A regra de Simpson: fórmula, prova, exemplos, exercícios

A regra de Simpson: fórmula, prova, exemplos, exercícios

A regra de Simpson é um método para calcular, aproximadamente, integrais definidas. É baseado na divisão do intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados.

Os valores extremos de dois subintervalos consecutivos definem três pontos, pelos quais uma parábola é ajustada, cuja equação é um polinômio de segundo grau. 

Então a área sob a curva da função nos dois intervalos consecutivos é aproximada pela área do polinômio de interpolação. Adicionando a contribuição para a área sob a parábola de todos os subintervalos sucessivos, temos o valor aproximado da integral.

Por outro lado, como a integral de uma parábola pode ser calculada algebricamente exatamente, é possível encontrar uma fórmula analítica para o valor aproximado da integral definida. É conhecida como a fórmula de Simpson .

O erro do resultado aproximado assim obtido diminui à medida que o número de subdivisões n é maior (n sendo um número par).

Uma expressão será dada abaixo que permite estimar o limite superior do erro da aproximação à integral I, quando uma partição de n subintervalos regulares do intervalo total [a, b] for feita.

Fórmula

O intervalo de integração [a, b] é subdividido em n subintervalos com n sendo um número inteiro par. A largura de cada subdivisão será:

h = (b – a) / n

Dessa maneira, no intervalo [a, b], a partição é feita:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Sendo X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

A fórmula que nos permite calcular aproximadamente a integral definida I da função contínua, e de preferência suave, no intervalo [a, b] é:

Demonstração

Para obter a fórmula de Simpson, em cada subintervalo [Xi, Xi + 2] a função f (X) é aproximada por um polinômio p (X) do segundo grau (parábola) que passa pelos três pontos: [Xi, f ( XI)]; [Xi + 1, f (Xi + 1)] e [Xi + 2, f (Xi + 2)].

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Então a integral do polinômio p (x) é calculada em [Xi, Xi + 2] que se aproxima da integral da função f (X) nesse intervalo.

Coeficientes polinomiais de interpolação

A equação da parábola p (X) tem a forma geral: p (X) = AX 2 + BX + C. Como a parábola passa pelos pontos Q indicados em vermelho (ver figura), então os coeficientes A, B, C são determinados a partir do seguinte sistema de equações:

A (-h) 2 – B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) 2 + B h + C = f (Xi + 2)

Pode-se observar que o coeficiente C é determinado. Para determinar o coeficiente A, adicionamos a primeira e a terceira equação, obtendo:

2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Então o valor de C é substituído e A é limpo deixando:

A = [f (Xi) – 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h 2 )

Para determinar o coeficiente B, a terceira equação é subtraída da primeira e B é resolvido obtendo:

B = [f (Xi + 2) – f (Xi)] = 2 h.

Em resumo, o polinômio do segundo grau p (X) que passa pelos pontos Qi, Qi + 1 e Qi + 2 tem coeficientes:

A = [f (Xi) – 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 h 2 )

B = [f (Xi + 2) – f (Xi)] = 2 h

C = f (Xi + 1)

Cálculo da integral aproximada em [Xi, Xi + 2]

Cálculo aproximado da integral em [a, b]

Como já mencionado, uma partição {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} é feita sobre o intervalo total de integração [a, b] com a etapa h = Xi + 1 – Xi = (b – a ) / n, onde n é um número par.

Erro de abordagem

Observe que o erro diminui com a quarta potência do número de subdivisões no intervalo. Por exemplo, se você passa de n subdivisões para 2n, o erro diminui em um fator 1/16.

O limite superior do erro obtido pela aproximação de Simpson pode ser obtido a partir dessa mesma fórmula, substituindo a quarta derivada pelo valor máximo absoluto da quarta derivada no intervalo [a, b].

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Exemplos resolvidos

– Exemplo 1

Considere a função com a função f (X) = 1 / (1 + X 2 ). 

Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando o método Simpson com duas subdivisões (n = 2).

Solução 

Tomamos n = 2. Os limites de integração são a = -1 eb = -2, então a partição se parece com isso: 

X0 = -1; X1 = 0 e X2 = +1.

Portanto, a fórmula de Simpson assume a seguinte forma:

Com n = 2 → x ou = -1, x1 = 0; x2 = 1, portanto:

– exemplo 2

Considere a função f (X) = 1 / (1 + X 2 ). 

Encontre a integral definida da função f (X) no intervalo [-1, 1] usando a fórmula de Simpson com quatro subdivisões (n = 4).

Solução 

Tomamos n = 4. Os limites de integração são a = -1 eb = -2, portanto, a partição se parece com isso: 

X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 e X4 = +1.

A fórmula de Simpson é declarada assim:

Integral ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]

Para o caso em que está sendo aplicado, é o seguinte:

Integral ≃ {(1 – (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1) }

Integral ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666

– exemplo 3

Determine exatamente a integral definida dos exemplos anteriores e faça uma comparação do resultado exato com os obtidos usando a fórmula de Simpson nos exemplos 1a e 1b.

Solução 

A integral indefinida da função f (X) = 1 / (1 + X 2 ) é a função  arctan (X).

Ao avaliar os limites de integração, permanece:

Integral = arctan (1) – arctan (-1) = π / 4 – (-π / 4) = π / 2 = 1,5708

Se compararmos o resultado da solução exata com o obtido pelo método de Simpson com n = 2 en = 4, temos:

Para n = 2, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 – 5/3 = -0,0959, ou seja, uma diferença percentual de -0,06%.

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E para a aproximação de Simpson com n = 4, a diferença entre a solução exata e a aproximada é π / 2 – 47/30 = 0,0041, ou seja, uma diferença percentual de 0,003%.

Exercício proposto

O método de Simpson é adequado para ser aplicado em linguagens de programação e em aplicativos de computador para cálculos matemáticos. O leitor é incentivado a escrever seu próprio código em seu programa favorito, com base nas fórmulas fornecidas neste artigo.

A figura a seguir mostra um exercício no qual a fórmula de Simpson foi implementada no Smath Studio , um software gratuito disponível para sistemas operacionais Windows e Android .

Referências

  1. Casteleiro, JM 2002. Cálculo integral (edição ilustrada). Madri: ESIC Editorial.
  2. UPV. Método de Simpson. Universidade politécnica de Valência. Recuperado de: youtube.com
  3. Purcell, E. 2007. Calculus Nona edição. Prentice Hall.
  4. Wikipedia. Regra de Simpson. Recuperado de: es.wikipedia.com
  5. Wikipedia. Interpolação polinomial de Lagrange. Recuperado de: es.wikipedia.com

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