Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício

Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício

As funções trigonométricas da variável real correspondem a qualquer ângulo (expresso em radianos), uma razão trigonométrica, que pode ser seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Dessa forma, temos as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.

As funções trigonométricas para ângulos entre 0 e 2π são definidas com a ajuda da circunferência unitária, do raio 1 e cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto (0,0).

Podemos localizar qualquer ponto P de coordenadas (x, y) nessa circunferência.

O segmento que une a origem a P, juntamente com os respectivos segmentos que unem as projeções de P nos eixos coordenados, formam um triângulo retângulo, cujas relações trigonométricas são conhecidas como relações entre os lados do triângulo. Assim:

  • sin θ = perna oposta / hipotenusa
  • cos θ = perna adjacente / hipotenusa
  • tg θ = perna oposta / perna adjacente

E agora as razões que são inversas das anteriores:

  • sec θ = hipotenusa / perna adjacente
  • cosec θ = hipotenusa / perna oposta
  • ctg θ = perna adjacente / perna oposta

No círculo unitário, a hipotenusa de qualquer triângulo é igual a 1 e as pernas valem x e y;

sin θ = y

cos θ = x

Dessa maneira, as funções seno e cosseno sempre adquirem valores entre -1 e 1, enquanto o restante:

tg θ = y / x

cosec θ = 1 / a

sec θ = 1 / x

Eles não são definidos quando x ou y são 0.

Funções trigonométricas no plano cartesiano

Como veremos a seguir, as funções trigonométricas são caracterizadas por serem periódicas. Portanto, eles não são bijetivos, exceto em um domínio restrito.

Função f (x) = sin x

Começando no círculo trigonométrico no ponto P (1,0), o ângulo é 0 radianos. Então o raio gira no sentido anti-horário e a função sin x aumenta gradualmente até atingir π / 2 radianos (90º), equivalente a aproximadamente 1.571 radianos.

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Lá atinge o valor y = 1 e depois diminui até atingir zero em π radianos (180 °). Posteriormente, diminui ainda mais, pois o valor se torna negativo até atingir -1 quando o ângulo é 3π / 2 radianos (270 °).

Finalmente, aumenta novamente até retornar a zero a 360 °, onde tudo começa novamente. Isso faz de y = sin x uma função periódica do período 2π, portanto a função seno não é bijetiva.

Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao ponto (0,0), portanto a função é ímpar.

Abaixo está o gráfico de y = sin x:

A seção em vermelho é o primeiro período. Ângulos negativos também são considerados, pois o raio do círculo trigonométrico pode girar no sentido horário.

Domínio do pecado x = todos os reais.

Escala ou caminho do pecado x = [-1,1]

Função f (x) = cos x

No ponto P (1,0), a função cosseno vale 1 e a partir daí diminui, chegando a 0 quando o ângulo é π / 2. Ele continua a diminuir e assume valores negativos, até atingir -1 no ângulo π.

Em seguida, começa a aumentar gradualmente até atingir 0 em 3π / 2 e retornar ao valor 1 quando o raio fez uma curva completa. A partir daí, o ciclo se repete, pois cos x é periódico e também é (simétrico em torno do eixo vertical).

A forma da função cosseno é a mesma da função seno, exceto que elas são deslocadas π / 2 uma em relação à outra.

Domínio de cos x = todos os reais.

Faixa ou caminho de cos x = [-1,1]

Funções trigonométricas descontínuas

As funções tg x, ctg x, sec x e cosec x são descontínuas, pois são quocientes entre seno e cosseno, ou inversos. Uma vez que estes valem 0 em alguns ângulos, quando aparecem no denominador, tornam a função descontínua.

E como seno e cosseno são funções periódicas, as funções tg x, ctg x, sec x, cosec x também são.

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Função tangente f (x) = tg x

Para a função tangente, os valores de descontinuidade são: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… A função assume valores muito grandes ou muito pequenos. Em geral, isso acontece para todos os múltiplos de π da forma (2n + 1) π / 2, positivos e negativos, com n = 0, 1, 2 …

Portanto:

Domínio de tg x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }

Alcance ou rota de tg x : todos os reais.

Observe que a função f (x) = tg x é repetida entre – π / 2 e + π / 2, portanto, seu período é π. Além disso, é simétrico em relação à origem.

Função cotangente f (x) = ctg x

Para esta função, os valores de descontinuidade ocorrem em 0, ± π, ± 2π…, ou seja, os múltiplos inteiros de π.

Como a função tangente, a função cotangente é periódica do período π. Para ela, é verdade que:

Domínio de ctg x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }

Intervalo ou caminho de ctg x : Todos os reais.

Função secante f (x) = seg x

A função sec x possui pontos de descontinuidade em ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, onde cos x = 0. Também é periódico do período π e também é observado no gráfico que a função nunca assume valores no intervalo (-1,1)

Domínio do segundo x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }

Intervalo ou segundo x caminho : todos os reais, exceto (-1,1)

Função cosecante f (x) = cosec x

É semelhante à função secante, embora esteja deslocada para a direita, portanto, os pontos de descontinuidade são 0, ± π, ± 2π e todos os múltiplos inteiros de π. Também é periódico.

Domínio de corte x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }

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Intervalo ou caminho da colheita x : todos os reais, exceto (-1,1)

Exercício resolvido

Um homem de um metro e oitenta de altura lança uma sombra S cujo comprimento é dado por:

S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │

Com S nos pés et, o número de horas decorridas após as 6 da manhã. Quanto tempo dura a sombra às 8h, 12h, 14h e 17h45?

Solução

Devemos avaliar a função para cada um dos valores fornecidos, observe que ele deve assumir o valor absoluto, pois o comprimento da sombra é positivo:

-Às 8 horas, passaram-se 2 horas das 6 horas, portanto t = 2 e S (t) são:

S (2) = 6 cot (π.2 / 12) =pies = 6 cot (π / 6) │pies = 10,39 pés.

-Quando 12 N, t = 6 horas se passaram, portanto:

S (6) = 6 cot (π.6 / 12) │pies = 6 cot (π / 2) │pies = 0 pés. (Naquele momento, o Sol cai verticalmente na cabeça da pessoa).

– Às 14h t = 8 horas se passaram:

S (8) = 6 pés (π.8 / 12) pés = 6 pés (2π / 3) pés = 3,46 pés.

-Quando são 17h45, já passaram 11,75 horas desde as 6h, então:

S (11,75) = 6 pés (π x 11,75 / 12) pés = 91,54 pés. A essa hora, as sombras estão ficando mais longas.

O leitor pode calcular o tempo em que a sombra da pessoa é igual à sua altura?

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
  3. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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