Redução de termos similares (com exercícios resolvidos)

A redução de termos semelhantes é um método usado para simplificar expressões algébricas. Em uma expressão algébrica, termos semelhantes são aqueles que têm a mesma variável; isto é, eles têm as mesmas incógnitas representadas por uma letra e os mesmos expoentes.

Em alguns casos, os polinômios são extensos e, para chegar a uma solução, é preciso tentar reduzir a expressão; Isso é possível quando existem termos semelhantes, que podem ser combinados aplicando operações e propriedades algébricas, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Redução de termos similares (com exercícios resolvidos) 1

Explicação

Termos semelhantes são formados pelas mesmas variáveis ​​com os mesmos expoentes e, em alguns casos, esses diferem apenas por seus coeficientes numéricos.

Termos semelhantes também são considerados aqueles que não têm variáveis; isto é, os termos que possuem apenas constantes. Assim, por exemplo, os seguintes são termos semelhantes:

– 6x 2 – 3 x 2 . Ambos os termos têm a mesma variável x 2 .

– 4a 2 b 3 + 2a 2 b 3 . Ambos os termos têm as mesmas variáveis ​​a 2 b 3 .

– 7 – 6. Os termos são constantes.

Os termos que têm as mesmas variáveis, mas com expoentes diferentes, são chamados termos não semelhantes, como:

– 9a 2 b + 5ab. Variáveis ​​têm expoentes diferentes.

– 5x + y. As variáveis ​​são diferentes.

8. Um termo tem uma variável, o outro é uma constante.

Ao identificar os termos semelhantes que formam um polinômio, eles podem ser reduzidos a um, combinando todos os que têm as mesmas variáveis ​​com expoentes iguais. Dessa maneira, a expressão é simplificada, reduzindo o número de termos que a compõem e o cálculo de sua solução é facilitado.

Como reduzir termos semelhantes?

A redução de termos semelhantes é feita aplicando a propriedade associativa da adição e a propriedade distributiva do produto. Usando o procedimento a seguir, é possível reduzir os termos:

– Primeiro, termos semelhantes são agrupados.

– Os coeficientes (os números que acompanham as variáveis) são adicionados ou subtraídos de termos semelhantes, e propriedades associativas, comutativas ou distributivas são aplicadas, conforme o caso.

– Em seguida, são escritos os novos termos obtidos, colocando diante deles o sinal que resultou da operação.

Exemplo

Reduza os termos da seguinte expressão: 10x + 3y + 4x + 5y.

Solução

Primeiro, os termos são organizados para agrupar os semelhantes, aplicando a propriedade comutativa:

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Em seguida, a propriedade distributiva é aplicada e os coeficientes anexos são adicionados às variáveis ​​para obter a redução dos termos:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) e

= 14x + 8y.

Para reduzir termos semelhantes, é importante levar em consideração os sinais que os coeficientes que acompanham a variável possuem. Existem três casos possíveis:

Redução de termos semelhantes com sinais de igual

Nesse caso, os coeficientes são adicionados e o sinal dos termos é colocado na frente do resultado. Portanto, se eles forem positivos, os termos resultantes serão positivos; caso os termos sejam negativos, o resultado terá o sinal (-) acompanhado pela variável. Por exemplo:

a) 22ab 2 + 12ab 2 = 34 ab 2 .

b) -18x 3 – 9x 3 – 6 = -27x 3 – 6.

Redução de termos semelhantes com sinais diferentes

Nesse caso, os coeficientes são subtraídos e o sinal do coeficiente mais alto é colocado na frente do resultado. Por exemplo:

a) 15x 2 e – 4x 2 y + 6x 2 e – 11x 2 e

= (15x 2 y + 6x 2 y) + (- 4x 2 y – 11x 2 y)

= 21x 2 y + (-15x 2 y)

= 21x 2 y – 15x 2 y

= 6x 2 y.

b) -5a 3 b + 3 a 3 b – 4a 3 b + a 3 b

= (3 a 3 b + a 3 b) + (-5a 3 b – 4a 3 b)

= 4a 3 b – 9a 3 b

= -5 a 3 b.

Assim, para reduzir termos semelhantes com sinais diferentes, um único termo aditivo é formado com todos aqueles com sinal positivo (+), os coeficientes são adicionados e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Da mesma forma que um termo subtrativo é formado, com todos os termos que possuem um sinal negativo (-), os coeficientes são adicionados e o resultado é acompanhado pelas variáveis.

Finalmente, as somas dos dois termos formados são subtraídas e o sinal do major é colocado no resultado.

Redução de termos semelhantes nas operações

A redução de termos semelhantes é uma operação de álgebra, que pode ser aplicada em adição, subtração, multiplicação e divisão algébrica.

Em somas

Quando existem vários polinômios com termos semelhantes, para reduzi-los, os termos de cada polinômio são mantidos mantendo seus sinais, então eles são escritos um após o outro e os termos semelhantes são reduzidos. Por exemplo, você tem os seguintes polinômios:

3x – 4xy + 7x 2 e + 5xy 2 .

– 6x 2 y – 2xy + 9 xy 2 – 8x.

Redução de termos similares (com exercícios resolvidos) 2

Em subtração

Para subtrair um polinômio de outro, escreva o minuendo e depois o subtraendo com seus sinais alterados e, em seguida, os termos semelhantes serão reduzidos. Por exemplo:

5o 3 – 3ab 2 + 3b 2 c

6ab 2 + 2a 3 – 8b 2 c

Redução de termos similares (com exercícios resolvidos) 3

Assim, os polinômios são resumidos em 3a 3 – 9ab 2 + 11b 2 c.

Em multiplicações

Em um produto de polinômios, os termos que compõem a multiplicação são multiplicados por cada termo que forma o multiplicador, considerando que os sinais de multiplicação permanecem os mesmos se forem positivos.

Eles serão alterados apenas quando multiplicados por um termo negativo; isto é, quando dois termos do mesmo sinal se multiplicam, o resultado será positivo (+), e quando eles têm sinais diferentes, o resultado será negativo (-).

Por exemplo:

a) (a + b) * (a + b)

= a 2 + ab + ab + b 2

= a 2 + 2ab + b 2 .

b) (a + b) * (a – b)

= a 2 – ab + ab – b 2

= a 2 – b 2 .

c) (a – b) * (a – b)

= a 2 – ab – ab + b 2

= a 2 – 2ab + b 2 .

Nas divisões

Quando você deseja reduzir dois polinômios por meio de uma divisão, deve encontrar um terceiro polinômio que, quando multiplicado pelo segundo (divisor), resulte no primeiro polinômio (dividendo).

Para isso, os termos do dividendo e do divisor devem ser ordenados, da esquerda para a direita, para que as variáveis ​​de ambos estejam na mesma ordem.

Em seguida, é feita a divisão, começando no primeiro termo à esquerda do dividendo entre o primeiro à esquerda do divisor, sempre levando em consideração os sinais de cada termo.

Por exemplo, reduza o polinômio: 10x 4 – 48x 3 e + 51x 2 e 2 + 4xy 3 – 15y 4 dividindo-o pelo polinômio: -5x 2 + 4xy + 3y 2 .

Redução de termos similares (com exercícios resolvidos) 4

O polinômio resultante é -2x 2 + 8xy – 5y 2 .

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Reduza os termos da expressão algébrica fornecida:

15a 2 – 8ab + 6a 2 – 6ab – 9 + 4a 2 – 13 ab.

Solução

A propriedade comutativa da soma é aplicada, agrupando os termos que possuem as mesmas variáveis:

15a 2 – 8ab + 6a 2 – 6ab + 9 + 4a 2 – 13

= (15a 2 + 6a 2 + 4a 2 ) + (- 8ab – 6ab) + (9 – 13).

Em seguida, a propriedade distributiva da multiplicação é aplicada:

15a 2 – 8ab + 6a 2 – 6ab + 9 + 4a 2 – 13

= (15 + 6 + 4) a 2 + (- 8 – 6) ab + (9 – 13).

Finalmente, eles são simplificados adicionando e subtraindo os coeficientes de cada termo:

15a 2 – 8ab + 6a 2 – 6ab + 9 + 4a 2 – 13

= 25a 2 – 14ab – 4.

2º exercício

Simplifique o produto dos seguintes polinômios:

(8x 3 + 7xy 2 ) * (8x 3 – 7 xy 2 ).

Solução

Cada termo do primeiro polinômio é multiplicado pelo segundo, levando em consideração que os sinais dos termos são diferentes; portanto, o resultado de sua multiplicação será negativo, assim como as leis dos expoentes também devem ser aplicadas.

(8x 3 + 7xy 2 ) * (8x 3 – 7xy 2 )

= 64 x 6 – 56 x 3 * xy 2 + 56 x 3 * xy 2 – 49 x 2 e 4

= 64 x 6 – 49 x 2 e 4 .

Referências

  1. Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
  2. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura
  3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Aprendizado Cengage.
  4. Smith, SA (2000). Álgebra Pearson Education.
  5. Vigília, C. (2015). Álgebra e suas aplicações.

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