As funções trigonométricas são essenciais no estudo da matemática e possuem diversas aplicações em áreas como física, engenharia, computação, entre outras. Neste contexto, as funções trigonométricas básicas, como seno, cosseno e tangente, descrevem as relações entre os lados de um triângulo retângulo e são representadas no plano cartesiano através de gráficos periódicos.
Por meio de exemplos práticos, é possível compreender como essas funções se comportam e como podem ser utilizadas para resolver problemas matemáticos. Um exercício comum envolve a determinação das coordenadas de um ponto no plano cartesiano a partir de um ângulo e da distância do ponto ao eixo x, utilizando as funções trigonométricas. A prática desses exercícios ajuda a desenvolver a compreensão e o domínio das funções trigonométricas, fundamentais para o estudo da trigonometria e cálculos mais avançados.
Principais funções trigonométricas e suas aplicações essenciais na matemática e na física.
As funções trigonométricas são essenciais tanto na matemática quanto na física, desempenhando um papel fundamental em diversos cálculos e problemas relacionados a ângulos e movimentos. As principais funções trigonométricas são seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
No plano cartesiano, o seno e o cosseno são representados por curvas periódicas que descrevem a relação entre um ângulo e as coordenadas de um ponto em um círculo unitário. A tangente, por sua vez, é a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo, e assim por diante para as demais funções trigonométricas.
Um exemplo simples de aplicação das funções trigonométricas é o cálculo de distâncias e ângulos em triângulos retângulos. Utilizando seno, cosseno e tangente, é possível determinar medidas desconhecidas com base em informações conhecidas, como lados e ângulos.
Um exercício comum envolvendo funções trigonométricas é a resolução de problemas de movimento circular, como o movimento de um pêndulo ou de um satélite em órbita. Nestes casos, as funções trigonométricas são utilizadas para descrever a posição e a velocidade do objeto em relação ao tempo.
Dominar essas funções é fundamental para quem deseja compreender e resolver problemas nestas áreas do conhecimento.
Trigonometria: conceito e aplicações práticas em 15 palavras.
Trigonometria é o estudo das relações entre os ângulos e os lados de um triângulo. Suas aplicações práticas incluem navegação, engenharia e física.
No plano cartesiano, as funções trigonométricas básicas são seno, cosseno e tangente. Elas relacionam os ângulos e as coordenadas dos pontos no plano.
Por exemplo, o seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para calcular o seno de um ângulo no plano cartesiano, basta dividir a coordenada y do ponto pelo raio do círculo trigonométrico.
Um exercício comum envolve determinar as coordenadas de um ponto no plano cartesiano a partir de um ângulo e uma distância do ponto até a origem. Utilize as funções trigonométricas para resolver esse problema.
Aplicações práticas das funções trigonométricas em diversos campos profissionais e científicos.
As funções trigonométricas são amplamente utilizadas em diversos campos profissionais e científicos devido à sua capacidade de descrever padrões cíclicos e oscilatórios. Essas funções, como seno, cosseno e tangente, têm aplicações práticas em áreas como engenharia, física, matemática, geografia e astronomia.
Na engenharia, as funções trigonométricas são essenciais para o projeto e análise de estruturas, como pontes e edifícios. Elas também são utilizadas em sistemas de comunicação, como antenas e sinais de rádio, para determinar a direção e o alcance de transmissão.
Em física, as funções trigonométricas são empregadas para descrever movimentos oscilatórios, como o movimento de um pêndulo ou de uma onda. Elas também são utilizadas na análise de circuitos elétricos e na resolução de problemas envolvendo ondas sonoras e luminosas.
Na matemática, as funções trigonométricas são estudadas em detalhes e aplicadas em diversas áreas, como cálculo, álgebra e geometria. Elas são fundamentais para a resolução de equações diferenciais e integrais, bem como para a modelagem de fenômenos naturais.
Na geografia, as funções trigonométricas são utilizadas para determinar distâncias, altitudes e direções em mapas e sistemas de navegação. Elas também são empregadas na análise de terrenos e na previsão de fenômenos climáticos.
Na astronomia, as funções trigonométricas são essenciais para o estudo dos movimentos dos corpos celestes, como planetas, estrelas e cometas. Elas são utilizadas para prever eclipses, calcular órbitas e determinar a posição dos astros no céu.
Aprenda a interpretar o gráfico das funções seno e cosseno de maneira simples.
As funções trigonométricas seno e cosseno são fundamentais para a matemática e têm inúmeras aplicações em diversas áreas. No entanto, muitas pessoas têm dificuldade em interpretar seus gráficos no plano cartesiano. Neste artigo, vamos explicar de forma simples como entender esses gráficos.
A função seno, representada por y = sen(x), possui um gráfico que oscila entre -1 e 1. Quando o ângulo x aumenta, o valor do seno também aumenta, atingindo o máximo em 90° (ou π/2 radianos) e voltando a zero em 180° (ou π radianos). O gráfico do seno é uma onda senoidal que se repete a cada 360° (ou 2π radianos).
Por outro lado, a função cosseno, representada por y = cos(x), também oscila entre -1 e 1, mas seu gráfico começa no valor máximo em 0° (ou 0 radianos) e volta a zero em 90° (ou π/2 radianos). Assim como o seno, o cosseno tem um padrão de onda senoidal que se repete a cada 360° (ou 2π radianos).
Para interpretar esses gráficos, basta observar a amplitude (distância entre o máximo e o mínimo), o período (distância entre duas repetições da onda) e a fase (deslocamento horizontal). Com essas informações, é possível visualizar facilmente como as funções seno e cosseno se comportam em diferentes ângulos.
Funções trigonométricas: básicas, no plano cartesiano, exemplos, exercício
As funções trigonométricas da variável real correspondem a qualquer ângulo (expresso em radianos), uma razão trigonométrica, que pode ser seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
Dessa forma, temos as seis funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cossecante, secante e cotangente.
As funções trigonométricas para ângulos entre 0 e 2π são definidas com a ajuda da circunferência unitária, do raio 1 e cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas cartesianas: o ponto (0,0).
Podemos localizar qualquer ponto P de coordenadas (x, y) nessa circunferência.
O segmento que une a origem a P, juntamente com os respectivos segmentos que unem as projeções de P nos eixos coordenados, formam um triângulo retângulo, cujas relações trigonométricas são conhecidas como relações entre os lados do triângulo. Assim:
- sin θ = perna oposta / hipotenusa
- cos θ = perna adjacente / hipotenusa
- tg θ = perna oposta / perna adjacente
E agora as razões que são inversas das anteriores:
- sec θ = hipotenusa / perna adjacente
- cosec θ = hipotenusa / perna oposta
- ctg θ = perna adjacente / perna oposta
No círculo unitário, a hipotenusa de qualquer triângulo é igual a 1 e as pernas valem x e y;
sin θ = y
cos θ = x
Dessa maneira, as funções seno e cosseno sempre adquirem valores entre -1 e 1, enquanto o restante:
tg θ = y / x
cosec θ = 1 / a
sec θ = 1 / x
Eles não são definidos quando x ou y são 0.
Funções trigonométricas no plano cartesiano
Como veremos a seguir, as funções trigonométricas são caracterizadas por serem periódicas. Portanto, eles não são bijetivos, exceto em um domínio restrito.
Função f (x) = sin x
Começando no círculo trigonométrico no ponto P (1,0), o ângulo é 0 radianos. Então o raio gira no sentido anti-horário e a função sin x aumenta gradualmente até atingir π / 2 radianos (90º), equivalente a aproximadamente 1.571 radianos.
Lá atinge o valor y = 1 e depois diminui até atingir zero em π radianos (180 °). Posteriormente, diminui ainda mais, pois o valor se torna negativo até atingir -1 quando o ângulo é 3π / 2 radianos (270 °).
Finalmente, aumenta novamente até retornar a zero a 360 °, onde tudo começa novamente. Isso faz de y = sin x uma função periódica do período 2π, portanto a função seno não é bijetiva.
Além disso, o gráfico é simétrico em relação ao ponto (0,0), portanto a função é ímpar.
Abaixo está o gráfico de y = sin x:
A seção em vermelho é o primeiro período. Ângulos negativos também são considerados, pois o raio do círculo trigonométrico pode girar no sentido horário.
Domínio do pecado x = todos os reais.
Escala ou caminho do pecado x = [-1,1]
Função f (x) = cos x
No ponto P (1,0), a função cosseno vale 1 e a partir daí diminui, chegando a 0 quando o ângulo é π / 2. Ele continua a diminuir e assume valores negativos, até atingir -1 no ângulo π.
Em seguida, começa a aumentar gradualmente até atingir 0 em 3π / 2 e retornar ao valor 1 quando o raio fez uma curva completa. A partir daí, o ciclo se repete, pois cos x é periódico e também é (simétrico em torno do eixo vertical).
A forma da função cosseno é a mesma da função seno, exceto que elas são deslocadas π / 2 uma em relação à outra.
Domínio de cos x = todos os reais.
Faixa ou caminho de cos x = [-1,1]
Funções trigonométricas descontínuas
As funções tg x, ctg x, sec x e cosec x são descontínuas, pois são quocientes entre seno e cosseno, ou inversos. Uma vez que estes valem 0 em alguns ângulos, quando aparecem no denominador, tornam a função descontínua.
E como seno e cosseno são funções periódicas, as funções tg x, ctg x, sec x, cosec x também são.
Função tangente f (x) = tg x
Para a função tangente, os valores de descontinuidade são: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2… A função assume valores muito grandes ou muito pequenos. Em geral, isso acontece para todos os múltiplos de π da forma (2n + 1) π / 2, positivos e negativos, com n = 0, 1, 2 …
Portanto:
Domínio de tg x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }
Alcance ou rota de tg x : todos os reais.
Observe que a função f (x) = tg x é repetida entre – π / 2 e + π / 2, portanto, seu período é π. Além disso, é simétrico em relação à origem.
Função cotangente f (x) = ctg x
Para esta função, os valores de descontinuidade ocorrem em 0, ± π, ± 2π…, ou seja, os múltiplos inteiros de π.
Como a função tangente, a função cotangente é periódica do período π. Para ela, é verdade que:
Domínio de ctg x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }
Intervalo ou caminho de ctg x : Todos os reais.
Função secante f (x) = seg x
A função sec x possui pontos de descontinuidade em ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2…, onde cos x = 0. Também é periódico do período π e também é observado no gráfico que a função nunca assume valores no intervalo (-1,1)
Domínio do segundo x : D = {x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z }
Intervalo ou segundo x caminho : todos os reais, exceto (-1,1)
Função cosecante f (x) = cosec x
É semelhante à função secante, embora esteja deslocada para a direita, portanto, os pontos de descontinuidade são 0, ± π, ± 2π e todos os múltiplos inteiros de π. Também é periódico.
Domínio de corte x : D = {x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z }
Intervalo ou caminho da colheita x : todos os reais, exceto (-1,1)
Exercício resolvido
Um homem de um metro e oitenta de altura lança uma sombra S cujo comprimento é dado por:
S (t) = 6 │cot (π.t / 12) │
Com S nos pés et, o número de horas decorridas após as 6 da manhã. Quanto tempo dura a sombra às 8h, 12h, 14h e 17h45?
Solução
Devemos avaliar a função para cada um dos valores fornecidos, observe que ele deve assumir o valor absoluto, pois o comprimento da sombra é positivo:
-Às 8 horas, passaram-se 2 horas das 6 horas, portanto t = 2 e S (t) são:
S (2) = 6 cot (π.2 / 12) =pies = 6 cot (π / 6) │pies = 10,39 pés.
-Quando 12 N, t = 6 horas se passaram, portanto:
S (6) = 6 cot (π.6 / 12) │pies = 6 cot (π / 2) │pies = 0 pés. (Naquele momento, o Sol cai verticalmente na cabeça da pessoa).
– Às 14h t = 8 horas se passaram:
S (8) = 6 pés (π.8 / 12) pés = 6 pés (2π / 3) pés = 3,46 pés.
-Quando são 17h45, já passaram 11,75 horas desde as 6h, então:
S (11,75) = 6 pés (π x 11,75 / 12) pés = 91,54 pés. A essa hora, as sombras estão ficando mais longas.
O leitor pode calcular o tempo em que a sombra da pessoa é igual à sua altura?
Referências
- Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
- Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
- Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.