Existem várias maneiras de calcular os lados e os ângulos de um triângulo . Isso depende do tipo de triângulo com o qual você está trabalhando.
Desta vez, mostraremos como calcular os lados e ângulos de um triângulo retângulo, assumindo que certos dados do triângulo sejam conhecidos.
Os elementos a serem utilizados são:
– O teorema de Pitágoras
Dado um triângulo retângulo com as pernas «a», «b» e hipotenusa «c», é verdade que «c² = a² + b²».
– Área de um triângulo
A fórmula para calcular a área de qualquer triângulo é A = (b × h) / 2, onde “b” é o comprimento da base e “h” é o comprimento da altura.
– Ângulos de um triângulo
A soma dos três ângulos internos de um triângulo é 180º.
– Funções trigonométricas:
Considere um triângulo retângulo. Então, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente do ângulo beta (β) são definidas da seguinte forma:
sin (β) = CO / Quadril, cos (β) = CA / Quadril e tan (β) = CO / CA.
Como calcular os lados e ângulos de um triângulo retângulo?
Dado um triângulo retângulo ABC, podem ocorrer as seguintes situações:
1- As duas pernas são conhecidas
Se a perna “a” é de 3 cm e a perna “b” é de 4 cm, o teorema de Pitágoras é usado para calcular o valor de “c”. Substituindo os valores de «a» e «b» obtemos que c² = 25 cm², o que implica que c = 5 cm.
Agora, se o ângulo β é oposto à perna “b”, então sin (β) = 4/5. Ao aplicar a função inversa do seno, nesta última igualdade obtém-se que β = 53,13º. Dois ângulos internos do triângulo já são conhecidos.
Seja θ o ângulo que falta saber, então 90º + 53,13º + θ = 180º, a partir do qual se obtém que θ = 36,87º.
Nesse caso, não é necessário que os lados conhecidos sejam as duas pernas, o importante é saber o valor de quaisquer dois lados.
2- Uma perna é conhecida e a área
Seja a = 3 cm a perna conhecida e A = 9 cm² a área do triângulo.
Em um triângulo retângulo, uma perna pode ser considerada como base e a outra como altura (uma vez que são perpendiculares).
Suponhamos que «a» seja a base, portanto 9 = (3 × h) / 2, da qual se obtém que a outra perna mede 6 cm. Para calcular a hipotenusa, proceda como no caso anterior e obtenha que c = √45 cm.
Agora, se o ângulo β estiver oposto à perna «a», então sin (β) = 3 / √45. Resolvendo para β, obtemos que seu valor é 26,57º. Resta saber apenas o valor do terceiro ângulo θ.
É verdade que 90º + 26,57º + θ = 180º, a partir do qual se conclui que θ = 63,43º.
3- Um ângulo e uma perna são conhecidos
Seja β = 45 ° o ângulo conhecido e = 3 cm a perna conhecida, onde a perna “a” é oposta ao ângulo β. Usando a fórmula tangente, obtemos que tg (45º) = 3 / CA, do qual resulta que CA = 3 cm.
Usando o teorema de Pitágoras, obtemos que c² = 18 cm², ou seja, c = 3√2 cm.
Sabe-se que um ângulo mede 90º e β mede 45º; daí conclui-se que o terceiro ângulo mede 45º.
Nesse caso, o lado conhecido não precisa ser uma perna, pode ser qualquer um dos três lados do triângulo.
Referências
- Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso.
- Leake, D. (2006). Triângulos (ilustração ilustrada). Heinemann-Raintree.
- Pérez, CD (2006). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias. Tecnologia CR.
- Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo. Pearson Education.
- Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.