) = cos A _* cos B – sen A _* sen B.

sen (A + B) = sen A _* cos B – cos A _* cos B.

Nesse caso, as variáveis ​​são ângulos Ɵ e kƟ. Aplicando identidades trigonométricas, você tem:

cos kƟ _* cosƟ – sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Dessa forma, a expressão é:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Assim, pode ser demonstrado que o resultado é verdadeiro para n = k + 1. A partir do princípio da indução matemática, conclui-se que o resultado é verdadeiro para todos os números inteiros positivos; isto é, n ≥ 1.

Número inteiro negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Considere um número inteiro negativo “n”; então “n” pode ser escrito como “-m”, ou seja, n = -m, “m” sendo um número inteiro positivo. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Para obter o expoente “m” de maneira positiva, a expressão é escrita no sentido inverso:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Agora, é usado que se z = a + b * i for um número complexo, então 1 ÷ z = ab * i. Portanto:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) – i _* sen (mƟ).

Usando esse cos (x) = cos (-x) e esse -sen (x) = sin (-x), você deve:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = [cos (mƟ) – i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) – i _* sen (nƟ).

Assim, pode-se dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de “n”.

Exercícios resolvidos

Cálculo de potências positivas

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação entre duas delas; nesse caso, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

Se você possui dois números complexos z _{1 e} z ₂ e deseja calcular (z ₁ * z ₂ ) ² , faça o seguinte:

z ₁ z ₂ = [r ₁ (cos Ɵ ₁ + i _* sen Ɵ ₁ )] * [r ₂ (cos Ɵ ₂ + i _* sen Ɵ ₂ )]

A propriedade distributiva se aplica:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sen Ɵ ₂ + i _* sen Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sen Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ )

Eles são agrupados, tomando o termo “i” como um fator comum das expressões:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ + sen Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) + i ² _* sen Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ ]

Como i ² = -1, ele é substituído na expressão:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i (cos Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ + sen Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ ) – sen Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ ]

Os termos reais são agrupados em real e imaginário em imaginário:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [(cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ – sen Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ ) + i (cos Ɵ _{1 *} sen Ɵ ₂ + sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ )]

Finalmente, as propriedades trigonométricas são aplicadas:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sen (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Em conclusão:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ [cos (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sen (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )]) ²

= r ₁ ² r ₂ ² [cos 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ ) + i sen 2 * (Ɵ ₁ + Ɵ ₂ )].

Exercício 1

Escreva o número complexo na forma polar se z = – 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule z ⁴ .

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a + bi, em que:

a = -2.

b = -2.

Sabendo que a forma polar é z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), é necessário determinar o valor do módulo «r» e o valor do argumento «Ɵ». Como r = √ (a² + b²), os valores fornecidos são substituídos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de “Ɵ”, é aplicada a forma retangular disso, que é dada pela fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Como tan (Ɵ) = 1 e você tem que <0, então você deve:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Como o valor de “r” e “Ɵ” já foi atingido, o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar, substituindo os valores:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Agora o teorema de Moivre é usado para calcular z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

Exercício 2

Encontre o produto de números complexos, expressando-o em sua forma polar:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sen 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sen 100 ^o ).

Depois, calcule (z1 * z2) ².

Solução

Primeiro, o produto dos números fornecidos é formado:

z ₁ z ₂ = [4 (cos 50 ^o + i _* sen 50 ^o )] * [7 (cos 100 ^o + i _* sen 100 ^o )]

Em seguida, os módulos são multiplicados entre si e os argumentos são adicionados:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _* [cos (50 ^ou + 100 ^o ) + i _* sen (50 ^ou + 100 ^o )]

A expressão é simplificada:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^ou + (i _* sen 150 ^o ).

Finalmente, o teorema de Moivre é aplicado:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sen 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sen 300 ^o )).

Cálculo de potências negativas

Para dividir dois números complexos z _{1 e} z ₂ em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z ₁ ÷ z ₂ e é expresso da seguinte forma:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ ₁ – Ɵ ₂ ) + i sen (Ɵ ₁ – Ɵ ₂ )]).

Como no caso anterior, se você deseja calcular (z1 ÷ z2) ³ primeiro a divisão é feita e, em seguida, o teorema de Moivre é usado.

Exercício 3

Dados:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sen (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sen (π / 4)),

calcular (z1 ÷ z2) ³.

Solução

Seguindo as etapas descritas acima, pode-se concluir que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 – π / 4) + i * sen (3π / 4 – π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sen (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sen (3π / 2)).

Referências

1. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
2. Croucher, M. (sf). Do teorema de Moivre para identidades trigonométricas. Projeto de Demonstrações Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciclopédia da Matemática.
4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e Trigonometria.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (sf). Álgebra Linear. Graw-Hill
7. M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.