Números negativos: conceito, exemplos, operações

Números negativos: conceito, exemplos, operações

Os números negativos são encontrados à esquerda da linha numérica, sempre precedidos por um sinal de -. Usando negativos, é possível representar quantidades abaixo ou à esquerda de 0.

Esses números participam ativamente da vida cotidiana: por exemplo, se alguém tem uma dívida de US $ 5, mas pode pagar apenas US $ 3, deve US $ 2. A dívida é denotada com um sinal negativo para distingui-la do valor pago.

Posições abaixo do nível do mar, temperaturas abaixo do ponto de congelamento da água e pisos abaixo do nível da rua podem ser indicadas por números negativos.

Para que servem os números negativos?

A existência de negativos estende possíveis operações numéricas. Vamos pegar o exemplo de subtração de dois números. Se esses números pertencem aos naturais 1, 2, 3, 4, 5 … a subtração só faz sentido se for feita subtraindo outro número a menos que ele.

O resultado da operação 10 – 7 = 3 é razoável, pois, em princípio, não podemos receber mais do que aquilo que ela representa.

No entanto, com negativos, essa outra situação seria bem descrita: queremos comprar algo que vale US $ 20, mas temos apenas US $ 15 e emprestamos US $ 5 a um amigo. A dívida, como dissemos, é marcada com um sinal negativo e, portanto, 15 – 20 = -5, que é lido como “menos 5”.

O conjunto de números inteiros negativos, juntamente com os naturais e 0, compõem o maior conjunto de números inteiros Z.

Mas os negativos também podem ser fracionários ou decimais e pertencer a um conjunto ainda maior: o dos números reais R, que inclui números racionais e irracionais.

Com todos eles, são realizadas as operações aritméticas conhecidas, tendo o cuidado de operar seguindo algumas regras simples de sinal que são explicadas abaixo.

Operações com números negativos

Antes de executar operações com números negativos, é necessário estabelecer algumas regras simples para lidar com o sinal (-) que sempre deve ser colocado diante deles e a ordem dos números.

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Considere a linha numérica mostrada na figura, com os negativos à esquerda de 0 e os positivos à direita.

As setas na linha numérica nas duas direções indicam que há números infinitos. Observe também que o conjunto numérico de números inteiros é um conjunto ordenado e qualquer número negativo é menor que 0 e qualquer positivo.

Portanto -4 é menor que 1 e -540 é menor que 84, por exemplo.

Valor absoluto

A distância entre qualquer número e 0 é chamada de valor absoluto . Essa distância é sempre positiva e é indicada por barras verticais, desta maneira:

│-5│ = 5

│ + √6│ = √6

│-3 / 4│ = 3/4

│-10,2│ = 10,2

Ou seja, o valor absoluto de qualquer número, positivo ou negativo, é o positivo do número. Este conceito nos servirá para mais tarde quando operar com números negativos.

Placa

Outro detalhe muito importante é a distinção entre o sinal do número e o sinal da operação.

Quando um número é positivo, o sinal do número é geralmente omitido e entende-se que é positivo de qualquer maneira, mas com os negativos que não são possíveis, portanto, é necessário usar parênteses, vamos ver:

-Correto: 17 – (–6) ou também +17 – (–6)

-Incorreto: 17 – –6

-Incorreto: -5 + +7

-Correto: – 5 + (+7) ou também -5 + 7

Uma vez claros os conceitos de valor absoluto, ordem e importância do sinal negativo, podemos avançar para operações elementares.

Soma

Distinguimos os seguintes casos, começando pela soma de dois positivos, cujo procedimento já é muito familiar:

Adicione dois números positivos : (+ a) + (+ b) = a + b

O que significa que adicionamos como de costume, vamos ver:

(+8) + (+5) = 8 + 5 = 13

Adicione dois números negativos : (-a) + (-b) = – (a + b)

Nesse caso, adicionamos os valores absolutos dos números e um sinal negativo é anexado ao resultado, assim:

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(-7) + (-11) = – (7+ 11) = – 18

Adicione um negativo e um positivo : (+ a) + (-b)

Para esta operação, os valores absolutos são subtraídos e o resultado tem o sinal do número com o valor absoluto mais alto. Vamos fazer alguns casos:

a) (-16) + (+3)

Os respectivos valores absolutos são 16 e 3, o número com o valor absoluto mais alto é 16, cujo sinal é negativo, portanto:

(-16) + (+3) = – (16-3) = -13

b) (+8) + (-3) = + (8-3) = +5 = 5

A adição de negativos também é comutativa, o que significa que a ordem nos adendos não é importante para o resultado.

As regras anteriores se aplicam se você deseja adicionar mais de dois números, o que pode ser feito com a propriedade associativa: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c).

Antes de ver um exemplo neste caso, vamos primeiro subtrair dois números inteiros.

Subtração

Subtração é definida como a soma do oposto. O oposto de um número a é –a, assim:

-4 é o oposto de + 4

½ é o oposto de -½

Se formos solicitados a realizar a subtração de dois números, independentemente do sinal, basta adicionar o oposto do segundo ao primeiro:

a) (-53) – (+8) = (-53) + (-8) = – (53 + 8) = -61

b) (+7) – (-12) = (+7) + (+12) = 7 + 12 = 19

c) (+2) – (+ π) = (+2) + (-π) = 2 – π

Exemplo

Realize a seguinte operação (+4) + (-7) + (+19)

Reescrevemos assim com a ajuda de colchetes para indicar a operação a ser executada primeiro:

(+4) + (-7) + (+19) = [(+4) + (-7)] + (+19) = [- (4-7)] + 19 = [- (-3)] + 19 = 19 – (-3) = 19 + (+3) = 22

Multiplicação

A regra de sinais para multiplicação está resumida na figura a seguir:

Propriedades de multiplicação

 -Commutatividade: a ordem dos fatores não altera o produto, portanto ≠ = ba onde aeb são números negativos, inteiros ou fracionários.

Associatividade : sejam a, b e c inteiros, é verdade que (ab). c = a. bc)

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distributividade em relação à soma : sejam a, b e c inteiros, é válido que a. (b + c) = ab + ac

Exemplo

(-3/2) x [(-5) + (+4) – (+2)] = (-3/2) x (-5) + (-3/2) x (+4) + (- Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2)

Você também pode ter resolvido a operação entre colchetes primeiro e multiplicado o resultado por (-3/2), da seguinte forma:

(-3/2) x [-5 + 4-2] = (-3/2) x (-3) = 9/2

Divisão

A regra de sinais para divisão é apresentada na figura a seguir:

Divisão não é comutativa e geralmente a ÷ b b ÷ a, divisão por 0. não é permitida.Vamos ver um exemplo:

(-54) ÷ (+3) = -18

Para obter esse resultado, o quociente é simplesmente feito e o sinal é escolhido de acordo com a tabela mostrada na figura, que corresponde à terceira opção de cima para baixo.

Fortalecimento

Empoderamento é a operação da forma a n , onde a é a base en é o expoente. A base e o expoente podem ter qualquer sinal.

-Se a base é negativa ou positiva e o expoente é inteiro, o resultado da operação é sempre positivo.

-Quando a base é positiva e o expoente é um número inteiro ímpar, o resultado é positivo.

-E se a base for negativa e o expoente for um número inteiro ímpar, o resultado será negativo.

Os expoentes fracionários são alternativamente expressos como raiz, por exemplo, uma raiz quadrada é igual ao expoente fracionário ½, uma raiz de cubo é igual ao expoente 1/3 e assim por diante.

Vamos ver alguns exemplos:

a) (-3) 3 = (-3) x (-3) x (-3) = -27

b) 16 -1/2 = 1 / √16 = ¼

c) (+8) 1/3 = raiz do cubo de 8 = 2

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática 7th. Grau. Edições CO-BO.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. A matemática é divertida. Como adicionar e subtrair números positivos e negativos. Recuperado de: mathisfun.com
  5. Wikipedia. Números negativos. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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