Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios

Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios

A propriedade associativa da adição representa a natureza associativa da adição da operação em vários conjuntos matemáticos. Nele, três (ou mais) elementos dos referidos conjuntos estão relacionados, chamados a, bec, de modo que seja sempre verdade:

a + (b + c) = (a + b) + c

Dessa forma, é garantido que, independentemente da forma de agrupamento para realizar a operação, o resultado seja o mesmo.

Mas deve-se notar que propriedade associativa não é sinônimo de propriedade comutativa. Ou seja, sabemos que a ordem dos adendos não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto, para a soma, pode ser escrito assim: a + b = b + a.

No entanto, na propriedade associativa é diferente, pois a ordem dos elementos a serem adicionados é mantida e o que muda é a operação executada primeiro. O que significa que não importa adicionar primeiro (b + c) e, a este resultado, adicionar a, que, para começar a adicionar a com be o resultado, adicionar c.

Muitas operações importantes como adição são associativas, mas não todas. Por exemplo, na subtração de números reais, acontece que:

a – (b – c) ≠ (a – b) – c

Se a = 2, b = 3, c = 1, então:

2– (3 – 1) ≠ (2 – 3) – 1

0 ≠ -2

Propriedade associativa de multiplicação

Como foi feito para adição, a propriedade associativa da multiplicação indica que:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

No caso do conjunto de números reais, é fácil verificar se esse é sempre o caso. Por exemplo, usando os valores a = 2, b = 3, c = 1, você deve:

2 ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟  3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6  ˟ 1

6 = 6

Números reais cumprem a propriedade associativa de adição e multiplicação. Por outro lado, em outro conjunto, como vetores, a soma é associativa, mas o produto cruzado ou produto vetorial não é.

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Aplicações da propriedade associativa da multiplicação

Uma vantagem das operações nas quais a propriedade associativa é cumprida é a capacidade de agrupar da maneira mais conveniente. Isso facilita muito a resolução.

Por exemplo, suponha que em uma pequena biblioteca haja 3 prateleiras com 5 prateleiras cada. Em cada prateleira há 8 livros. Quantos livros existem no total?

Podemos realizar a operação assim: total de livros = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 livros.

Ou assim: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 livros.

Exemplos

Nos conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, são cumpridas as propriedades associativas de adição e multiplicação.

-Para polinômios, eles também se aplicam nessas operações.

– Nos casos de operações de subtração, divisão e exponenciação, a propriedade associativa não é cumprida nem em números reais nem em polinômios.

-No caso de matrizes, a propriedade associativa é verdadeira para adição e multiplicação, embora no último caso, a comutatividade não seja verdadeira. Isso significa que, dadas as matrizes A, B e C, é verdade que:

(A x B) x C = A x (B x C)

Mas … A x B ≠ B x A

A propriedade associativa em vetores

Os vetores formam um conjunto diferente dos números reais ou números complexos. As operações definidas para o conjunto de vetores são um pouco diferentes: existem adição, subtração e três tipos de produtos.

A adição de vetores preenche a propriedade associativa, assim como números, polinômios e matrizes. Quanto aos produtos escalares, vetor-escalares e cruzados que são executados entre vetores, este não é compatível, mas o produto escalar, que é outro tipo de operação entre vetores, leva em consideração o seguinte:

-O produto de um escalar por um vetor resulta em um vetor.

-A multiplicação de dois vetores resulta em escalar em um escalar.

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Portanto, dados os vetores v , u e w, e adicionalmente um escalar λ, é possível escrever:

Soma dos vetores: v + ( w ) = ( vu) w

-Escalar produto: λ ( •  u ) = (λ v ) • u

O último é possível porque  •  é um escalar e λ é um vetor.

Porém:

v × ( ×  w ) ≠ ( v  × u) × w

Facturando polinômios por termos de agrupamento

Esta aplicação é muito interessante, porque, como afirmado anteriormente, a propriedade associativa ajuda a resolver certos problemas. A soma dos monômios é associativa e isso pode ser usado para fatorar quando, à primeira vista, um fator comum óbvio não aparece.

Por exemplo, suponha que você peça o fator: x 3 + 2 x 2 + 3 x +6. Esse polinômio carece de um fator comum, mas vamos ver o que acontece se estiver agrupado assim:

 x 3 + 2 x 2 + 3x 6 = (x 3 + 2 x 2 ) + (3 x 6)

O primeiro parêntese tem x 2 como um fator comum :

x 3 + 2 x 2 = x 2 (x + 2)

No segundo, o fator comum é 3:

3x + 6 = 3 (x + 2)

 Assim:

 x 3 + 2 x 2 + 3 x 6 = x 2 (x + 2) + 3 (x + 2)

 Agora, existe um fator comum óbvio, que é x + 2 :

 X 2 (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x 2 3)

Exercícios

– Exercício 1

O prédio da escola possui 4 andares e em cada um existem 12 salas de aula com 30 mesas no interior. Quantas mesas a escola tem no total?

Solução

Este problema é resolvido aplicando a propriedade associativa da multiplicação, vamos ver:

Número total de mesas = 4 andares x 12 salas de aula / piso x 30 mesas / sala de aula = (4 x 12) x 30 mesas = 48 x 30 = 1440 mesas.

Ou se preferir: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesas

– Exercício 2

Dados os polinômios:

A (x) = 5x 3 + 2x 2 -7x + 1

B (x) = x 4 + 6x 3 -5x

C (x) = -8x 2 + 3x -7

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Aplique a propriedade associativa de adição para encontrar A (x) + B (x) + C (x).

Solução

Os dois primeiros podem ser agrupados e o terceiro adicionado ao resultado:

A (x) + B (x) = [5x 3 + 2x 2 -7x + 1] + [x 4 + 6x 3 -5x] = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1

O polinômio C (x) é adicionado imediatamente:

[x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1] + [-8x 2 + 3x -7] = x 4 + 11x 3 – 6x 2 -9x -6

O leitor pode verificar se o resultado é idêntico se for resolvido usando a opção A (x) + [B (x) + C (x)].

Referências

  1. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  2. Math is Fun. Leis comutativas, associativas e distributivas. Recuperado de: mathisfun.com.
  3. Armazém de Matemática. Definição de Propriedade Associativa. Recuperado de: mathwarehouse.com.
  4. Ciência. Propriedade associativa e comutativa de adição e multiplicação (com exemplos). Recuperado de: sciencing.com.
  5. Wikipedia. Propriedade associativa. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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