O teorema Lamy afirma que, quando um corpo rígido está em equilíbrio e a acção de três forças coplanares (forças no mesmo plano), as suas linhas de acção reunidos em um mesmo ponto.
O teorema foi deduzido pelo físico e religioso francês Bernard Lamy e originado da lei dos senos. É amplamente utilizado para encontrar o valor de um ângulo, a linha de ação de uma força ou para formar o triângulo de forças.
Teorema de Lamy
O teorema afirma que, para que a condição de equilíbrio seja cumprida, as forças devem ser coplanares; isto é, a soma das forças exercidas em um ponto é nula.
Além disso, como visto na imagem a seguir, conclui-se que, prolongando as linhas de ação dessas três forças, elas coincidem no mesmo ponto.
Assim, se três forças estiverem no mesmo plano e forem simultâneas, a magnitude de cada força será proporcional ao seno do ângulo oposto, formado pelas outras duas forças.
Assim, T1, partindo do seno de α, é igual à razão de T2 / β, que por sua vez é igual à razão de T3 / Ɵ, ou seja:
Conclui-se que os módulos dessas três forças devem ser iguais se os ângulos formados entre cada par de forças forem iguais a 120º .
Existe a possibilidade de um dos ângulos ser obtuso (medir entre 90 e 180 ). Nesse caso, o seno desse ângulo será igual ao seno do ângulo suplementar (em seu par mede 180 ).
Exercício resolvido
Existe um sistema formado por dois blocos J e K, que penduram de várias cordas em ângulos à horizontal, como mostra a figura. O sistema está em equilíbrio e o bloco J pesa 240 N. Determine o peso do bloco K.
Solução
Devido ao princípio de ação e reação, as tensões exercidas nos blocos 1 e 2 serão iguais ao seu peso.
Agora, um diagrama de corpo livre é construído para cada bloco e, assim, determina os ângulos que compõem o sistema.
Sabe-se que a corda que vai de A a B tem um ângulo de 30 , de modo que o ângulo que a complementa é igual a 60 . Dessa forma, você atinge 90 .
Por outro lado, onde o ponto A está localizado, existe um ângulo de 60 em relação à horizontal; o ângulo entre a vertical e T Um será = 180 – 60 – 90 = 30 .
Assim, obtém-se que o ângulo entre AB e BC = (30 + 90 + 30 ) e (60 + 90 + 60) = 150 e 210 . Ao adicionar, verifica-se que o ângulo total é 360 .
Aplicando o teorema de Lamy, você deve:
T BC / 150 sen = P A / sen 150
T BC = P A
T BC = 240N.
No ponto C, onde o bloco está, o ângulo entre a horizontal e a corda BC é 30 , portanto o ângulo complementar é igual a 60 .
Por outro lado, há um ângulo de 60 no ponto do CD; o ângulo entre a vertical e T C será = 180 – 90 – 60 = 30 .
Assim, obtém-se que o ângulo no bloco K é = (30 + 60 )
Aplicando o teorema de Lamy no ponto C:
T BC / sen 150 = B / sen 90
Q = T BC * sen 90 / sen 150
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
Referências
- Andersen, K. (2008). A geometria de uma arte: a história da teoria matemática da perspectiva de Alberti a Monge. Springer Science & Business Media.
- Ferdinand P. Beer, ER (2013). Mecânica para engenheiros, estática. McGraw-Hill Interamerican.
- Francisco Español, JC (2015). Problemas resolvidos de álgebra linear. Ediciones Paraninfo, SA
- Graham, J. (2005). Força e Movimento Houghton Mifflin Harcourt.
- Harpe, P. d. (2000) Tópicos na Teoria de Grupos Geométricos. University of Chicago Press.
- P. Para Tipler e, GM (2005). Física para Ciência e Tecnologia. Volume I. Barcelona: Reverté SA