O sólido da revolução é a figura tridimensional gerada pela rotação de uma superfície plana em torno do eixo axial ou eixo de revolução. A Figura 1 mostra uma animação de um sólido de revolução gerado dessa maneira.
Outro exemplo muito fácil de visualizar é gerar um cilindro circular reto, girando um retângulo de altura ou comprimento he raio r, em torno do eixo x positivo (figura 2). Para encontrar seu volume, existe uma fórmula bem conhecida:
V = área base x altura
Outros sólidos da revolução são a esfera, o cone circular reto e várias figuras, dependendo da superfície girada e, é claro, do eixo selecionado.
Por exemplo, girar o semicírculo em torno de uma linha paralela ao diâmetro produz um sólido com uma revolução oca.
Para o cilindro, o cone, a esfera, sólida e oca, existem fórmulas para encontrar o volume, que depende do raio e da altura. Mas quando eles são gerados por outras superfícies, o volume é calculado usando integrais definidas.
Tipos de sólidos de revolução
Os sólidos da revolução podem ser classificados de acordo com a curva que os gera:
Esfera
Basta girar um semicírculo em torno de um eixo que será o diâmetro da esfera do raio R. Seu volume é:
Esfera V = (4/3) πR 3
Cone
Para obter um cone de altura H e raio R, a superfície a ser rotacionada é um triângulo retângulo, em torno do eixo axial que passa por uma das pernas. Seu volume é:
Cone V = (1/3) πHR 2
Cilindro
Girando um retângulo em torno de um eixo axial que passa por um dos lados, que pode ser o lado mais curto ou o mais longo, obtemos um cilindro circular reto de raio R e altura H, cujo volume é:
Cilindro V = πR 2 H
Toroid
O toróide tem a forma de um donut. É obtido girando uma região circular em torno de uma linha no plano que não cruza o círculo. Seu volume é dado por:
V toróide = 2πa 2 R
Onde a é o raio da seção transversal e R é o raio do toróide, de acordo com o esquema apresentado na figura:
Métodos para calcular o volume de um sólido de revolução
No cálculo integral, esses dois métodos são frequentes:
– Discos e arruelas
-Cartuchos
Método de disco ou arruela
Ao fatiar um sólido de revolução, a seção transversal pode ser um disco, se o sólido for sólido, ou pode ser uma espécie de arruela (um disco com um orifício no meio), se for um sólido oco.
Suponha que uma região plana seja girada em torno do eixo horizontal. A partir dessa região plana, pegamos um pequeno retângulo de largura Δx, que é girado perpendicularmente ao redor do eixo axial.
A altura do retângulo está entre a curva mais externa R (x) e a mais interna r (x). Eles correspondem ao raio externo e raio interno, respectivamente.
Fazer essa rotação gera uma arruela de volume ΔV, dada por:
ΔV = Volume total – volume do furo (se houver)
Lembrando que o volume de um cilindro circular reto é π. raio 2 x altura, temos:
? V = π [R 2 (x) – r 2 (X)] Ax
O sólido pode ser dividido em uma infinidade de pequenas porções de volume ΔV. Se somarmos todos, teremos o volume total.
Para isso, fazemos o volume ΔV tender a 0, com o qual Δx também se torna muito pequeno, tornando-se um diferencial dx.
Portanto, temos uma integral:
V = ∫ um b π [R 2 (x) – r 2 (X)] dx
Caso o sólido seja sólido, a função r (x) = 0, a fatia do sólido que é gerado é um disco e o volume permanece:
V = ∫ a b πR 2 (x) dx
Quando o eixo de revolução é vertical, as equações acima assumem a forma:
V = ∫ um b π [R 2 (y) – r 2 (Y)] dy y V = ∫ um b πR 2 (y) dy
Método de camadas
Como o nome indica, esse método envolve assumir que o sólido é composto de camadas de espessura diferencial. A camada é um tubo fino que se origina da rotação de um retângulo paralelo ao eixo de rotação.
Temos as seguintes dimensões:
-Altura do retângulo w
-O comprimento h
-A distância do centro do retângulo ao eixo de rotação p
Sabendo que o volume da camada é volume externo – volume interno :
π (p + p / 2) 2 h – π (p – p / 2) 2 h
Ao desenvolver produtos notáveis e simplificar, você obtém:
Volume da camada = 2π⋅p⋅w⋅h
Agora vamos fazer a altura w do retângulo ser Δy, como visto na figura a seguir:
Com isso, o volume ΔV é:
ΔV = 2π pxhx Δy
E tornando o número de camadas n muito grande, Δy se torna um dy diferencial, com o qual o volume total é integral:
V = ∫ c d 2π p (y) h (y) dy
O procedimento descrito é aplicado de maneira semelhante quando o eixo de revolução é vertical :
Exercício resolvido
Encontre o volume gerado pela rotação da região plana entre as curvas:
y = x 2 ; y = 0; x = 2
Em torno do eixo y.
Solução
-A primeira coisa que devemos fazer é representar graficamente a região que irá gerar o sólido da revolução e indicar o eixo de rotação. Temos isso no gráfico a seguir:
-Agora, estamos procurando as interseções entre a curva y = x 2 e a linha x = 2. Por seu lado, a linha y = 0 não é outra senão o eixo x.
No gráfico, é fácil notar que a parábola e a linha se cruzam no ponto (2,4), o que é corroborado substituindo x = 2 em y = x 2 .
-Em seguida, escolha um dos métodos para calcular o volume, por exemplo, o método de estratificação com eixo de rotação vertical:
V = ∫ a b 2π p (x) h (x) dx
Etapa 1: desenhe o retângulo
Importante: No método de camadas, o lado longo do retângulo é paralelo ao eixo de rotação.
Etapa 2: determinar p (x)
O raio da camada é x
Etapa 3: determinar h (x)
A altura do retângulo é determinada pela parábola x 2 .
Etapa 4: estabelecer e resolver a integral do volume
A variável de integração é x, que varia entre 0 e 2, com isso temos os limites de integração. Substituindo expressões por p (x) eh (x)
Referências
- Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
- Purcell, E. 2007. Cálculo com geometria analítica. 9º. Edição. Pearson Education.
- Wikipedia. Sólido de revolução. Recuperado de: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Toróide. Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Wolfram MathWorld. Sólido de revolução. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.