Para saber qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos , você pode encontrar uma fórmula com a qual você só precisa substituir os números envolvidos para obter o resultado.
Essa fórmula pode ser encontrada de uma maneira geral, ou seja, serve para qualquer par de números consecutivos.
Ao dizer “números consecutivos”, está implicitamente dizendo que os dois números são números inteiros. E quando se fala de “quadrados”, ele está se referindo ao quadrado de cada número.
Por exemplo, se os números 1 e 2 forem considerados, seus quadrados serão 1² = 1 e 2² = 4; portanto, a soma dos quadrados é 1 + 4 = 5.
Por outro lado, se os números 5 e 6 forem tomados, seus quadrados serão 5² = 25 e 6² = 36, pelo que a soma dos quadrados é 25 + 36 = 61.
Qual é a soma dos quadrados de dois números consecutivos?
O objetivo agora é generalizar o que foi feito nos exemplos anteriores. Para isso, é necessário encontrar uma maneira geral de escrever um número inteiro e seu número inteiro consecutivo.
Se dois inteiros consecutivos são observados, por exemplo 1 e 2, pode-se ver que 2 pode ser escrito como 1 + 1. Além disso, se os números 23 e 24 forem observados, conclui-se que 24 pode ser escrito como 23 + 1.
Para números inteiros negativos, esse comportamento também pode ser verificado. De fato, se -35 e -36 forem considerados, pode-se ver que -35 = -36 + 1.
Portanto, se qualquer número inteiro “n” for escolhido, o número inteiro consecutivo para “n” será “n + 1”. Assim, uma relação entre dois números inteiros consecutivos já foi estabelecida.
Qual é a soma dos quadrados?
Seja dado dois inteiros consecutivos “n” e “n + 1”, então seus quadrados são “n²” e “(n + 1) ²”. Usando as propriedades de produtos notáveis , este último termo pode ser escrito da seguinte maneira:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1 .
Finalmente, a soma dos quadrados dos dois números consecutivos é dada pela expressão:
n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1 .
Se a fórmula anterior for detalhada, pode-se ver que basta saber o menor número inteiro «n» para saber qual é a soma dos quadrados, ou seja, basta usar o menor dos dois números inteiros.
Outra perspectiva da fórmula obtida é: os números escolhidos são multiplicados, o resultado obtido é multiplicado por 2 e finalmente 1 é adicionado.
Por outro lado, a primeira soma da direita é um número par e, ao adicionar 1, o resultado será ímpar. Isso indica que o resultado da adição dos quadrados de dois números consecutivos sempre será um número ímpar.
Também é possível observar que, como dois números são adicionados ao quadrado, esse resultado será sempre positivo.
Exemplos
1.- Considere os números inteiros 1 e 2. O menor número inteiro é 1. Usando a fórmula acima, conclui-se que a soma dos quadrados é: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. O que corresponde às contas feitas no início.
2.- Se os inteiros 5 e 6 forem tomados, a soma dos quadrados será 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, o que também coincide com o resultado obtido no início.
3.- Se os números inteiros -10 e -9 forem escolhidos, a soma de seus quadrados é: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Deixe que os números inteiros sejam -1 e 0, então a soma de seus quadrados é dada por 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Referências
- Bouzas, PG (2004). Álgebra no ensino médio: trabalho cooperativo em matemática. Edições Narcea.
- Cabello, RN (2007). Poderes e raízes. Publicando livros.
- Cabrera, VM (1997). Cálculo 4000. Progreso Editorial.
- Guevara, MH (sf). O número inteiro definido. EUNED
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra Pearson Education.
- Smith, SA (2000). Álgebra Pearson Education.
- Thomson (2006). Passando no GED: Matemática. Publicação InterLingua.