Decomposição de números naturais (exemplos e exercícios)

A decomposição de números naturais pode ocorrer de diferentes maneiras: como produto de fatores primos, como soma de potências de dois e decomposição aditiva. Eles serão explicados em detalhes abaixo.

Uma propriedade útil dos poderes de dois é que, com eles, você pode converter um número decimal do sistema em um número binário do sistema. Por exemplo, 7 (número no sistema decimal) é equivalente ao número 111, pois 7 = (2 ^ 2) + (2 ^ 1) + (2 ^ 0).

Decomposição de números naturais (exemplos e exercícios) 1

Números naturais são usados ​​para contar

Números naturais são os números com os quais você pode contar e listar objetos. Na maioria dos casos, considera-se que os números naturais começam a partir de 1. Esses números são ensinados na escola e são úteis em quase todas as atividades da vida diária.

Maneiras de quebrar números naturais

Como mencionado anteriormente, três maneiras diferentes de quebrar os números naturais serão apresentadas abaixo.

Decomposição como produto de fatores primos

Todo número natural pode ser expresso como um produto de números primos. Se o número já é um primo, sua decomposição é multiplicada por um.

Caso contrário, é dividido pelo menor número primo pelo qual é divisível (pode ser uma ou várias vezes), até que um número primo seja obtido.

Por exemplo:

5 = 5 * 1.

15 = 3 * 5.

28 = 2 * 2 * 7.

624 = 2 * 312 = 2 * 2 * 156 = 2 * 2 * 2 * 78 = 2 * 2 * 2 * 2 * 39 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 13 * 13.

175 = 5 * 35 = 5 * 5 * 7.

Decomposição como uma soma de potências de 2

Outra propriedade interessante é que qualquer número natural pode ser expresso como uma soma de potências de 2. Por exemplo:

1 = 2 ^ 0.

2 = 2 ^ 1.

3 = 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

4 = 2 ^ 2.

5 = 2 ^ 2 + 2 ^ 0.

6 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1.

7 = 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

8 = 2 ^ 3.

15 = 2 ^ 3 + 2 ^ 2 + 2 ^ 1 + 2 ^ 0.

Decomposição aditiva

Outra maneira de decompor números naturais é considerar o sistema de números decimais e o valor posicional de cada figura.

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Isso é obtido considerando os números da direita para a esquerda e começando com a unidade, dez, cem, mil unidades, dez mil, cem mil, um milhão de unidades, etc. Esta unidade é multiplicada pelo sistema de numeração correspondente.

Por exemplo:

239 = 2 * 100 + 3 * 10 + 9 * 1 = 200 + 30 + 9.

4893 = 4 * 1000 + 8 * 100 + 9 * 10 + 3 * 1.

Exercícios e soluções

Considere o número 865236. Encontre sua decomposição como um produto de números primos, na soma das potências de 2 e sua decomposição aditiva.

Decomposição no produto de números primos

-Como o 865236 é par, verifique se o primo menor pelo qual é divisível é 2.

– Dividindo por 2, obtém: 865236 = 2 * 432618. Mais uma vez, você obtém um número par.

-Ele continua dividindo até que um número ímpar seja obtido. Então: 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309.

-O último número é ímpar, mas é divisível por 3, uma vez que a soma de seus dígitos é.

-Então, 865236 = 2 * 432618 = 2 * 2 * 216309 = 2 * 2 * 3 * 72103. O número 72103 é um primo.

-Portanto, a decomposição desejada é a última.

Decomposição na soma dos poderes de 2

-A maior potência de 2 mais próxima de 865236 é procurada.

-Isso é 2 ^ 19 = 524288. Agora, o mesmo se repete para a diferença 865236 – 524288 = 340948.

-A potência mais próxima nesse caso é 2 ^ 18 = 262144. Agora é seguida por 340948-262144 = 78804.

-Neste caso, a potência mais próxima é 2 ^ 16 = 65536. Continue 78804 – 65536 = 13268 e você obtém que a potência mais próxima é 2 ^ 13 = 8192.

Agora, com 13268-8192 = 5076, você obtém 2 ^ 12 = 4096.

-Em seguida, com 5076 – 4096 = 980 e você tem 2 ^ 9 = 512. Você continua com 980 – 512 = 468 e a potência mais próxima é 2 ^ 8 = 256.

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-Agora vem 468 – 256 = 212 com 2 ^ 7 = 128.

Então, 212-128 = 84 com 2 ^ 6 = 64.

Agora 84 – 64 = 20 com 2 ^ 4 = 16.

-E finalmente 20 – 16 = 4 com 2 ^ 2 = 4.

Finalmente você tem que:

865236 = 2 ^ 19 + 2 ^ 18 + 2 ^ 16 + 2 ^ 13 + 2 ^ 12 + 2 ^ 9 + 2 ^ 8 + 2 ^ 7 + 2 ^ 6 + 2 ^ 4 + 2 ^ 2.

Decomposição aditiva

Identificando as unidades, a unidade corresponde ao número 6, a dez a 3, a cem a 2, a unidade de mil a 5, a dez a um mil a 6 e a cem a um mil a 8.

Então

865236 = 8 * 100.000 + 6 * 10.000 + 5 * 1.000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 6

= 800.000 + 60.000 + 5.000 + 200 + 30 + 6.

Referências

  1. Barker, L. (2011). Textos nivelados para matemática: número e operações. Materiais criados pelo professor.
  2. Burton, M., Francês, C., & Jones, T. (2011). Nós usamos números. Empresa de Educação de Referência.
  3. Doudna, K. (2010). Ninguém dorme quando usamos números! Editora ABDO.
  4. Fernández, JM (1996). Projeto de Abordagem de Ligação Química. Reverte
  5. Hernandez, J. d. (sf). Caderno de matemática. Limiar
  6. Lahora, MC (1992). Atividades matemáticas com crianças de 0 a 6 anos. Edições Narcea.
  7. Marín, E. (1991). Gramática espanhola Editorial Progreso.
  8. Tocci, RJ e Widmer, NS (2003). Sistemas digitais: princípios e aplicações. Pearson Education.

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