Teorema de Moivre: demonstração e exercícios resolvidos

O teorema de Moivre aplica processos fundamentais da álgebra, como os poderes e raízes extração em números complexos. O teorema foi enunciado pelo renomado matemático francês Abraham de Moivre (1730), que associou números complexos à trigonometria.

Abraham Moivre fez essa associação através de expressões seno e cosseno. Esse matemático gerou um tipo de fórmula através da qual é possível elevar um número complexo z à potência n, que é um número inteiro positivo maior ou igual a 1.

Teorema de Moivre: demonstração e exercícios resolvidos 1

Qual é o teorema de Moivre?

O teorema de Moivre afirma o seguinte:

Se você possui um número complexo na forma polar z = r Ɵ , em que r é o módulo do número complexo z e o ângulo Ɵ é chamado de amplitude ou argumento de qualquer número complexo com 0 ≤ Ɵ 2π, para calcular seu n – esse poder não será necessário multiplicar por si mesmo n vezes; isto é, não é necessário fabricar o seguinte produto:

Z n = z * z * z *. . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r Ɵ n vezes.

Pelo contrário, o teorema diz que, escrevendo z em sua forma trigonométrica, para calcular a enésima potência, proceda da seguinte forma:

Se z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) então z n = r n (cos n * Ɵ + i * sen n * Ɵ).

Por exemplo, se n = 2, então z 2 = r 2 [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Se você precisar n = 3, então z 3 = z 2 * z. Além disso:

z 3 = r 2 [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2 (Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r 3 [cos 3 (Ɵ) + i sen 3 (Ɵ )].

Desta maneira, as razões trigonométricas do seno e do cosseno podem ser obtidas para múltiplos de um ângulo, desde que as razões trigonométricas do ângulo sejam conhecidas.

Da mesma forma, ele pode ser usado para encontrar expressões mais precisas e menos confusas para a enésima raiz de um número complexo z, de modo que z n = 1.

Para provar o teorema de Moivre, o princípio da indução matemática é usado: se um número inteiro “a” possui uma propriedade “P” e, para qualquer número inteiro “n” maior que “a”, possui a propriedade “P”, cumpre que n + 1 também tenha a propriedade “P” e todos os números inteiros maiores ou iguais a “a” tenham a propriedade “P”.

Demonstração

Dessa maneira, a prova do teorema é feita com as seguintes etapas:

Base indutiva

Primeiro, é verificado se n = 1.

Como z 1 = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ)) 1 = r 1 (cos Ɵ + i * sen Ɵ) 1 = r 1 [cos (1 * Ɵ) + i * sen (1 * Ɵ)] , para n = 1, o teorema é cumprido.

Hipótese indutiva

A fórmula deve ser verdadeira para um número inteiro positivo, ou seja, n = k.

z k = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ)) k = r k (cos k Ɵ + i * sen k Ɵ).

Verificar

Está provado ser verdadeiro para n = k + 1.

Como z k + 1 = z k * z, então z k + 1 = (r (cos Ɵ + i * sen Ɵ)) k + 1 = r k (cos kƟ + i * sen kƟ) * r (cos Ɵ + i * senƟ).

Em seguida, as expressões são multiplicadas:

z k + 1 = r k + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * senƟ) + (i * sen kƟ) * (cosƟ) + (i * sen kƟ) * (i * senƟ)).

Por um momento, o fator r k + 1 é ignorado e o fator comum i é tomado:

(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (senƟ) + i (sen kƟ) * (cosƟ) + i 2 (sen kƟ) * (senƟ).

Como i 2 = -1, substituímos na expressão e você obtém:

(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (senƟ) + i (sen kƟ) * (cosƟ) – (sen kƟ) * (senƟ).

Agora a parte real e imaginária está ordenada:

(cos kƟ) * (cosƟ) – (sen kƟ) * (senƟ) + i [(sen kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (senƟ)].

Para simplificar a expressão, são aplicadas as identidades trigonométricas da soma dos ângulos para o cosseno e o seno, que são:

cos (A + B) = cos A * cos B – sen A * sen B.

sen (A + B) = sen A * cos B – cos A * cos B.

Nesse caso, as variáveis ​​são ângulos Ɵ e kƟ. Aplicando identidades trigonométricas, você tem:

cos kƟ * cosƟ – sen kƟ * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Dessa forma, a expressão é:

z k + 1 = r k + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sen (kƟ + Ɵ))

z k + 1 = r k + 1 (cos [(k +1) Ɵ] + i * sen [(k +1) Ɵ]).

Assim, pode ser demonstrado que o resultado é verdadeiro para n = k + 1. A partir do princípio da indução matemática, conclui-se que o resultado é verdadeiro para todos os números inteiros positivos; isto é, n ≥ 1.

Número inteiro negativo

O teorema de Moivre também é aplicado quando n ≤ 0. Considere um número inteiro negativo “n”; então “n” pode ser escrito como “-m”, ou seja, n = -m, “m” sendo um número inteiro positivo. Portanto:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sen Ɵ) -m

Para obter o expoente “m” de maneira positiva, a expressão é escrita no sentido inverso:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sen Ɵ) m

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sen mƟ)

Agora, é usado que se z = a + b * i for um número complexo, então 1 ÷ z = ab * i. Portanto:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = cos (mƟ) – i * sen (mƟ).

Usando esse cos (x) = cos (-x) e esse -sen (x) = sin (-x), você deve:

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = [cos (mƟ) – i * sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i * sen Ɵ) n = cos (nƟ) – i * sen (nƟ).

Assim, pode-se dizer que o teorema se aplica a todos os valores inteiros de “n”.

Exercícios resolvidos

Cálculo de potências positivas

Uma das operações com números complexos em sua forma polar é a multiplicação entre duas delas; nesse caso, os módulos são multiplicados e os argumentos são adicionados.

Se você possui dois números complexos z 1 e z 2 e deseja calcular (z 1 * z 2 ) 2 , faça o seguinte:

z 1 z 2 = [r 1 (cos Ɵ 1 + i * sen Ɵ 1 )] * [r 2 (cos Ɵ 2 + i * sen Ɵ 2 )]

A propriedade distributiva se aplica:

z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sen Ɵ 2 + i * sen Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i 2 * sen Ɵ 1 * sen Ɵ 2 )

Eles são agrupados, tomando o termo “i” como um fator comum das expressões:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (cos Ɵ 1 * sen Ɵ 2 + sen Ɵ 1 * cos Ɵ 2 ) + i 2 * sen Ɵ 1 * sen Ɵ 2 ]

Como i 2 = -1, ele é substituído na expressão:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (cos Ɵ 1 * sen Ɵ 2 + sen Ɵ 1 * cos Ɵ 2 ) – sen Ɵ 1 * sen Ɵ 2 ]

Os termos reais são agrupados em real e imaginário em imaginário:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [(cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 – sen Ɵ 1 * sen Ɵ 2 ) + i (cos Ɵ 1 * sen Ɵ 2 + sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 )]

Finalmente, as propriedades trigonométricas são aplicadas:

z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sen (Ɵ 1 + Ɵ 2 )].

Em conclusão:

(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sen (Ɵ 1 + Ɵ 2 )]) 2

= r 1 2 r 2 2 [cos 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sen 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 )].

Exercício 1

Escreva o número complexo na forma polar se z = – 2 -2i. Então, usando o teorema de Moivre, calcule z 4 .

Solução

O número complexo z = -2 -2i é expresso na forma retangular z = a + bi, em que:

a = -2.

b = -2.

Sabendo que a forma polar é z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ), é necessário determinar o valor do módulo «r» e o valor do argumento «Ɵ». Como r = √ (a² + b²), os valores fornecidos são substituídos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Então, para determinar o valor de “Ɵ”, é aplicada a forma retangular disso, que é dada pela fórmula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Como tan (Ɵ) = 1 e você tem que <0, então você deve:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Como o valor de “r” e “Ɵ” já foi atingido, o número complexo z = -2 -2i pode ser expresso na forma polar, substituindo os valores:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4)).

Agora o teorema de Moivre é usado para calcular z 4 :

z 4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4)) 4

= 32 (cos (5Π) + i * sen (5Π)).

Exercício 2

Encontre o produto de números complexos, expressando-o em sua forma polar:

z1 = 4 (cos 50 o + i * sen 50 o )

z2 = 7 (cos 100 o + i * sen 100 o ).

Depois, calcule (z1 * z2) ².

Solução

Primeiro, o produto dos números fornecidos é formado:

z 1 z 2 = [4 (cos 50 o + i * sen 50 o )] * [7 (cos 100 o + i * sen 100 o )]

Em seguida, os módulos são multiplicados entre si e os argumentos são adicionados:

z 1 z 2 = (4 * 7) * [cos (50 ou + 100 o ) + i * sen (50 ou + 100 o )]

A expressão é simplificada:

z 1 z 2 = 28 * (cos 150 ou + (i * sen 150 o ).

Finalmente, o teorema de Moivre é aplicado:

(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150 o + (i * sen 150 o )) ² = 784 (cos 300 o + (i * sen 300 o )).

Cálculo de potências negativas

Para dividir dois números complexos z 1 e z 2 em sua forma polar, o módulo é dividido e os argumentos são subtraídos. Assim, o quociente é z 1 ÷ z 2 e é expresso da seguinte forma:

z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ 1 – Ɵ 2 ) + i sen (Ɵ 1 – Ɵ 2 )]).

Como no caso anterior, se você deseja calcular (z1 ÷ z2) ³ primeiro a divisão é feita e, em seguida, o teorema de Moivre é usado.

Exercício 3

Dados:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sen (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sen (π / 4)),

calcular (z1 ÷ z2) ³.

Solução

Seguindo as etapas descritas acima, pode-se concluir que:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 – π / 4) + i * sen (3π / 4 – π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sen (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sen (3π / 2)).

Referências

  1. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  2. Croucher, M. (sf). Do teorema de Moivre para identidades trigonométricas. Projeto de Demonstrações Wolfram.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Enciclopédia da Matemática.
  4. Max Peters, WL (1972). Álgebra e Trigonometria.
  5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
  6. Stanley, G. (sf). Álgebra Linear. Graw-Hill
  7. M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.

Deixe um comentário

Este site usa cookies para lhe proporcionar a melhor experiência de usuário. política de cookies, clique no link para obter mais informações.

ACEPTAR
Aviso de cookies