Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício

As funções trigonométricas são essenciais no estudo da matemática e possuem diversas aplicações em áreas como física, engenharia, computação, entre outras. Neste contexto, as funções trigonométricas básicas, como seno, cosseno e tangente, descrevem as relações entre os lados de um triângulo retângulo e são representadas no plano cartesiano através de gráficos periódicos.

Por meio de exemplos práticos, é possível compreender como essas funções se comportam e como podem ser utilizadas para resolver problemas matemáticos. Um exercício comum envolve a determinação das coordenadas de um ponto no plano cartesiano a partir de um ângulo e da distância do ponto ao eixo x, utilizando as funções trigonométricas. A prática desses exercícios ajuda a desenvolver a compreensão e o domínio das funções trigonométricas, fundamentais para o estudo da trigonometria e cálculos mais avançados.

Principais funções trigonométricas e suas aplicações essenciais na matemática e na física.

As funções trigonométricas são essenciais tanto na matemática quanto na física, desempenhando um papel fundamental em diversos cálculos e problemas relacionados a ângulos e movimentos. As principais funções trigonométricas são seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

No plano cartesiano, o seno e o cosseno são representados por curvas periódicas que descrevem a relação entre um ângulo e as coordenadas de um ponto em um círculo unitário. A tangente, por sua vez, é a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, e assim por diante para as demais funções trigonométricas.

Um exemplo simples de aplicação das funções trigonométricas é o cálculo de distâncias e ângulos em triângulos retângulos. Utilizando seno, cosseno e tangente, é possível determinar medidas desconhecidas com base em informações conhecidas, como lados e ângulos.

Um exercício comum envolvendo funções trigonométricas é a resolução de problemas de movimento circular, como o movimento de um pêndulo ou de um satélite em órbita. Nestes casos, as funções trigonométricas são utilizadas para descrever a posição e a velocidade do objeto em relação ao tempo.

Dominar essas funções é fundamental para quem deseja compreender e resolver problemas nestas áreas do conhecimento.

Trigonometria: conceito e aplicações práticas em 15 palavras.

Trigonometria é o estudo das relações entre os ângulos e os lados de um triângulo. Suas aplicações práticas incluem navegação, engenharia e física.

No plano cartesiano, as funções trigonométricas básicas são seno, cosseno e tangente. Elas relacionam os ângulos e as coordenadas dos pontos no plano.

Por exemplo, o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para calcular o seno de um ângulo no plano cartesiano, basta dividir a coordenada y do ponto pelo raio do círculo trigonométrico.

Um exercício comum envolve determinar as coordenadas de um ponto no plano cartesiano a partir de um ângulo e uma distância do ponto até a origem. Utilize as funções trigonométricas para resolver esse problema.

Aplicações práticas das funções trigonométricas em diversos campos profissionais e científicos.

As funções trigonométricas são amplamente utilizadas em diversos campos profissionais e científicos devido à sua capacidade de descrever padrões cíclicos e oscilatórios. Essas funções, como seno, cosseno e tangente, têm aplicações práticas em áreas como engenharia, física, matemática, geografia e astronomia.

Na engenharia, as funções trigonométricas são essenciais para o projeto e análise de estruturas, como pontes e edifícios. Elas também são utilizadas em sistemas de comunicação, como antenas e sinais de rádio, para determinar a direção e o alcance de transmissão.

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Em física, as funções trigonométricas são empregadas para descrever movimentos oscilatórios, como o movimento de um pêndulo ou de uma onda. Elas também são utilizadas na análise de circuitos elétricos e na resolução de problemas envolvendo ondas sonoras e luminosas.

Na matemática, as funções trigonométricas são estudadas em detalhes e aplicadas em diversas áreas, como cálculo, álgebra e geometria. Elas são fundamentais para a resolução de equações diferenciais e integrais, bem como para a modelagem de fenômenos naturais.

Na geografia, as funções trigonométricas são utilizadas para determinar distâncias, altitudes e direções em mapas e sistemas de navegação. Elas também são empregadas na análise de terrenos e na previsão de fenômenos climáticos.

Na astronomia, as funções trigonométricas são essenciais para o estudo dos movimentos dos corpos celestes, como planetas, estrelas e cometas. Elas são utilizadas para prever eclipses, calcular órbitas e determinar a posição dos astros no céu.

Aprenda a interpretar o gráfico das funções seno e cosseno de maneira simples.

As funções trigonométricas seno e cosseno são fundamentais para a matemática e têm inúmeras aplicações em diversas áreas. No entanto, muitas pessoas têm dificuldade em interpretar seus gráficos no plano cartesiano. Neste artigo, vamos explicar de forma simples como entender esses gráficos.

A função seno, representada por y = sen(x), possui um gráfico que oscila entre -1 e 1. Quando o ângulo x aumenta, o valor do seno também aumenta, atingindo o máximo em 90° (ou π/2 radianos) e voltando a zero em 180° (ou π radianos). O gráfico do seno é uma onda senoidal que se repete a cada 360° (ou 2π radianos).

Por outro lado, a função cosseno, representada por y = cos(x), também oscila entre -1 e 1, mas seu gráfico começa no valor máximo em 0° (ou 0 radianos) e volta a zero em 90° (ou π/2 radianos). Assim como o seno, o cosseno tem um padrão de onda senoidal que se repete a cada 360° (ou 2π radianos).

Para interpretar esses gráficos, basta observar a amplitude (distância entre o máximo e o mínimo), o período (distância entre duas repetições da onda) e a fase (deslocamento horizontal). Com essas informações, é possível visualizar facilmente como as funções seno e cosseno se comportam em diferentes ângulos.

Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício

Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício

As funções trigonométricas da variável real correspondem a qualquer ângulo (expresso em radianos), uma razão trigonométrica, que pode ser seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Dessa forma, temos as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

As funções trigonométricas para ângulos entre 0 e 2π são definidas com a ajuda da circunferência unitária, do raio 1 e cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto (0,0).

Podemos localizar qualquer ponto P de coordenadas (x, y) nessa circunferência.

O segmento que une a origem a P, juntamente com os respectivos segmentos que unem as projeções de P nos eixos coordenados, formam um triângulo retângulo, cujas relações trigonométricas são conhecidas como relações entre os lados do triângulo. Assim:

  • sin θ = perna oposta / hipotenusa
  • cos θ = perna adjacente / hipotenusa
  • tg θ = perna oposta / perna adjacente
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E agora as razões que são inversas das anteriores:

  • sec θ = hipotenusa / perna adjacente
  • cosec θ = hipotenusa / perna oposta
  • ctg θ = perna adjacente / perna oposta

No círculo unitário, a hipotenusa de qualquer triângulo é igual a 1 e as pernas valem x e y;

sin θ = y

cos θ = x

Dessa maneira, as funções seno e cosseno sempre adquirem valores entre -1 e 1, enquanto o restante:

tg θ = y / x

cosec θ = 1 / a

sec θ = 1 / x

Eles não são definidos quando x ou y são 0.

Funções trigonométricas no plano cartesiano

Como veremos a seguir, as funções trigonométricas são caracterizadas por serem periódicas. Portanto, eles não são bijetivos, exceto em um domínio restrito.

Função f (x) = sin x

Começando no círculo trigonométrico no ponto P (1,0), o ângulo é 0 radianos. Então o raio gira no sentido anti-horário e a função sin x aumenta gradualmente até atingir π / 2 radianos (90º), equivalente a aproximadamente 1.571 radianos.

Lá atinge o valor y = 1 e depois diminui até atingir zero em π radianos (180 °). Posteriormente, diminui ainda mais, pois o valor se torna negativo até atingir -1 quando o ângulo é 3π / 2 radianos (270 °).

Finalmente, aumenta novamente até retornar a zero a 360 °, onde tudo começa novamente. Isso faz de y = sin x uma função periódica do período 2π, portanto a função seno não é bijetiva.

Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao ponto (0,0), portanto a função é ímpar.

Abaixo está o gráfico de y = sin x:

A seção em vermelho é o primeiro período. Ângulos negativos também são considerados, pois o raio do círculo trigonométrico pode girar no sentido horário.

Domínio do pecado x = todos os reais.

Escala ou caminho do pecado x = [-1,1]

Função f (x) = cos x

No ponto P (1,0), a função cosseno vale 1 e a partir daí diminui, chegando a 0 quando o ângulo é π / 2. Ele continua a diminuir e assume valores negativos, até atingir -1 no ângulo π.

Em seguida, começa a aumentar gradualmente até atingir 0 em 3π / 2 e retornar ao valor 1 quando o raio fez uma curva completa. A partir daí, o ciclo se repete, pois cos x é periódico e também é (simétrico em torno do eixo vertical).

A forma da função cosseno é a mesma da função seno, exceto que elas são deslocadas π / 2 uma em relação à outra.

Domínio de cos x = todos os reais.

Faixa ou caminho de cos x = [-1,1]

Funções trigonométricas descontínuas

As funções tg x, ctg x, sec x e cosec x são descontínuas, pois são quocientes entre seno e cosseno, ou inversos. Uma vez que estes valem 0 em alguns ângulos, quando aparecem no denominador, tornam a função descontínua.

E como seno e cosseno são funções periódicas, as funções tg x, ctg x, sec x, cosec x também são.

Função tangente f (x) = tg x

Para a função tangente, os valores de descontinuidade são: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… A função assume valores muito grandes ou muito pequenos. Em geral, isso acontece para todos os múltiplos de π da forma (2n + 1) π / 2, positivos e negativos, com n = 0, 1, 2 …

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Portanto:

Domínio de tg x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }

Alcance ou rota de tg x : todos os reais.

Observe que a função f (x) = tg x é repetida entre – π / 2 e + π / 2, portanto, seu período é π. Além disso, é simétrico em relação à origem.

Função cotangente f (x) = ctg x

Para esta função, os valores de descontinuidade ocorrem em 0, ± π, ± 2π…, ou seja, os múltiplos inteiros de π.

Como a função tangente, a função cotangente é periódica do período π. Para ela, é verdade que:

Domínio de ctg x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }

Intervalo ou caminho de ctg x : Todos os reais.

Função secante f (x) = seg x

A função sec x possui pontos de descontinuidade em ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, onde cos x = 0. Também é periódico do período π e também é observado no gráfico que a função nunca assume valores no intervalo (-1,1)

Domínio do segundo x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }

Intervalo ou segundo x caminho : todos os reais, exceto (-1,1)

Função cosecante f (x) = cosec x

É semelhante à função secante, embora esteja deslocada para a direita, portanto, os pontos de descontinuidade são 0, ± π, ± 2π e todos os múltiplos inteiros de π. Também é periódico.

Domínio de corte x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }

Intervalo ou caminho da colheita x : todos os reais, exceto (-1,1)

Exercício resolvido

Um homem de um metro e oitenta de altura lança uma sombra S cujo comprimento é dado por:

S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │

Com S nos pés et, o número de horas decorridas após as 6 da manhã. Quanto tempo dura a sombra às 8h, 12h, 14h e 17h45?

Solução

Devemos avaliar a função para cada um dos valores fornecidos, observe que ele deve assumir o valor absoluto, pois o comprimento da sombra é positivo:

-Às 8 horas, passaram-se 2 horas das 6 horas, portanto t = 2 e S (t) são:

S (2) = 6 cot (π.2 / 12) =pies = 6 cot (π / 6) │pies = 10,39 pés.

-Quando 12 N, t = 6 horas se passaram, portanto:

S (6) = 6 cot (π.6 / 12) │pies = 6 cot (π / 2) │pies = 0 pés. (Naquele momento, o Sol cai verticalmente na cabeça da pessoa).

– Às 14h t = 8 horas se passaram:

S (8) = 6 pés (π.8 / 12) pés = 6 pés (2π / 3) pés = 3,46 pés.

-Quando são 17h45, já passaram 11,75 horas desde as 6h, então:

S (11,75) = 6 pés (π x 11,75 / 12) pés = 91,54 pés. A essa hora, as sombras estão ficando mais longas.

O leitor pode calcular o tempo em que a sombra da pessoa é igual à sua altura?

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
  3. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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