Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios

A propriedade associativa é uma das propriedades fundamentais da matemática que se aplica tanto à adição quanto à multiplicação de números. Essa propriedade afirma que, ao somar ou multiplicar três ou mais números, o resultado final não é alterado pela forma como os números são agrupados. Em outras palavras, podemos mudar a ordem dos números sem alterar o resultado da operação.

Neste artigo, exploraremos a propriedade associativa em ambas as operações, fornecendo exemplos para ilustrar seu funcionamento e oferecendo exercícios para que você possa praticar e aprimorar seu entendimento sobre o assunto. A propriedade associativa é uma ferramenta importante na resolução de problemas matemáticos e pode facilitar cálculos mais complexos. Vamos explorar mais a fundo essa propriedade e suas aplicações.

Exemplo de propriedade associativa da multiplicação em operações matemáticas com números inteiros.

A propriedade associativa da multiplicação em operações matemáticas com números inteiros afirma que a forma como os números são agrupados em uma multiplicação não altera o resultado final. Em outras palavras, podemos agrupar os números de diferentes maneiras e o resultado será o mesmo.

Por exemplo, vamos considerar a seguinte expressão matemática: 2 x (3 x 4). De acordo com a propriedade associativa da multiplicação, podemos associar os números de diferentes maneiras. Podemos primeiro multiplicar 3 por 4 e depois multiplicar o resultado por 2, ou podemos multiplicar 2 por 3 e depois multiplicar o resultado por 4.

Assim, temos as seguintes possibilidades de agrupamento:

2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24

(2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24

Como podemos ver, o resultado final é o mesmo, 24, independentemente da forma como os números foram agrupados. Isso demonstra a propriedade associativa da multiplicação em operações matemáticas com números inteiros.

Portanto, a propriedade associativa da multiplicação nos permite simplificar cálculos e facilitar a resolução de problemas matemáticos, tornando o processo mais eficiente e prático.

Entendendo a propriedade associativa da adição no contexto matemático: conceito e aplicação prática.

A propriedade associativa da adição é um conceito fundamental na matemática que nos permite agrupar números de diferentes formas sem alterar o resultado final da operação. Em termos simples, isso significa que podemos somar três ou mais números em qualquer ordem e obter o mesmo resultado.

Para entender melhor essa propriedade, vamos analisar a seguinte expressão matemática: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). De acordo com a propriedade associativa da adição, podemos agrupar os números de diferentes maneiras, como demonstrado na expressão acima, e o resultado final será sempre o mesmo.

Essa propriedade é extremamente útil em situações práticas do dia a dia. Por exemplo, imagine que você precise somar o total de compras em um supermercado. Em vez de somar os itens um por um, você pode agrupá-los de forma associativa, facilitando o cálculo e economizando tempo.

Exemplos de propriedade associativa da adição:

1. (4 + 5) + 6 = 4 + (5 + 6) = 15

2. (10 + 7) + 3 = 10 + (7 + 3) = 20

3. (8 + 2) + 1 = 8 + (2 + 1) = 11

Exercícios:

1. Calcule as seguintes expressões usando a propriedade associativa da adição:

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a) (3 + 4) + 5

b) (6 + 8) + 2

c) (9 + 1) + 7

Lembre-se de sempre praticar e revisar os conceitos matemáticos para aprimorar suas habilidades e garantir um melhor desempenho em cálculos futuros.

As 4 principais características da matemática que você precisa conhecer agora.

Um dos conceitos fundamentais da matemática que é essencial compreender é a propriedade associativa. Esta propriedade é aplicável tanto na adição quanto na multiplicação e é crucial para simplificar cálculos e resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

A propriedade associativa da adição afirma que a forma como os números são agrupados em uma operação de adição não altera o resultado final. Em outras palavras, a ordem em que os números são somados não influencia o resultado. Por exemplo, (2 + 3) + 4 é igual a 2 + (3 + 4), pois 5 + 4 é igual a 2 + 7, ambos resultando em 9.

Da mesma forma, a propriedade associativa da multiplicação afirma que a forma como os números são agrupados em uma operação de multiplicação não altera o resultado final. Por exemplo, (2 * 3) * 4 é igual a 2 * (3 * 4), pois 6 * 4 é igual a 2 * 12, ambos resultando em 24.

Para praticar a propriedade associativa, você pode resolver alguns exercícios simples. Por exemplo, encontre o resultado das seguintes operações de adição utilizando a propriedade associativa: (5 + 3) + 2 e 5 + (3 + 2). Em seguida, faça o mesmo para operações de multiplicação, como (4 * 2) * 3 e 4 * (2 * 3).

Compreender e aplicar a propriedade associativa da adição e multiplicação é fundamental para desenvolver habilidades matemáticas sólidas. Portanto, pratique regularmente e familiarize-se com essa propriedade para melhorar sua capacidade de resolver problemas matemáticos de forma eficiente.

Propriedades da adição: conceito e exemplos para compreender melhor esse processo matemático.

Propriedade associativa é uma das propriedades fundamentais da adição e da multiplicação na matemática. Essa propriedade nos permite agrupar os números de diferentes maneiras sem alterar o resultado da operação.

Na adição, a propriedade associativa afirma que a soma de três ou mais números é a mesma, independentemente da forma como os números são agrupados. Ou seja, se tivermos os números a, b e c, então (a + b) + c é igual a a + (b + c).

Para exemplificar, vamos utilizar os números 2, 3 e 4. Seguindo a propriedade associativa da adição, temos que (2 + 3) + 4 é igual a 2 + (3 + 4). Fazendo as operações, temos 5 + 4 = 9 e 2 + 7 = 9, mostrando que a propriedade associativa se mantém.

Exercícios:

1. Calcule as seguintes operações utilizando a propriedade associativa da adição:

a) (5 + 6) + 7

b) 5 + (6 + 7)

2. Crie seus próprios exemplos para praticar a propriedade associativa da adição.

Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios

Propriedade associativa: adição, multiplicação, exemplos, exercícios

A propriedade associativa da adição representa a natureza associativa da adição da operação em vários conjuntos matemáticos. Nele, três (ou mais) elementos dos referidos conjuntos estão relacionados, chamados a, bec, de modo que seja sempre verdade:

a + (b + c) = (a + b) + c

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Dessa forma, é garantido que, independentemente da forma de agrupamento para realizar a operação, o resultado seja o mesmo.

Mas deve-se notar que propriedade associativa não é sinônimo de propriedade comutativa. Ou seja, sabemos que a ordem dos adendos não altera a soma ou que a ordem dos fatores não altera o produto. Portanto, para a soma, pode ser escrito assim: a + b = b + a.

No entanto, na propriedade associativa é diferente, pois a ordem dos elementos a serem adicionados é mantida e o que muda é a operação executada primeiro. O que significa que não importa adicionar primeiro (b + c) e, a este resultado, adicionar a, que, para começar a adicionar a com be o resultado, adicionar c.

Muitas operações importantes como adição são associativas, mas não todas. Por exemplo, na subtração de números reais, acontece que:

a – (b – c) ≠ (a – b) – c

Se a = 2, b = 3, c = 1, então:

2– (3 – 1) ≠ (2 – 3) – 1

0 ≠ -2

Propriedade associativa de multiplicação

Como foi feito para adição, a propriedade associativa da multiplicação indica que:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

No caso do conjunto de números reais, é fácil verificar se esse é sempre o caso. Por exemplo, usando os valores a = 2, b = 3, c = 1, você deve:

2 ˟ (3 ˟ 1) = (2 ˟  3) ˟ 1 → 2 ˟ 3 = 6  ˟ 1

6 = 6

Números reais cumprem a propriedade associativa de adição e multiplicação. Por outro lado, em outro conjunto, como vetores, a soma é associativa, mas o produto cruzado ou produto vetorial não é.

Aplicações da propriedade associativa da multiplicação

Uma vantagem das operações nas quais a propriedade associativa é cumprida é a capacidade de agrupar da maneira mais conveniente. Isso facilita muito a resolução.

Por exemplo, suponha que em uma pequena biblioteca haja 3 prateleiras com 5 prateleiras cada. Em cada prateleira há 8 livros. Quantos livros existem no total?

Podemos realizar a operação assim: total de livros = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 livros.

Ou assim: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 livros.

Exemplos

Nos conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, são cumpridas as propriedades associativas de adição e multiplicação.

-Para polinômios, eles também se aplicam nessas operações.

– Nos casos de operações de subtração, divisão e exponenciação, a propriedade associativa não é cumprida nem em números reais nem em polinômios.

-No caso de matrizes, a propriedade associativa é verdadeira para adição e multiplicação, embora no último caso, a comutatividade não seja verdadeira. Isso significa que, dadas as matrizes A, B e C, é verdade que:

(A x B) x C = A x (B x C)

Mas … A x B ≠ B x A

A propriedade associativa em vetores

Os vetores formam um conjunto diferente dos números reais ou números complexos. As operações definidas para o conjunto de vetores são um pouco diferentes: existem adição, subtração e três tipos de produtos.

A adição de vetores preenche a propriedade associativa, assim como números, polinômios e matrizes. Quanto aos produtos escalares, vetor-escalares e cruzados que são executados entre vetores, este não é compatível, mas o produto escalar, que é outro tipo de operação entre vetores, leva em consideração o seguinte:

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-O produto de um escalar por um vetor resulta em um vetor.

-A multiplicação de dois vetores resulta em escalar em um escalar.

Portanto, dados os vetores v , u e w, e adicionalmente um escalar λ, é possível escrever:

Soma dos vetores: v + ( w ) = ( vu) w

-Escalar produto: λ ( •  u ) = (λ v ) • u

O último é possível porque  •  é um escalar e λ é um vetor.

Porém:

v × ( ×  w ) ≠ ( v  × u) × w

Facturando polinômios por termos de agrupamento

Esta aplicação é muito interessante, porque, como afirmado anteriormente, a propriedade associativa ajuda a resolver certos problemas. A soma dos monômios é associativa e isso pode ser usado para fatorar quando, à primeira vista, um fator comum óbvio não aparece.

Por exemplo, suponha que você peça o fator: x 3 + 2 x 2 + 3 x +6. Esse polinômio carece de um fator comum, mas vamos ver o que acontece se estiver agrupado assim:

 x 3 + 2 x 2 + 3x 6 = (x 3 + 2 x 2 ) + (3 x 6)

O primeiro parêntese tem x 2 como um fator comum :

x 3 + 2 x 2 = x 2 (x + 2)

No segundo, o fator comum é 3:

3x + 6 = 3 (x + 2)

 Assim:

 x 3 + 2 x 2 + 3 x 6 = x 2 (x + 2) + 3 (x + 2)

 Agora, existe um fator comum óbvio, que é x + 2 :

 X 2 (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x 2 3)

Exercícios

– Exercício 1

O prédio da escola possui 4 andares e em cada um existem 12 salas de aula com 30 mesas no interior. Quantas mesas a escola tem no total?

Solução

Este problema é resolvido aplicando a propriedade associativa da multiplicação, vamos ver:

Número total de mesas = 4 andares x 12 salas de aula / piso x 30 mesas / sala de aula = (4 x 12) x 30 mesas = 48 x 30 = 1440 mesas.

Ou se preferir: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 mesas

– Exercício 2

Dados os polinômios:

A (x) = 5x 3 + 2x 2 -7x + 1

B (x) = x 4 + 6x 3 -5x

C (x) = -8x 2 + 3x -7

Aplique a propriedade associativa de adição para encontrar A (x) + B (x) + C (x).

Solução

Os dois primeiros podem ser agrupados e o terceiro adicionado ao resultado:

A (x) + B (x) = [5x 3 + 2x 2 -7x + 1] + [x 4 + 6x 3 -5x] = x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1

O polinômio C (x) é adicionado imediatamente:

[x 4 + 11x 3 + 2x 2 -12x +1] + [-8x 2 + 3x -7] = x 4 + 11x 3 – 6x 2 -9x -6

O leitor pode verificar se o resultado é idêntico se for resolvido usando a opção A (x) + [B (x) + C (x)].

Referências

  1. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  2. Math is Fun. Leis comutativas, associativas e distributivas. Recuperado de: mathisfun.com.
  3. Armazém de Matemática. Definição de Propriedade Associativa. Recuperado de: mathwarehouse.com.
  4. Ciência. Propriedade associativa e comutativa de adição e multiplicação (com exemplos). Recuperado de: sciencing.com.
  5. Wikipedia. Propriedade associativa. Recuperado de: en.wikipedia.org.

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