Soma dos quadrados de dois números consecutivos

Para saber qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos , você pode encontrar uma fórmula com a qual você só precisa substituir os números envolvidos para obter o resultado.

Essa fórmula pode ser encontrada de uma maneira geral, ou seja, serve para qualquer par de números consecutivos.

Soma dos quadrados de dois números consecutivos 1

Ao dizer “números consecutivos”, está implicitamente dizendo que os dois números são números inteiros. E quando se fala de “quadrados”, ele está se referindo ao quadrado de cada número.

Por exemplo, se os números 1 e 2 forem considerados, seus quadrados serão 1² = 1 e 2² = 4; portanto, a soma dos quadrados é 1 + 4 = 5.

Por outro lado, se os números 5 e 6 forem tomados, seus quadrados serão 5² = 25 e 6² = 36, pelo que a soma dos quadrados é 25 + 36 = 61.

Qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos?

O objetivo agora é generalizar o que foi feito nos exemplos anteriores. Para isso, é necessário encontrar uma maneira geral de escrever um número inteiro e seu número inteiro consecutivo.

Se dois inteiros consecutivos são observados, por exemplo 1 e 2, pode-se ver que 2 pode ser escrito como 1 + 1. Além disso, se os números 23 e 24 forem observados, conclui-se que 24 pode ser escrito como 23 + 1.

Para números inteiros negativos, esse comportamento também pode ser verificado. De fato, se -35 e -36 forem considerados, pode-se ver que -35 = -36 + 1.

Portanto, se qualquer número inteiro “n” for escolhido, o número inteiro consecutivo para “n” será “n + 1”. Assim, uma relação entre dois números inteiros consecutivos já foi estabelecida.

Qual é a soma dos quadrados?

Seja dado dois inteiros consecutivos “n” e “n + 1”, então seus quadrados são “n²” e “(n + 1) ²”. Usando as propriedades de produtos notáveis , este último termo pode ser escrito da seguinte maneira:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .

Finalmente, a soma dos quadrados dos dois números consecutivos é dada pela expressão:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .

Se a fórmula anterior for detalhada, pode-se ver que basta saber o menor número inteiro «n» para saber qual é a soma dos quadrados, ou seja, basta usar o menor dos dois números inteiros.

Outra perspectiva da fórmula obtida é: os números escolhidos são multiplicados, o resultado obtido é multiplicado por 2 e finalmente 1 é adicionado.

Por outro lado, a primeira soma da direita é um número par e, ao adicionar 1, o resultado será ímpar. Isso indica que o resultado da adição dos quadrados de dois números consecutivos sempre será um número ímpar.

Também é possível observar que, como dois números são adicionados ao quadrado, esse resultado será sempre positivo.

Exemplos

1.- Considere os números inteiros 1 e 2. O menor número inteiro é 1. Usando a fórmula acima, conclui-se que a soma dos quadrados é: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. O que corresponde às contas feitas no início.

2.- Se os inteiros 5 e 6 forem tomados, a soma dos quadrados será 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, o que também coincide com o resultado obtido no início.

3.- Se os números inteiros -10 e -9 forem escolhidos, a soma de seus quadrados é: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Deixe que os números inteiros sejam -1 e 0, então a soma de seus quadrados é dada por 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Referências

  1. Bouzas, PG (2004). Álgebra no ensino médio: trabalho cooperativo em matemática. Edições Narcea.
  2. Cabello, RN (2007). Poderes e raízes. Publicando livros.
  3. Cabrera, VM (1997). Cálculo 4000. Progreso Editorial.
  4. Guevara, MH (sf). O número inteiro definido. EUNED
  5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra Pearson Education.
  6. Smith, SA (2000). Álgebra Pearson Education.
  7. Thomson (2006). Passando no GED: Matemática. Publicação InterLingua.

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