Como obter o ângulo de um triângulo?

Como obter o ângulo de um triângulo?

Existem várias maneiras de calcular os lados e os ângulos de um triângulo . Isso depende do tipo de triângulo com o qual você está trabalhando.

Desta vez, mostraremos como calcular os lados e ângulos de um triângulo retângulo, assumindo que certos dados do triângulo sejam conhecidos.

Os elementos a serem utilizados são:

– O teorema de Pitágoras

Dado um triângulo retângulo com as pernas «a», «b» e hipotenusa «c», é verdade que «c² = a² + b²».

– Área de um triângulo

A fórmula para calcular a área de qualquer triângulo é A = (b × h) / 2, onde “b” é o comprimento da base e “h” é o comprimento da altura.

– Ângulos de um triângulo

A soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180º.

– Funções trigonométricas:

Considere um triângulo retângulo. Então, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente do ângulo beta (β) são definidas da seguinte forma:

sin (β) = CO / Quadril, cos (β) = CA / Quadril e tan (β) = CO / CA.

Como calcular os lados e ângulos de um triângulo retângulo?

Dado um triângulo retângulo ABC, podem ocorrer as seguintes situações:

1- As duas pernas são conhecidas

Se a perna “a” é de 3 cm e a perna “b” é de 4 cm, o teorema de Pitágoras é usado para calcular o valor de “c”. Substituindo os valores de «a» e «b» obtemos que c² = 25 cm², o que implica que c = 5 cm.

Agora, se o ângulo β é oposto à perna “b”, então sin (β) = 4/5. Ao aplicar a função inversa do seno, nesta última igualdade obtém-se que β = 53,13º. Dois ângulos internos do triângulo já são conhecidos.

Seja θ o ângulo que falta saber, então 90º + 53,13º + θ = 180º, a partir do qual se obtém que θ = 36,87º.

Nesse caso, não é necessário que os lados conhecidos sejam as duas pernas, o importante é saber o valor de quaisquer dois lados.

2- Uma perna é conhecida e a área

Seja a = 3 cm a perna conhecida e A = 9 cm² a área do triângulo.

Em um triângulo retângulo, uma perna pode ser considerada como base e a outra como altura (uma vez que são perpendiculares).

Suponhamos que «a» seja a base, portanto 9 = (3 × h) / 2, da qual se obtém que a outra perna mede 6 cm. Para calcular a hipotenusa, proceda como no caso anterior e obtenha que c = √45 cm.

Agora, se o ângulo β estiver oposto à perna «a», então sin (β) = 3 / √45. Resolvendo para β, obtemos que seu valor é 26,57º. Resta saber apenas o valor do terceiro ângulo θ.

É verdade que 90º + 26,57º + θ = 180º, a partir do qual se conclui que θ = 63,43º.

3- Um ângulo e uma perna são conhecidos

Seja β = 45 ° o ângulo conhecido e = 3 cm a perna conhecida, onde a perna “a” é oposta ao ângulo β. Usando a fórmula tangente, obtemos que tg (45º) = 3 / CA, do qual resulta que CA = 3 cm.

Usando o teorema de Pitágoras, obtemos que c² = 18 cm², ou seja, c = 3√2 cm.

Sabe-se que um ângulo mede 90º e β mede 45º; daí conclui-se que o terceiro ângulo mede 45º.

Nesse caso, o lado conhecido não precisa ser uma perna, pode ser qualquer um dos três lados do triângulo.

Referências

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso.
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustração ilustrada). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
  4. Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnologia CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.

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