As inclinações são superfícies revestidas de uma ou mais figuras chamadas tesselas . Eles estão por toda parte: nas ruas e edifícios de todos os tipos. Os ladrilhos ou peças são peças planas, geralmente polígonos com cópias congruentes ou isométricas, que são colocadas seguindo um padrão regular. Dessa forma, não há espaços abertos e os azulejos ou mosaicos não se sobrepõem.
No caso de um único tipo de mosaico formado por um polígono regular, existe um mosaico regular , mas se dois ou mais tipos de polígonos regulares são usados, é um mosaico semi- regular .
Finalmente, quando os polígonos que formam o mosaico não são regulares, é um mosaico irregular .
O tipo mais comum de mosaico é formado por mosaicos retangulares e particularmente quadrados. Na figura 1, temos um bom exemplo.
História dos pavimentações
Por milhares de anos, o mosaico tem sido usado para cobrir pisos e paredes de palácios e templos de diferentes culturas e religiões.
Por exemplo, a civilização suméria que floresceu por volta de 3500 aC ao sul da Mesopotâmia , entre os rios Eufrates e Tigre, usou mosaicos em sua arquitetura.
Os mosaicos também despertaram o interesse de matemáticos de todas as idades: começando com Arquimedes no século III aC, seguido por Johannes Kepler em 1619, Camille Jordan em 1880, até os tempos contemporâneos com Roger Penrose.
A Penrose criou um ladrilho não periódico conhecido como ladrilho de Penrose. E stas são apenas alguns nomes de cientistas que contribuíram com um muito sobre tessellation.
Pavimentações regulares
Pavimentações regulares são feitas com um único tipo de polígono regular . Por outro lado, para que o mosaico possa ser considerado como regular todos os pontos do plano, ele deve:
– Pertencem ao interior do polígono
-Ou- até a aresta de dois polígonos adjacentes
-Finalmente, pode pertencer ao vértice comum de pelo menos três polígonos.
Com as restrições acima, pode ser demonstrado que apenas triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos podem formar um mosaico regular.
Nomenclatura
Existe uma nomenclatura para denotar os mosaicos que consistem em enumerar no sentido horário e separados por um ponto, o número de lados dos polígonos que circundam cada nó (ou vértice) do mosaico, sempre começando com o polígono com o menor número lados.
Esta nomenclatura aplica-se a pavimentações regulares e semi-regulares.
Exemplo 1: mosaico triangular
A Figura 3 mostra um mosaico regular triangular. Note-se que cada nó do mosaico triangular é o vértice comum de seis triângulos equilaterais.
A maneira de denotar esse tipo de mosaico é 3.3.3.3.3.3, que também é indicado por 3 6 .
Exemplo 2: mosaico quadrado
A Figura 4 mostra um mosaico regular composto apenas por quadrados. Note-se que cada nó do mosaico é cercado por quatro quadrados congruentes. A notação que se aplica a esse tipo de mosaico quadrado é: 4.4.4.4 ou, alternativamente, 4 4
Exemplo 3: Mosaico hexagonal
Em um mosaico hexagonal, cada nó é cercado por três hexágonos regulares, como mostrado na figura 5. A nomenclatura para um mosaico hexagonal regular é 6.6.6 ou, alternativamente, 6 3 .
Pavimentações semi-regulares
Pavimentações semi- regulares ou pavimentadas arquimedianas consistem em dois ou mais tipos de polígonos regulares . Cada nó é cercado pelos tipos de polígonos que compõem o mosaico sempre na mesma ordem e a condição da aresta é mantida completamente compartilhada com o vizinho.
Existem oito pavimentações semi-regulares:
- 3.6.3.6 (mosaico tri-hexagonal)
- 3.3.3.3.6 (mosaico hexagonal sem corte)
- 3.3.3.4.4 (mosaico triangular alongado)
- 3.3.4.3.4 (mosaico quadrado sem corte)
- 3.4.6.4 (mosaico rombo-tri-hexagonal)
- 4.8.8 (mosaico quadrado truncado)
- 3.12.12 (mosaico hexagonal truncado)
- 4.6.12 (mosaico tri-hex truncado)
Alguns exemplos de pavimentações semi-regulares são mostrados abaixo.
Exemplo 4: mosaico tri-hexagonal
É aquele que é constituído por triângulos equilaterais e hexágonos regulares na estrutura 3.6.3.6, o que significa que um nó de mosaico é cercado (até completar uma volta) por um triângulo, um hexágono, um triângulo e um hexágono. A Figura 6 mostra esse mosaico.
Exemplo 5: ladrilhos hexagonais sem corte
Como o lado a lado no exemplo anterior, este também consiste em triângulos e hexágonos, mas sua distribuição em torno de um nó é 3.3.3.3.6. A Figura 7 ilustra claramente esse tipo de lado a lado.
Exemplo 6: mosaico rombo-tri-hexagonal
É um mosaico composto por triângulos, quadrados e hexágonos, na configuração 3.4.6.4, mostrada na figura 8.
Pavimentações irregulares
Pavimentações irregulares são aquelas formadas por polígonos irregulares ou regulares, mas que não atendem ao critério de que um nó é um vértice de pelo menos três polígonos.
Exemplo 7
A Figura 9 mostra um exemplo de mosaico irregular, no qual todos os polígonos são regulares e congruentes. É irregular porque um nó não é um vértice comum de pelo menos três quadrados e também existem quadrados vizinhos que não compartilham completamente uma aresta.
Exemplo 8
O paralelogramo pavimenta uma superfície plana, mas, a menos que seja um quadrado, não pode formar uma pavimentação regular.
Exemplo 9
Hexágonos não regulares com simetria central revestem uma superfície plana, como mostra a figura a seguir:
Exemplo 10: lado a lado do Cairo
É um mosaico muito interessante, composto de pentágonos com lados de igual comprimento, mas com ângulos desiguais, dois dos quais retos e os outros três com 120º cada.
O nome deriva do fato de que esse mosaico é encontrado na calçada de algumas ruas do Cairo, no Egito. A Figura 12 mostra os azulejos do Cairo.
Exemplo 11: mosaico Al-Andalus
O mosaico durante algumas partes da Andaluzia e do norte da África é caracterizado por geometria e epigrafia, além de elementos ornamentais como a vegetação.
O mosaico de palácios como o da Alhambra consistia em ladrilhos feitos de peças de cerâmica de várias cores, com formas múltiplas (para não dizer infinitas) que acionavam padrões geométricos.
Exemplo 12: mosaico em jogos de vídeo
Também conhecida como tesellation, é uma das novidades mais populares nos videogames. Trata-se de criar texturas para simular o mosaico dos diferentes cenários que aparecem no simulador.
Esta é a clara reflexão de que esses revestimentos continuam a evoluir além das fronteiras da realidade.
Referências
- Aprecie matemática. Pavimentações. Recuperado de: enjolasmatematicas.com
- Rubiños. Exemplos de pavimentações resolvidos. Recuperado de: matematicasn.blogspot.com
- Weisstein, Eric W. “mosaico desregular”. Weisstein, Eric W. ed. MathWorld. Pesquisa Wolfram.
- Wikipedia. Em mosaico. Recuperado de: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Mosaico regular. Recuperado de: es.wikipedia.com