O produto cruzado é uma operação matemática que surge no contexto de vetores tridimensionais e tem diversas propriedades e aplicações relevantes em diversas áreas da matemática e física. Neste artigo, exploraremos as propriedades do produto cruzado, suas aplicações em geometria e física, e apresentaremos alguns exercícios práticos para ajudar na compreensão e prática dessa importante operação vetorial.
Propriedades do produto vetorial: o que você precisa saber sobre essa operação matemática.
O produto vetorial é uma operação matemática muito importante que é utilizada para calcular a perpendicularidade entre dois vetores, resultando em um terceiro vetor que é ortogonal ao plano formado pelos dois vetores iniciais. Neste artigo, vamos discutir as propriedades do produto vetorial, suas aplicações e também apresentar alguns exercícios para praticar.
Antes de começarmos a falar sobre as propriedades do produto vetorial, é importante entender como essa operação é realizada. O produto vetorial entre dois vetores a e b é denotado por a x b e é calculado da seguinte forma:
a x b = |a| |b| sen(theta) n
Onde |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b, sen(theta) é o seno do ângulo entre os vetores e n é um vetor unitário perpendicular ao plano formado pelos vetores a e b.
Agora, vamos falar sobre algumas propriedades do produto vetorial:
1. Propriedade Distributiva: O produto vetorial é distributivo em relação à adição de vetores, ou seja, a x (b + c) = a x b + a x c.
2. Propriedade Anticomutativa: O produto vetorial é anticomutativo, o que significa que a x b = – b x a.
3. Propriedade do Produto Misto: O produto vetorial está relacionado com o produto misto de três vetores, sendo que o produto misto é igual ao produto escalar do primeiro vetor com o produto vetorial dos outros dois vetores, ou seja, a . (b x c) = b . (c x a) = c . (a x b).
Além dessas propriedades, o produto vetorial também é utilizado em diversas áreas da matemática e da física, como por exemplo, na determinação de áreas de paralelogramos e volumes de tetraedros.
Para praticar o cálculo do produto vetorial e suas propriedades, vamos resolver alguns exercícios:
1. Calcule o produto vetorial entre os vetores a = (2, 3, -1) e b = (4, -1, 5).
2. Determine se os vetores a = (1, -2, 3) e b = (2, -4, 6) são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
Espero que este artigo tenha lhe ajudado a compreender melhor as propriedades do produto vetorial e como essa operação matemática é aplicada em diferentes contextos. Pratique os exercícios e continue explorando esse tema fascinante da matemática!
Qual a utilidade do produto misto na matemática e geometria?
O produto misto é uma operação matemática que surge quando temos três vetores no espaço tridimensional. Ele é calculado através de um determinante, envolvendo as coordenadas dos vetores em questão. Sua principal utilidade na matemática e geometria está relacionada à determinação do volume de um paralelepípedo formado pelos três vetores.
Além disso, o produto misto também é utilizado para verificar se três vetores são coplanares, ou seja, se estão contidos no mesmo plano. Isso é feito através do cálculo do produto misto e verificando se o resultado é igual a zero. Se for, os vetores são coplanares, caso contrário, não são.
No campo da geometria, o produto misto é essencial para o cálculo de áreas de paralelogramos e volumes de tetraedros, por exemplo. Ele permite uma maneira eficiente de realizar esses cálculos em espaços tridimensionais, facilitando o trabalho de estudantes e profissionais da área.
Portanto, o produto misto desempenha um papel fundamental na matemática e geometria, sendo uma ferramenta poderosa para o cálculo de volumes, áreas e para a determinação da coplanaridade de vetores. Dominar esse conceito é essencial para quem deseja aprofundar seus conhecimentos nessas áreas.
Características fundamentais dos vetores: entenda suas propriedades essenciais para cálculos e representações.
Os vetores são grandezas que possuem magnitude, direção e sentido. Essas características fundamentais são essenciais para realizar cálculos e representações em diversas áreas da matemática e da física.
Uma das propriedades importantes dos vetores é a sua adição. Dois vetores podem ser somados geometricamente, formando um novo vetor que representa a soma das magnitudes e direções dos vetores originais. Além disso, os vetores também podem ser multiplicados por um escalar, alterando apenas a sua magnitude e mantendo a direção e sentido.
Outra característica fundamental dos vetores é o produto cruzado. Este produto é uma operação matemática que resulta em um novo vetor perpendicular ao plano formado pelos vetores originais. O produto cruzado é utilizado em diversas aplicações, como cálculos de torque, momento angular e força magnética.
Para realizar o produto cruzado entre dois vetores, é necessário utilizar a regra da mão direita. Essa regra determina a direção do vetor resultante do produto cruzado, garantindo a consistência nos cálculos e nas representações.
Em resumo, os vetores possuem propriedades essenciais que permitem realizar cálculos complexos e representações precisas em diversas áreas do conhecimento. O produto cruzado é uma operação matemática fundamental que amplia as possibilidades de análise e resolução de problemas em física e matemática.
Como encontrar o produto misto utilizando vetores em um espaço tridimensional.
O produto misto é uma operação matemática que envolve três vetores em um espaço tridimensional. Para encontrar o produto misto, primeiro é necessário calcular o produto cruzado entre dois dos vetores dados. Em seguida, o resultado do produto cruzado é combinado com o terceiro vetor original através de um produto escalar.
Suponha que temos três vetores A, B e C no espaço tridimensional. Para encontrar o produto misto desses vetores, podemos seguir os seguintes passos:
1. Calcule o produto cruzado entre os vetores A e B utilizando a regra da mão direita. O resultado será um novo vetor, que chamaremos de D.
2. Em seguida, faça o produto escalar entre o vetor D e o vetor C. O resultado dessa operação será o produto misto dos três vetores A, B e C.
O produto misto possui diversas propriedades interessantes, como ser invariante sob rotações do sistema de coordenadas e ter relação com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores originais. Além disso, o produto misto é utilizado em diversas aplicações, como cálculos de áreas e volumes, geometria analítica e física.
Para praticar o cálculo do produto misto, é recomendado resolver exercícios que envolvam a operação com diferentes conjuntos de vetores. Com a prática, é possível aprimorar a compreensão e agilidade no cálculo do produto misto em um espaço tridimensional.
Produto cruzado: Propriedades, aplicações e exercícios
O produto cruzado ou produto vetorial é uma maneira de multiplicar dois ou mais vetores. Existem três maneiras de multiplicar vetores, mas nenhuma delas é uma multiplicação no sentido usual da palavra. Uma dessas formas é conhecida como produto vetorial, o que resulta em um terceiro vetor.
O produto vetorial, que também é chamado de produto cruzado ou produto estrangeiro, possui propriedades algébricas e geométricas diferentes. Essas propriedades são muito úteis, principalmente no que diz respeito ao estudo da física.
Definição de
Uma definição formal do produto vetorial é a seguinte: se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) são vetores, o produto vetorial de A e B, que iremos designar como AxB, é:
AxB = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)
Devido à notação AxB, lê-se como “A cruz B”.
Um exemplo de como usar o produto externo é que, se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4) são vetores, então, usando a definição de produto vetorial, temos:
AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 – 3 * (- 2), 3 * 3 – 1 * 4, 1 * (- 2) – 2 * 3)
AxB = (8 + 6, 9 – 4, – 2 – 6) = (14, 5, – 8).
Outra maneira de expressar o produto vetorial é dada pela notação de determinantes.
O cálculo de um determinante de segunda ordem é dado por:
Portanto, a fórmula do produto vetorial dada na definição pode ser reescrita da seguinte maneira:
Isso geralmente é simplificado em um determinante de terceira ordem da seguinte maneira:
Onde i, j, k representam os vetores que formam a base de R 3 .
Usando essa maneira de expressar o produto cruzado, precisamos reescrever o exemplo anterior como:
Propriedades
Algumas propriedades que o produto vetorial possui são as seguintes:
Propriedade 1
Se A é um vetor qualquer em R 3 , temos:
– AxA = 0
– Ax0 = 0
– 0xA = 0
É fácil verificar essas propriedades usando apenas a definição. Se A = (a1, a2, a3), temos que:
AxA = (a2a3 – a3a2, a3a1 – a1a3, a1a2 – a2a1) = (0, 0, 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 – a3 * 0, a3 * 0 – a1 * 0, a1 * 0 – a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.
Se i, j, k representam a base unitária de R 3 , podemos escrevê-los da seguinte forma:
i = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
Portanto, temos que atender às seguintes propriedades:
Como regra mnemônica, o círculo a seguir geralmente é usado para lembrar essas propriedades:
É preciso observar que qualquer vetor em si resulta no vetor 0 e o restante dos produtos pode ser obtido com a seguinte regra:
O produto cruzado de dois vetores consecutivos no sentido horário fornece o seguinte vetor; e ao considerar a direção anti-horária, o resultado é o próximo vetor de sinal negativo.
Graças a essas propriedades, podemos ver que o produto vetorial não é comutativo; por exemplo, basta olhar para aquele ixj ≠ jx i. A propriedade a seguir nos diz como se relaciona em geral AxB e BxA.
Propriedade 2
Se A e B são vetores de R 3 , temos que:
AxB = – (BxA).
Demonstração
Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), por definição de produto estrangeiro, temos:
AxB = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)
= (- 1) (a3b2 – a2b3, a1b3 – a3b1, a2b1 – a1b2)
= (- 1) (BxA).
Também podemos observar que este produto não está associado ao seguinte exemplo:
ix (ixj) = ixk = – j mas (ixi) xj = 0xj = 0
A partir disso, podemos ver que:
ix (ixj) ≠ (ixi) xj
Propriedade 3
Se A, B, C são vectores de R 3 e r é um número real, o seguinte é válido:
– Ax (B + C) = AxB + AxC
– r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
Graças a essas propriedades, podemos calcular o produto vetorial usando as leis da álgebra, desde que a ordem seja respeitada. Por exemplo:
Se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4), podemos reescrevê-los com base na base canônica de R 3 .
Assim, A = i + 2j + 3k e B = 3i – 2j + 4k. Em seguida, aplicando as propriedades anteriores:
AxB = (i + 2j + 3k) x (3i – 2j + 4k)
= 3 (ixi) – 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) – 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) – 6 (kxj) +12 (kxk)
= 3 (0) – 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) – 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) – 6 (- i) +12 (0)
Qual o valor de x na equação 2x + 1 = 0 – Brainly.com.br
= (14, 5, – 8).
Propriedade 4 (produto escalar triplo)
Como mencionamos no início, existem outras maneiras de multiplicar vetores além do produto vetorial. Uma dessas maneiras é o produto escalar ou produto interno, que é indicado como A ∙ B e cuja definição é:
Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), então A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
A propriedade que relaciona os dois produtos é conhecida como produto escalar triplo.
Se A, B, e C são os vectores de R 3 , então A = AxB BxC ∙ ∙ C
Como exemplo, vejamos que, dado A = (1, 1, – 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, – 4), essa propriedade é cumprida.
BxC = – 3k – 12j + 20k – 16i – 10j – 2i = – 18i – 22j + 17k
A ∙ BxC = (1, 1, – 2) ∙ (- 18, – 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = – 74
Por outro lado:
AxB = 4k – 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, – 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = – 74
Outro produto triplo é o Ax (BxC), conhecido como produto de vetor triplo.
Propriedade 5 (produto de vetor triplo)
Se A, B e C são vectores de R 3 , em seguida:
Ax (BxC) = (A ∙ C) B – (A ∙ B) C
Como exemplo, vejamos que, dado A = (1, 1, – 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, – 4), essa propriedade é cumprida.
No exemplo anterior, sabemos que BxC = (- 18, – 22, 17). Vamos calcular Ax (BxC):
Qual o valor de x na equação ax2 + bx + c = 0 é igual a: a) (bxc) = – 22k – 17j + 18k + 17i + 36j
Por outro lado, temos que:
A = C = (1, 1, – 2) ∙ (- 5, 1, – 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = – 5 + 1 + 8 = 4
A ∙ B = (1, 1, – 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = – 3 + 4 – 4 = – 3
Assim, temos que:
(A ∙ C) B – (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, – 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, – 12) = (- 27,19, –4)
Propriedade 6
É uma das propriedades geométricas dos vetores. Se A e B são dois vetores em R 3 e ϴ é o ângulo formado entre eles, então:
|| AxB || = || A |||| B || sen (ϴ), onde || ∙ || denota o módulo ou magnitude de um vetor.
A interpretação geométrica dessa propriedade é a seguinte:
Seja A = PR e B = PQ. Então, o ângulo formado pelos vetores A e B é o ângulo P do triângulo RQP, conforme mostrado na figura a seguir.
Portanto, a área do paralelogramo que possui lados adjacentes PR e PQ é || A |||| B || sen (ϴ), pois podemos usar || A || e sua altura é dada por || B || sen (ϴ).
Portanto, podemos concluir que || AxB || é a área do referido paralelogramo.
Exemplo
Dados os vértices a seguir de um quadrilátero P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) e S (5,7, -3), mostram que o referido quadrilátero É um paralelogramo e encontra sua área.
Para isso, primeiro determinamos os vetores que determinam a direção dos lados do quadrilátero. Isto é:
A = PQ = (1 – 4, 3 + 2, – 1 – 3) = (3, 5, – 4)
B = PR = (2 – 1, 2 + 2, 1 – 3) = (1, 4, – 2)
C = RS = (5 – 2, 7 – 2, – 3 – 1) = (3, 5, – 4)
D = QS = (5 – 4, 7 – 3, – 3 + 1) = (1, 4, – 2)
Como podemos ver, A e C têm o mesmo vetor principal, então temos que ambos são paralelos; da mesma forma acontece com B e D. Portanto, concluímos que o PQRS é um paralelogramo.
Para ter a área do referido paralelogramo, calculamos BxA:
BxA = (i + 4j – 2k) x (3i + 5j – 4k)
= 5k + 4j – 12k – 16i – 6j + 10i
= – 6i – 2j – 7k.
Portanto, a área quadrada será:
BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.
Pode-se concluir que a área do paralelogramo será a raiz quadrada de 89.
Propriedade 7
Dois vetores A e B são paralelos em R 3 se e somente se AxB = 0
Demonstração
É claro que, se A ou B é o vetor nulo, é verdade que AxB = 0. Como o vetor zero é paralelo a qualquer outro vetor, a propriedade é válida.
Se nenhum dos dois vetores for o vetor zero, temos que suas magnitudes são diferentes de zero; isto é, ambos || A || Como 0 como || B || ≠ 0, então teremos que || AxB || = 0 se e somente se sin (ϴ) = 0, e isso ocorre se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0.
Portanto, podemos concluir AxB = 0 se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0, o que só acontece quando os dois vetores são paralelos entre si.
Propriedade 8
Se A e B são dois vectores em R 3 , em seguida, AxB é perpendicular a ambas, A e B.
Demonstração
Para esta demonstração, lembre-se de que dois vetores são perpendiculares se A ∙ B for igual a zero. Além disso, sabemos que:
A ∙ AxB = AxA ∙ B, mas AxA é igual a 0. Portanto, temos que:
A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
É por isso que podemos concluir que A e AxB são perpendiculares entre si. Da mesma forma, temos que:
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
Como BxB = 0, temos que:
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
Portanto, AxB e B são perpendiculares entre si e com essa propriedade é demonstrada. Isso é muito útil, pois eles permitem determinar a equação de um plano.
Exemplo 1
Obtenha uma equação do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q (3, – 2, 2) e R (2, 1, 3).
Seja A = QR = (2 – 3,1 + 2, 3 – 2) e B = PR = (2 – 1,1 – 3, 3 – 2). Então A = – i + 3j + k e B = i – 2j + k. Para encontrar o plano formado por esses três pontos, basta encontrar um vetor normal ao plano, que é AxB.
AxB = (- i + 3j + k) x (i – 2j + k) = 5i + 2j – k.
Com esse vetor, e tomando o ponto P (1, 3, 2), podemos determinar a equação do plano da seguinte maneira:
(5, 2, – 1) ∙ (x – 1, y – 3, z – 2) = 5 (x – 1) + 2 (y – 3) – (z – 2) = 0
Assim, temos que a equação do plano é 5x + 2y – z – 9 = 0.
Exemplo 2
Encontre a equação do plano que contém o ponto P (4, 0, – 2) e que é perpendicular a cada um dos planos x – y + z = 0 e 2x + y – 4z – 5 = 0.
Sabendo que um vetor normal em um plano ax + by + cz + d = 0 é (a, b, c), temos que (1, -1,1) é um vetor normal de x – y + z = 0 y ( 2,1, – 4) é um vetor normal de 2x + e – 4z – 5 = 0.
Portanto, um vetor normal ao plano pesquisado deve ser perpendicular a (1, -1,1) e (2, 1, – 4). O referido vetor é:
(1, -1,1) x (2,1, – 4) = 3i + 6j + 3k.
Portanto, temos que o plano pesquisado é aquele que contém o ponto P (4,0, – 2) e tem o vetor (3,6,3) como um vetor normal.
3 (x – 4) + 6 (y – 0) + 3 (z + 2) = 0
x + 2y + z – 2 = 0.
Aplicações
Cálculo do volume de um paralelepípedo
Uma aplicação que possui o produto escalar triplo é calcular o volume de um paralelepípedo cujas bordas são dadas pelos vetores A, B e C, conforme mostrado na figura:
Esse aplicativo pode ser deduzido da seguinte forma: como dissemos anteriormente, o vetor AxB é um vetor normal ao plano de A e B. Também temos que o vetor – (AxB) é outro vetor normal para esse plano.
Nós escolhemos o vetor normal que forma o menor ângulo com o vetor C; sem perda de generalidade, seja AxB o vetor cujo ângulo com C é o menor.
Temos que AxB e C têm o mesmo ponto de partida. Além disso, sabemos que a área do paralelogramo que forma a base do paralelepípedo é || AxB ||. Portanto, se a altura do paralelepípedo for dada por h, temos que seu volume será:
V = || AxB || h.
Por outro lado, considere o produto escalar entre AxB e C, que pode ser descrito da seguinte maneira:
No entanto, para propriedades trigonométricas, temos que h = || C || cos (ϴ), portanto, temos que:
Desta forma, temos que:
Em termos gerais, temos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo AxB ∙ C.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Dados os pontos P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) e S = (2, 6, 9), esses pontos formam um paralelepípedo cujas arestas Eles são PQ, PR e PS. Determine o volume do referido paralelepípedo.
Solução
Se tomarmos:
– A = PQ = (-1, 6, 1)
– B = PR = (-4, 4, 2)
– C = PS = (-3, 2, 2)
Usando a propriedade do produto escalar triplo, temos que:
AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).
AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.
Portanto, temos que o volume do referido paralelepípedo é 52.
Exercício 2
Determine o volume de um paralelepípedo cujas arestas são dadas por A = PQ, B = PR e C = PS, onde os pontos P, Q, R e S são (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5), respectivamente.
Solução
Primeiro, temos que A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).
Calculamos AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).
Então calculamos em AxB ∙ C:
AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 – 6 = 1.
Assim, concluímos que o volume do referido paralelepípedo é de 1 unidade cúbica.
Referências
- Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
- Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. México: Continental.
- Saenz, J. (sf). Cálculo vetorial 1ed. Hipotenusa
- Spiegel, MR (2011). Análise vetorial 2ed. Mc Graw Hill
- Zill, DG e Wright, W. (2011). Cálculo de várias variáveis 4ed. Mc Graw Hill