A regra de Simpson é um método numérico utilizado para estimar a integral de uma função por meio da interpolação de polinômios de segundo grau. Esta regra é mais precisa do que a regra do trapézio, pois utiliza parábolas para aproximar a função, resultando em uma melhor precisão no cálculo da integral.
Na fórmula da regra de Simpson, a integral é aproximada pela seguinte expressão: S = (h/3) * [f(x0) + 4 * f(x1) + 2 * f(x2) + 4 * f(x3) + … + 2 * f(xn-2) + 4 * f(xn-1) + f(xn)], sendo h o tamanho do intervalo, x0 e xn os extremos do intervalo e x1, x2, …, xn-1 os pontos intermediários.
A prova da regra de Simpson pode ser feita através da interpolação de polinômios de segundo grau entre os pontos dados, resultando na expressão utilizada na fórmula.
Para entender melhor como aplicar a regra de Simpson, é importante analisar alguns exemplos e resolver exercícios práticos que envolvam o cálculo de integrais utilizando essa técnica. Dessa forma, é possível compreender melhor a aplicação e a eficácia desse método numérico na resolução de problemas de integração.
Condições para aplicar a Regra 1/3 de Simpson.
Para aplicar a Regra 1/3 de Simpson, é necessário que o intervalo de integração seja dividido em um número par de subintervalos. Ou seja, o número de pontos de dados deve ser ímpar. Além disso, os pontos de dados devem ser igualmente espaçados ao longo do intervalo de integração.
A regra de Simpson é uma técnica de integração numérica que permite estimar o valor de uma integral definida utilizando polinômios de segundo grau para interpolar os pontos de dados. Essa técnica é mais precisa do que a Regra do Trapézio, pois leva em consideração a curvatura da função.
Para aplicar a Regra 1/3 de Simpson, precisamos seguir os seguintes passos:
- Dividir o intervalo de integração em um número par de subintervalos.
- Calcular os valores da função nos pontos de dados.
- Aplicar a fórmula da Regra 1/3 de Simpson para cada par de subintervalos.
- Somar os resultados obtidos em cada par de subintervalos para obter a estimativa da integral definida.
Vamos ver um exemplo para entender melhor como aplicar a Regra 1/3 de Simpson:
Suponha que queremos estimar a integral definida da função $f(x) = x^2$ no intervalo $[0,2]$. Dividimos o intervalo em 2 subintervalos (n = 2) e calculamos os valores da função nos pontos de dados (0, 1 e 2). Aplicamos a fórmula da Regra 1/3 de Simpson e somamos os resultados, obtendo assim uma estimativa da integral definida.
Agora que sabemos as condições para aplicar a Regra 1/3 de Simpson e como utilizá-la em um exemplo, podemos praticar com alguns exercícios para aprimorar nosso entendimento dessa técnica de integração numérica.
Comparando a eficácia da regra de Simpson e a regra dos trapézios na integração.
A regra de Simpson é um método de integração numérica que visa aproximar o valor de uma integral definida por meio de polinômios de segundo grau. Este método é mais preciso do que a regra dos trapézios, uma vez que utiliza parábolas para aproximar a curva da função, resultando em uma estimativa mais próxima do valor real da integral.
A fórmula da regra de Simpson é dada por:
[ int_{a}^{b} f(x)dx approx frac{b-a}{6}[f(a)+4f(frac{a+b}{2})+f(b)] ]
Para provar a eficácia da regra de Simpson, podemos compará-la com a regra dos trapézios em um exemplo simples. Vamos calcular a integral definida de (f(x) = x^2) de 0 a 1 usando ambos os métodos:
Regra dos Trapézios:
Subdividindo o intervalo de integração em 1 segmento, temos:
[ int_{0}^{1} x^2dx approx frac{1-0}{2}[f(0)+f(1)] = frac{1}{2}[0^2+1^2] = frac{1}{2} ]
Regra de Simpson:
[ int_{0}^{1} x^2dx approx frac{1-0}{6}[f(0)+4f(frac{0+1}{2})+f(1)] = frac{1}{6}[0+4(frac{1}{2})^2+1] = frac{1}{6}[0+1+1] = frac{1}{3} ]
Portanto, podemos ver que a regra de Simpson nos fornece uma estimativa mais precisa da integral do que a regra dos trapézios.
Para praticar, podemos resolver alguns exercícios utilizando a regra de Simpson para integração numérica de funções mais complexas. É importante lembrar que a escolha do método de integração depende da função a ser integrada e do nível de precisão desejado.
Quando é necessário utilizar a integração numérica em cálculos complexos e aproximados.
Quando lidamos com funções complexas ou quando não é possível encontrar uma primitiva de forma analítica, é necessário recorrer à integração numérica para obter uma solução aproximada. A integração numérica é uma técnica que consiste em dividir a área sob a curva de uma função em segmentos menores e somar as áreas desses segmentos para obter uma estimativa do valor da integral.
A regra de Simpson é uma técnica de integração numérica que utiliza polinômios de segundo grau para estimar a área sob a curva de uma função. A fórmula da regra de Simpson é dada por:
∫f(x)dx ≈ h/3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn)]
onde h é o tamanho do intervalo de integração e n é o número de subintervalos.
Para provar a validade da regra de Simpson, podemos utilizar o método da interpolação polinomial de Lagrange para aproximar a função f(x) por um polinômio de segundo grau. A partir daí, é possível derivar a fórmula da regra de Simpson e demonstrar sua eficácia na obtenção de resultados aproximados para integrais definidas.
Um exemplo simples de aplicação da regra de Simpson seria a integração da função f(x) = x^2 no intervalo [0, 2]. Dividindo o intervalo em 2 subintervalos e aplicando a fórmula da regra de Simpson, obtemos um valor aproximado para a integral de f(x) que se aproxima do valor exato de 8/3.
Para fixar o conceito, é importante praticar com exercícios que envolvam a aplicação da regra de Simpson em diferentes funções e intervalos. Dessa forma, é possível aprimorar a técnica de integração numérica e obter resultados mais precisos em cálculos complexos e aproximados.
A regra de Simpson: fórmula, prova, exemplos, exercícios
A regra de Simpson é um método para calcular, aproximadamente, integrais definidas. É baseado na divisão do intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados.
Os valores extremos de dois subintervalos consecutivos definem três pontos, pelos quais uma parábola é ajustada, cuja equação é um polinômio de segundo grau.
Então a área sob a curva da função nos dois intervalos consecutivos é aproximada pela área do polinômio de interpolação. Adicionando a contribuição para a área sob a parábola de todos os subintervalos sucessivos, temos o valor aproximado da integral.
Por outro lado, como a integral de uma parábola pode ser calculada algebricamente exatamente, é possível encontrar uma fórmula analítica para o valor aproximado da integral definida. É conhecida como a fórmula de Simpson .
O erro do resultado aproximado assim obtido diminui à medida que o número de subdivisões n é maior (n sendo um número par).
Uma expressão será dada abaixo que permite estimar o limite superior do erro da aproximação à integral I, quando uma partição de n subintervalos regulares do intervalo total [a, b] for feita.
Fórmula
O intervalo de integração [a, b] é subdividido em n subintervalos com n sendo um número inteiro par. A largura de cada subdivisão será:
h = (b – a) / n
Dessa maneira, no intervalo [a, b], a partição é feita:
{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}
Sendo X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
A fórmula que nos permite calcular aproximadamente a integral definida I da função contínua, e de preferência suave, no intervalo [a, b] é:
Demonstração
Para obter a fórmula de Simpson, em cada subintervalo [Xi, Xi + 2] a função f (X) é aproximada por um polinômio p (X) do segundo grau (parábola) que passa pelos três pontos: [Xi, f ( XI)]; [Xi + 1, f (Xi + 1)] e [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Então a integral do polinômio p (x) é calculada em [Xi, Xi + 2] que se aproxima da integral da função f (X) nesse intervalo.
Coeficientes polinomiais de interpolação
A equação da parábola p (X) tem a forma geral: p (X) = AX 2 + BX + C. Como a parábola passa pelos pontos Q indicados em vermelho (ver figura), então os coeficientes A, B, C são determinados a partir do seguinte sistema de equações:
A (-h) 2 – B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + B h + C = f (Xi + 2)
Pode-se observar que o coeficiente C é determinado. Para determinar o coeficiente A, adicionamos a primeira e a terceira equação, obtendo:
2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Então o valor de C é substituído e A é limpo deixando:
A = [f (Xi) – 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h 2 )
Para determinar o coeficiente B, a terceira equação é subtraída da primeira e B é resolvido obtendo:
B = [f (Xi + 2) – f (Xi)] = 2 h.
Em resumo, o polinômio do segundo grau p (X) que passa pelos pontos Qi, Qi + 1 e Qi + 2 tem coeficientes:
A = [f (Xi) – 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h 2 )
B = [f (Xi + 2) – f (Xi)] = 2 h
C = f (Xi + 1)
Cálculo da integral aproximada em [Xi, Xi + 2]
Cálculo aproximado da integral em [a, b]
Como já mencionado, uma partição {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} é feita sobre o intervalo total de integração [a, b] com a etapa h = Xi + 1 – Xi = (b – a ) / n, onde n é um número par.
Erro de abordagem
Observe que o erro diminui com a quarta potência do número de subdivisões no intervalo. Por exemplo, se você passa de n subdivisões para 2n, o erro diminui em um fator 1/16.
O limite superior do erro obtido pela aproximação de Simpson pode ser obtido a partir dessa mesma fórmula, substituindo a quarta derivada pelo valor máximo absoluto da quarta derivada no intervalo [a, b].
Exemplos resolvidos
– Exemplo 1
Considere a função com a função f (X) = 1 / (1 + X 2 ).
Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando o método Simpson com duas subdivisões (n = 2).
Solução
Tomamos n = 2. Os limites de integração são a = -1 eb = -2, então a partição se parece com isso:
X0 = -1; X1 = 0 e X2 = +1.
Portanto, a fórmula de Simpson assume a seguinte forma:
Com n = 2 → x ou = -1, x1 = 0; x2 = 1, portanto:
– exemplo 2
Considere a função f (X) = 1 / (1 + X 2 ).
Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando a fórmula de Simpson com quatro subdivisões (n = 4).
Solução
Tomamos n = 4. Os limites de integração são a = -1 eb = -2, portanto, a partição se parece com isso:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 e X4 = +1.
A fórmula de Simpson é declarada assim:
Integral ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
Para o caso em que está sendo aplicado, é o seguinte:
Integral ≃ {(1 – (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1) }
Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
– exemplo 3
Determine exatamente a integral definida dos exemplos anteriores e faça uma comparação do resultado exato com os obtidos usando a fórmula de Simpson nos exemplos 1a e 1b.
Solução
A integral indefinida da função f (X) = 1 / (1 + X 2 ) é a função arctan (X).
Ao avaliar os limites de integração, permanece:
Integral = arctan (1) – arctan (-1) = π / 4 – (-π / 4) = π / 2 = 1,5708
Se compararmos o resultado da solução exata com o obtido pelo método de Simpson com n = 2 en = 4, temos:
Para n = 2, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 – 5/3 = -0,0959, ou seja, uma diferença percentual de -0,06%.
E para a aproximação de Simpson com n = 4, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 – 47/30 = 0,0041, ou seja, uma diferença percentual de 0,003%.
Exercício proposto
O método de Simpson é adequado para ser aplicado em linguagens de programação e em aplicativos de computador para cálculos matemáticos. O leitor é incentivado a escrever seu próprio código em seu programa favorito, com base nas fórmulas fornecidas neste artigo.
A figura a seguir mostra um exercício no qual a fórmula de Simpson foi implementada no Smath Studio , um software gratuito disponível para sistemas operacionais Windows e Android .
Referências
- Casteleiro, JM 2002. Cálculo integral (edição ilustrada). Madri: ESIC Editorial.
- UPV. Método de Simpson. Universidade politécnica de Valência. Recuperado de: youtube.com
- Purcell, E. 2007. Calculus Nona edição. Prentice Hall.
- Wikipedia. Regra de Simpson. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Interpolação polinomial de Lagrange. Recuperado de: es.wikipedia.com