Derivadas algébricas (com exemplos)

Os derivados algébricas consistem no estudo do derivado, no caso de funções algébricas. A origem da noção de derivada remonta à Grécia Antiga. O desenvolvimento dessa noção foi motivado pela necessidade de resolver dois problemas importantes, um em física e outro em matemática.

Na física, a derivada resolve o problema de determinar a velocidade instantânea de um objeto em movimento. Em matemática, permite encontrar a linha tangente a uma curva em um determinado ponto.

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Embora haja realmente muitos outros problemas resolvidos usando a derivada, bem como suas generalizações, resultados que vieram mais tarde à introdução de seu conceito.

Os pioneiros do cálculo diferencial são Newton e Leibniz.Antes de dar a definição formal, desenvolveremos a idéia por trás dela, do ponto de vista matemático e físico.

A derivada como inclinação da linha tangente a uma curva

Suponha que o gráfico de uma função y = f (x) seja um gráfico contínuo (sem picos, vértices ou separações) e permita que A = (a, f (a)) seja um ponto fixo nela. Queremos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto A.

Vamos pegar qualquer outro ponto P = (x, f (x)) do gráfico, próximo ao ponto A, e desenhar a linha secante que passa por A e P. Uma linha secante é uma linha que corta o gráfico de uma curva em uma ou mais pontos.

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Para obter a linha tangente que queremos, precisamos apenas calcular a inclinação porque já temos um ponto na linha: ponto A.

Se movermos o ponto P pelo gráfico e o aproximarmos cada vez mais do ponto A, a linha secante mencionada acima se aproximará da linha tangente que você deseja encontrar. Tomando o limite quando “P tende a A”, ambas as linhas coincidem, portanto, suas inclinações também.

A inclinação da linha secante é dada por

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Dizer que P se aproxima de A é equivalente a dizer que “x” se aproxima de “a”. Assim, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto A será igual a:

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A expressão anterior é denotada por f ‘(a) e é definida como a derivada de uma função f no ponto “a”. Vimos que analiticamente, a derivada de uma função em um ponto é um limite, mas geometricamente, é a inclinação da linha tangente ao gráfico da função no ponto.

Agora veremos essa noção do ponto de vista da física. Vamos chegar à mesma expressão do limite anterior, embora por um caminho diferente, obtendo assim a unanimidade da definição.

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A derivada como velocidade instantânea de um objeto em movimento

Vejamos um breve exemplo do que significa velocidade instantânea. Quando se diz, por exemplo, que um carro para chegar a um destino o fazia com uma velocidade de 100 km por hora, o que significa é que em uma hora ele percorreu 100 km.

Isso não significa necessariamente que, durante todo o tempo em que o carro estava sempre a 100 km, o velocímetro do carro poderia em alguns momentos marcar menos ou mais. Se você precisava parar em um semáforo, a velocidade naquele momento era 0 km. No entanto, após uma hora, o percurso foi de 100 km.

Isso é conhecido como velocidade média e é dado pela razão da distância percorrida entre o tempo decorrido, como acabamos de ver. A velocidade instantânea, por outro lado, é a que marca a agulha do velocímetro de um carro em um dado momento (tempo).

Vejamos isso agora de uma maneira mais geral. Suponha que um objeto se mova ao longo de uma linha e que esse deslocamento seja representado pela equação s = f (t), em que a variável t mede o tempo e a variável s o deslocamento, levando em consideração seu início em o momento t = 0, momento em que também é zero, ou seja, f (0) = 0.

Esta função f (t) é conhecida como função de posição.

Uma expressão é procurada para a velocidade instantânea do objeto em um instante fixo “a”. A essa velocidade, iremos denotá-lo por V (a).

Seja t um instante próximo do instante “a”. No intervalo de tempo entre “a” e “t”, a mudança na posição do objeto é dada por f (t) -f (a).

A velocidade média neste intervalo de tempo é:

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Qual é uma aproximação da velocidade instantânea V (a). Essa abordagem será melhor à medida que você se aproxima de “a”. Portanto,

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Observe que essa expressão é igual à obtida no caso anterior, mas de uma perspectiva diferente. Isso é conhecido como derivada de uma função f no ponto “a” e é denotada por f ‘(a), como afirmado acima.

Observe que, ao fazer a alteração h = xa, é que quando “x” tende a “a”, “h” tende a 0 e o limite anterior é transformado (equivalentemente) em:

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Ambas as expressões são equivalentes, mas às vezes é melhor usar uma em vez da outra, dependendo do caso.

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A derivada de uma função f é então definida mais geralmente em qualquer ponto “x” pertencente ao seu domínio como

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A notação mais comum para representar a derivada de uma função y = f (x) é a que acabamos de ver (f ‘o y’). No entanto, outra notação amplamente usada é a notação de Leibniz, representada como uma das seguintes expressões:

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Como a derivada é essencialmente um limite, ela pode ou não existir, uma vez que os limites nem sempre existem. Se existir, diz-se que a função em questão é diferenciável no ponto especificado.

Função algébrica

Uma função algébrica é uma combinação de polinômios por meio de adição, subtração, produtos, quocientes, potências e radicais.

Um polinômio é uma expressão da forma

P n = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +… + a 2 x 2 + a 1 x + a

Onde n é um número natural e todos ai , com i = 0,1, …, n, são números racionais e n ≠ 0. Nesse caso, diz-se que o grau desse polinômio é n.

A seguir, exemplos de funções algébricas:

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Funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas não estão incluídas aqui. As regras de derivação que veremos abaixo são válidas para funções em geral, mas vamos nos restringir e aplicá-las no caso de funções algébricas.

Regras de Referência

Derivado de uma constante

Ele afirma que a derivada de uma constante é zero. Ou seja, se f (x) = c, então f ‘(x) = 0. Por exemplo, a derivada da função constante 2 é igual a 0.

Derivado de um poder

Se f (x) = x n , então f ‘(x) = nx n-1 . Por exemplo, a derivada de x 3 é 3x 2 . Como conseqüência disso, obtém-se que a derivada da função de identidade f (x) = x é f ‘(x) = 1x 1-1 = x = 1.

Outro exemplo é o seguinte: seja f (x) = 1 / x 2 , então f (x) = x -2 ef ‘(x) = – 2x -2-1 = -2x -3 .

Essa propriedade também possui raízes válidas, uma vez que as raízes são poderes racionais e o acima também pode ser aplicado nesse caso. Por exemplo, a derivada de uma raiz quadrada é dada por

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Derivado de uma soma e uma subtração

Se f e g são funções diferenciáveis ​​em x, então a soma f + g também é diferente e é verdade que (f + g) ‘(x) = f’ (x) + g ‘(x).

Da mesma forma, você deve (fg) ‘(x) = f’ (x) -g ‘(x). Em outras palavras, a derivada de uma soma (subtração) é a soma (ou subtração) das derivadas.

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Exemplo

Se h (x) = x 2 + x-1, então

h ‘(x) = (x 2 ) + (x)’ – (1) ‘= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Derivada do produto

Se f e g são funções diferenciáveis ​​em x, então o produto fg também é diferenciável em x e é cumprido que

(fg) ‘(x) = f’ (x) g (x) + f (x) g ‘(x).

Como conseqüência, se c é uma constante ef é uma função diferenciável em x, então cf também é diferenciável em xy (cf) ‘(x) = cf’ (X).

Exemplo

Se f (x) = 3x (x 2 +1), então

f ‘(x) = (3x)’ (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) ‘= 3 (x)’ (x 2 +1) + 3x [(x 2 ) ‘+ (1 ) ‘]

= 3 (1) (x 2 +1) + 3x [(2x 2-1 ) +0] = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2

= 9x 2 +3.

Derivado de um quociente

Se f e g são diferenciáveis ​​em x e g (x) ≠ 0, então f / g também é diferenciável em x, e é cumprido que

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Exemplo: se h (x) = x 3 / (x 2 -5x), então

h ‘(x) = [(x 3 )’ (x 5 -5x) – (x 3 ) (x 5 -5x) ‘] / (x 5 -5x) 2 = [(3x 2 ) (x 5 -5x ) – (x 3 ) (5x 4 -5)] / (x 5 -5x) 2 .

Regra da cadeia

Esta regra permite derivar a composição de funções. Ele afirma o seguinte: se y = f (u) é diferenciável em u, yu = g (x) é diferenciável em x, então a função composta f (g (x)) é diferenciável em x, e é verdade que [f ( g (x))] ‘= f’ (g (x)) g ‘(x).

Ou seja, a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa (derivada externa) pela derivada da função interna (derivada interna).

Exemplo

Se f (x) = (x 4 -2x) 3 , então

f ‘(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x)’ = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).

Também existem resultados para calcular a derivada do inverso de uma função, bem como a generalização para derivadas de ordem superior. As aplicações são extensas. Entre eles, destacam suas utilidades em problemas de otimização e funções máxima e mínima.

Referências

  1. Alarcon, S., González, M. e Quintana, H. (2008). Cálculo diferencial. ITM
  2. Cabrera, VM (1997). Cálculo 4000. Progreso Editorial.
  3. Castaño, HF (2005). Matemática antes do cálculo. Universidade de Medellín.
  4. Eduardo, NA (2003). Introdução ao cálculo. Edições de limite.
  5. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
  6. Purcell, EJ, Rigdon, SE & Varberg, DE (2007). Cálculo Pearson Education.
  7. Saenz, J. (2005). Cálculo Diferencial (Segunda ed.). Barquisimeto: Hipotenusa.
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