Retângulo trapézio: propriedades, relações e fórmulas, exemplos

Um trapézio retangular é uma figura plana com quatro lados, de modo que dois deles são paralelos um ao outro, chamados bases, e um dos outros lados é perpendicular às bases.

Por esse motivo, dois dos ângulos internos estão corretos, ou seja, medem 90º. Daí o nome “retângulo” que é dado à figura. A imagem a seguir de um trapézio de retângulo esclarece essas características:

Elementos de trapézio

Os elementos do trapézio são:

-Bases

-Vertices

-Altura

Ângulos internos

-Base média

-Diagonal

Vamos detalhar esses elementos com a ajuda das Figuras 1 e 2:

Os lados do trapézio do retângulo são indicados pelas letras minúsculas a, b, c e d. Os cantos da figura ou vértices são indicados em letras maiúsculas. Finalmente, os ângulos internos são expressos em letras gregas.

De acordo com a definição, as bases deste trapézio são os lados a e b, que, como se vê, são paralelos e também têm comprimentos diferentes.

O lado perpendicular a ambas as bases é o lado c à esquerda, que é a altura h do trapézio. E, finalmente, existe o lado d, que forma o ângulo agudo α com o lado a.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. É facilmente visto que o ângulo ausente C na figura é 180 – α.

A base mediana é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos (segmento EF na Figura 2).

E, finalmente, existem as diagonais d ₁ e d ₂ , os segmentos que se juntam aos vértices opostos e se cruzam no ponto O (veja a figura 2).

Relacionamentos e fórmulas

Altura do trapézio h

h = c

Perímetro P

É a medida do contorno e é calculada adicionando os lados:

Perímetro = a + b + c + d

O lado d é expresso em termos de altura ou lado c usando o teorema de Pitágoras:

d = √ (ab) ² + c ²

Substituindo no perímetro:

P = a + b + c + √ (ab) ² + c ²

Base média

É a semi-soma das bases:

Base média = (a + b) / 2

Às vezes, a base média é encontrada expressa desta maneira:

Base média = (base principal + base menor) / 2

Área

A área A do trapézio é o produto da base média vezes a altura:

A = (base principal + base menor) x altura / 2

A = (a + b) c / 2

Diagonais, lados e ângulos

A Figura 2 mostra vários triângulos, retângulos e não retângulos. O teorema de Pitágoras pode ser aplicado àqueles que são triângulos retos, e os teoremas de cosseno e seno àqueles que não são.

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Desta forma, existem relações entre os lados e entre os lados e os ângulos internos do trapézio.

Triângulo de CPA

É um retângulo, suas pernas são iguais e valem b, enquanto a hipotenusa é a diagonal d ₁ , portanto:

d ₁² = b ² + b ² = 2b ²

Triângulo DAB

Também é um retângulo, as pernas são a e c (ou também a e h ) e a hipotenusa é d ₂ , de modo que:

d ₂² = a ² + c ² = a ² + h ²

Triângulo CDA

Como esse triângulo não é um triângulo retângulo, o teorema do cosseno, ou o teorema do seno, é aplicado a ele.

De acordo com o teorema do cosseno:

d ₁² = a ² + d ² – 2ad cos α

Triângulo CDP

Este triângulo é um retângulo e com seus lados são construídas as relações trigonométricas do ângulo α:

sen α = h / d

cos α = PD / d

Mas o lado PD = a – b, portanto:

Matemática5 pontos

a = b + d cos α

Você também tem:

tg α = sin α / cos α = h / (ab) → h = tg α (ab)

Triângulo CBD

Neste triângulo, temos o ângulo cujo vértice está em C. Não está marcado na figura, mas no início foi destacado que vale 180 – α. Como esse triângulo não é um triângulo retângulo, o teorema do cosseno ou do seno pode ser aplicado.

Agora, pode-se facilmente mostrar que:

sin (180 – α) = sin α

cos (180 – α) = – cos α

Aplicando o teorema do cosseno:

d ₂² = d ² + b ² – 2db cos (180 – α) = d ² + b ² + 2db cos α

Exemplos de armadilhas retangulares

Os trapézios e, em particular, os trapézios retangulares são encontrados em muitos lados, e às vezes nem sempre na forma tangível. Aqui temos vários exemplos:

Trapézio como elemento de design

Figuras geométricas são abundantes na arquitetura de vários edifícios, como esta igreja em Nova York, que mostra uma estrutura retangular em forma de trapézio.

Da mesma forma, a forma trapezoidal é frequente no design de contêineres, contêineres, pás ( cortador ou exato), folhas e design gráfico.

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Gerador de ondas trapezoidais

Os sinais elétricos não podem ser apenas quadrados, senoidais ou triangulares. Existem também sinais trapezoidais que são úteis em muitos circuitos. Na figura 4 existe um sinal trapezoidal composto por dois trapézios retangulares. Entre eles, eles formam um único trapézio isósceles.

No cálculo numérico

Para calcular a integral definida da função f (x) entre aeb numericamente, use a regra trapezoidal para aproximar a área sob o gráfico de f (x). Na figura abaixo, à esquerda, a integral é aproximada com um único trapézio retangular.

Uma melhor aproximação é a da figura correta, com múltiplos trapézios retangulares.

Feixe carregado trapezoidal

As forças nem sempre estão concentradas em um único ponto, uma vez que os corpos em que atuam têm dimensões apreciáveis. É o caso de uma ponte através da qual os veículos circulam continuamente, a água de uma piscina nas paredes verticais da mesma ou um teto no qual se acumula água ou neve.

Por esse motivo, as forças são distribuídas por unidade de comprimento, superfície ou volume, de acordo com o corpo em que atuam.

No caso de uma viga, uma força distribuída por unidade de comprimento pode ter várias distribuições, por exemplo, a do trapézio retangular mostrado abaixo:

Na realidade, as distribuições nem sempre correspondem a formas geométricas regulares como essa, mas podem ser uma boa aproximação em muitos casos.

Como ferramenta educacional e de aprendizado

Blocos e folhas com formas geométricas, incluindo trapézios, são muito úteis para as crianças se familiarizarem com o fascinante mundo da geometria desde tenra idade.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

No trapézio retangular na figura 1, a base principal é de 50 cm e a base menor é de 30 cm, o lado oblíquo também é conhecido por 35 cm. Encontrar:

a) Ângulo α

b) Altura

c) Perímetro

d) Base média

e) Área

f) Diagonal

Solução para

Os dados da declaração são resumidos desta maneira:

a = base principal = 50 cm

b = base menor = 30 cm

Relacionado: Como calcular os lados e ângulos de um triângulo?

d = lado inclinado = 35 cm

Para encontrar o ângulo α, visitamos a seção de fórmulas e equações, para ver qual melhor se adequa aos dados oferecidos. O ângulo procurado é encontrado em vários triângulos analisados, por exemplo, o CDP.

Aí temos essa fórmula, que contém o desconhecido e também os dados que conhecemos:

cos α = (ab) / d

Portanto:

α = arcos [(ab) / d] = arcos [(50-30) / 35] = arcos 20/35 = 55,15 º

Solução b

A partir da equação:

sen α = h / d

Está desmarcado h:

h = D. sen α = 35 sen 55,15 º cm = 28,72 cm

Solução c

O perímetro é a soma dos lados e, como a altura é igual ao lado c, temos que:

c = h = 28,72 cm

Portanto:

P = (50 + 30 + 35 + 28,72) cm = 143,72 cm

Solução d

A base média é a meia soma das bases:

Base média = (50 + 30 cm) / 2 = 40 cm

Solução e

A área do trapézio é:

A = base média x altura = 40 cm x 28,72 = 1148,8 cm ² .

Solução f

Para a diagonal d _1, esta fórmula pode ser usada:

d ₁² = b ² + b ² = 2b ²

d ₁² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

E para a diagonal d ₂ :

d ₂² = d ² + b ² + 2db cos α = (35 cm) ² + (30 cm) ² + 2 x 35 x 30 cm ² cos 55,15 º = 3325 cm ²

d ₂ = √ 3325 cm ² = 57,66 cm

Esta não é a única maneira de encontrar d ₂ , pois também existe o triângulo DAB.

– Exercício 2

O gráfico a seguir de velocidade versus tempo pertence a um dispositivo móvel que acelerou uniformemente o movimento retilíneo. Calcule a distância percorrida pelo celular durante o intervalo de tempo entre 0,5 e 1,2 segundos.

Solução

A distância percorrida pelo celular é numericamente equivalente à área abaixo do gráfico, delimitada pelo intervalo de tempo indicado.

A área sombreada é a área de um trapézio retangular, dada por: