Lógica matemática: origem, o que estuda, tipos

A lógica matemática ou lógica simbólica é uma linguagem matemática que cobre as ferramentas necessárias através do qual se pode afirmar ou negar um raciocínio matemático.

É sabido que na matemática não existem ambiguidades. Dado um argumento matemático, isso é válido ou simplesmente não é. Não pode ser falso e verdadeiro ao mesmo tempo.

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Um aspecto particular da matemática é que ela possui uma linguagem formal e rigorosa através da qual a validade de um raciocínio pode ser determinada. O que torna irrefutável certo raciocínio ou qualquer prova matemática? É disso que se trata a lógica matemática.

Assim, a lógica é a disciplina da matemática responsável pelo estudo do raciocínio e das demonstrações matemáticas, fornecendo as ferramentas para poder inferir uma conclusão correta a partir de afirmações ou proposições anteriores.

Para fazer isso, use axiomas e outros aspectos matemáticos que serão desenvolvidos posteriormente.

Origem e História

As datas exatas sobre muitos aspectos da lógica matemática são incertas. No entanto, a maioria das bibliografias sobre o assunto tem origem na Grécia antiga.

Aristóteles

O início do tratamento rigoroso da lógica é atribuído, em parte, a Aristóteles, que escreveu um conjunto de obras lógicas, que foram subsequentemente compiladas e desenvolvidas por diferentes filósofos e cientistas, até a Idade Média. Isso pode ser considerado como “a velha lógica”.

Então, no que é conhecido como a Era Contemporânea, Leibniz, impulsionado por um profundo desejo de estabelecer uma linguagem universal para raciocinar matematicamente, e outros matemáticos como Gottlob Frege e Giuseppe Peano influenciaram bastante o desenvolvimento da lógica matemática com grandes contribuições. , entre eles, os axiomas de Peano, que formulam propriedades indispensáveis ​​dos números naturais.

Os matemáticos George Boole e Georg Cantor também tiveram grande influência nessa época, com importantes contribuições em teoria dos conjuntos e tabelas da verdade, nas quais, entre outros aspectos, a Álgebra Booleana (de George Boole) e o Axioma da Escolha (de George Cantor).

Há também Augustus De Morgan com as conhecidas leis de Morgan, que contemplam negações, conjunções, disjunções e condições entre proposições, chaves para o desenvolvimento da Lógica Simbólica e Jhon Venn com os famosos diagramas de Venn.

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No século XX, aproximadamente entre 1910 e 1913, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead se destacam com a publicação de Principia mathematica , um conjunto de livros que coleta, desenvolve e postula uma série de axiomas e resultados lógicos.

O que estuda lógica matemática?

Proposições

A lógica matemática começa com o estudo de proposições. Uma proposição é uma afirmação que sem ambiguidade pode ser dita se é verdadeira ou não. A seguir, exemplos de proposições:

  • 2 + 4 = 6.
  • 5 2 = 35.
  • Em 1930, houve um terremoto na Europa.

A primeira é uma proposição verdadeira e a segunda é uma proposição falsa. A terceira, mesmo que seja possível que a pessoa que a lê não saiba se é verdadeira ou imediata, é uma afirmação que pode ser verificada e determinada se realmente aconteceu ou não.

A seguir, exemplos de expressões que não são proposições:

  • Ela é loira
  • 2x = 6.
  • Vamos jogar!
  • Você gosta de filmes

Na primeira proposição, não está especificado quem é “ela”, portanto, nada pode ser afirmado. Na segunda proposição, não está especificado o que “x” representa. Se, ao contrário, se disser que 2x = 6 para algum número natural x, nesse caso corresponderia a uma proposição, de fato verdadeira, pois para x = 3 ela é cumprida.

As duas últimas afirmações não correspondem a uma proposição, pois não há como negá-las ou afirma-las.

Duas ou mais proposições podem ser combinadas (ou conectadas) usando os conectivos lógicos conhecidos (ou conectores). Estes são:

  • Negação: “Não está chovendo.”
  • Disjunção: “Luisa comprou uma bolsa branca ou cinza”.
  • Conjunção: “4 2 = 16 e 2 × 5 = 10″.
  • Condicional: “Se chover, não vou à academia esta tarde”.
  • Biconditional: “Vou ao ginásio esta tarde se, e somente se, não chover.”

Uma proposição que não possui nenhum dos conectivos anteriores é chamada de proposição simples (ou atômica). Por exemplo, “2 é menor que 4” é uma proposição simples. As propostas que possuem algum tipo de conectivo são chamadas proposições compostas, como “1 + 3 = 4 e 4 é um número par”.

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As declarações feitas por meio de proposições geralmente são longas, por isso é entediante escrevê-las sempre como vistas até agora. Portanto, uma linguagem simbólica é usada. As proposições são geralmente representadas por letras maiúsculas, como P, Q, R, S , etc. E os conectivos simbólicos da seguinte maneira:

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De modo que

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O recíproco de uma declaração condicional

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é a proposição

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E o contra-recíproco (ou contrapositivo) de uma proposição

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é a proposição

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Tabelas da verdade

Outro conceito importante na lógica é o das tabelas da verdade. Os valores verdadeiros de uma proposição são as duas possibilidades que se tem para uma proposição: verdadeiro (que será denotado por V e dito que seu verdadeiro valor é V) ou falso (que será denotado por F e dito que seu valor É realmente F).

O valor de verdade de uma proposição composta depende exclusivamente dos valores de verdade das proposições simples que aparecem nela.

Para trabalhar de maneira mais geral, proposições específicas não serão consideradas, mas variáveis ​​proposicionais p, q, r, s , etc., que representarão quaisquer proposições.

Com essas variáveis ​​e os conectivos lógicos, as fórmulas proposicionais conhecidas são formadas exatamente como as proposições compostas são construídas.

Se cada uma das variáveis ​​que aparecem em uma fórmula proposicional for substituída por uma proposição, é obtida uma proposição composta.

Abaixo estão as tabelas verdadeiras para conectivos lógicos:

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Existem fórmulas proposicionais que recebem apenas o valor V em sua tabela verdade, ou seja, a última coluna da tabela verdade possui apenas o valor V. Esse tipo de fórmula é conhecido como tautologias. Por exemplo:

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A seguir, é apresentada a tabela verdade da fórmula

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Diz-se que uma fórmula α implica logicamente outra fórmula β, se α é verdadeira toda vez que β é. Ou seja, na tabela verdade de α e β, as linhas em que α tem um V, β também têm um V. Somente as linhas nas quais α tem o valor V. são de interesse. A notação para a implicação lógica é a seguinte :

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A tabela a seguir resume as propriedades da implicação lógica:

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Diz-se que duas fórmulas proposicionais são logicamente equivalentes se suas tabelas de verdade forem idênticas. A seguinte notação é usada para expressar equivalência lógica:

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As tabelas a seguir resumem as propriedades da equivalência lógica:

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Tipos de lógica matemática

Existem diferentes tipos de lógica, especialmente se você levar em consideração a lógica pragmática ou informal que aponta para a filosofia, entre outras áreas.

No que diz respeito à matemática, os tipos de lógica podem ser resumidos como:

  • Lógica formal ou aristotélica (lógica antiga).
  • Lógica proposicional: é responsável pelo estudo de tudo relacionado à validade de argumentos e proposições usando uma linguagem formal e também simbólica.
  • Lógica simbólica: focada no estudo dos conjuntos e suas propriedades, também com uma linguagem formal e simbólica, e está profundamente ligada à lógica proposicional.
  • Lógica combinatória: uma das mais recentes, envolve resultados que podem ser desenvolvidos usando algoritmos.
  • Programação lógica: usada nos vários pacotes e linguagens de programação.

Áreas de atuação

Entre as áreas que fazem uso da lógica matemática de maneira indispensável no desenvolvimento de seus raciocínios e argumentos, destacam-se filosofia, teoria dos conjuntos, teoria dos números, matemática algébrica construtiva e linguagens de programação.

Referências

  1. Aylwin, CU (2011). Lógica, Conjuntos e Números. Mérida – Venezuela: Conselho de Publicações, Universidade de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. e Soto, A. (1998). Introdução à Teoria dos Números. EUNED
  3. Castañeda, S. (2016). Curso básico de teoria dos números. Universidade do Norte
  4. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Como desenvolver o raciocínio lógico matemático. Publicação Universitária.
  5. Saragoça, AC (sf). Teoria dos números. Editorial Vision Books.

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