Produto cruzado: Propriedades, aplicações e exercícios

O produto cruzado ou produto vetorial é uma maneira de multiplicar dois ou mais vetores. Existem três maneiras de multiplicar vetores, mas nenhuma delas é uma multiplicação no sentido usual da palavra. Uma dessas formas é conhecida como produto vetorial, o que resulta em um terceiro vetor.

O produto vetorial, que também é chamado de produto cruzado ou produto estrangeiro, possui propriedades algébricas e geométricas diferentes. Essas propriedades são muito úteis, principalmente no que diz respeito ao estudo da física.

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Definição de

Uma definição formal do produto vetorial é a seguinte: se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) são vetores, o produto vetorial de A e B, que iremos designar como AxB, é:

AxB = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)

Devido à notação AxB, lê-se como “A cruz B”.

Um exemplo de como usar o produto externo é que, se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4) são vetores, então, usando a definição de produto vetorial, temos:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 – 3 * (- 2), 3 * 3 – 1 * 4, 1 * (- 2) – 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 – 4, – 2 – 6) = (14, 5, – 8).

Outra maneira de expressar o produto vetorial é dada pela notação de determinantes.

O cálculo de um determinante de segunda ordem é dado por:

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Portanto, a fórmula do produto vetorial dada na definição pode ser reescrita da seguinte maneira:

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Isso geralmente é simplificado em um determinante de terceira ordem da seguinte maneira:

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Onde i, j, k representam os vetores que formam a base de R 3 .

Usando essa maneira de expressar o produto cruzado, precisamos reescrever o exemplo anterior como:

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Propriedades

Algumas propriedades que o produto vetorial possui são as seguintes:

Propriedade 1

Se A é um vetor qualquer em R 3 , temos:

– AxA = 0

– Ax0 = 0

– 0xA = 0

É fácil verificar essas propriedades usando apenas a definição. Se A = (a1, a2, a3), temos que:

AxA = (a2a3 – a3a2, a3a1 – a1a3, a1a2 – a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 – a3 * 0, a3 * 0 – a1 * 0, a1 * 0 – a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Se i, j, k representam a base unitária de R 3 , podemos escrevê-los da seguinte forma:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Portanto, temos que atender às seguintes propriedades:

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Como regra mnemônica, o círculo a seguir geralmente é usado para lembrar essas propriedades:

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É preciso observar que qualquer vetor em si resulta no vetor 0 e o restante dos produtos pode ser obtido com a seguinte regra:

O produto cruzado de dois vetores consecutivos no sentido horário fornece o seguinte vetor; e ao considerar a direção anti-horária, o resultado é o próximo vetor de sinal negativo.

Graças a essas propriedades, podemos ver que o produto vetorial não é comutativo; por exemplo, basta olhar para aquele ixj ≠ jx i. A propriedade a seguir nos diz como se relaciona em geral AxB e BxA.

Propriedade 2

Se A e B são vetores de R 3 , temos que:

AxB = – (BxA).

Demonstração

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), por definição de produto estrangeiro, temos:

AxB = (a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1)

= (- 1) (a3b2 – a2b3, a1b3 – a3b1, a2b1 – a1b2)

= (- 1) (BxA).

Também podemos observar que este produto não está associado ao seguinte exemplo:

ix (ixj) = ixk = – j mas (ixi) xj = 0xj = 0

A partir disso, podemos ver que:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Propriedade 3

Se A, B, C são vectores de R 3 e r é um número real, o seguinte é válido:

– Ax (B + C) = AxB + AxC

– r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Graças a essas propriedades, podemos calcular o produto vetorial usando as leis da álgebra, desde que a ordem seja respeitada. Por exemplo:

Se A = (1, 2, 3) e B = (3, -2, 4), podemos reescrevê-los com base na base canônica de R 3 .

Assim, A = i + 2j + 3k e B = 3i – 2j + 4k. Em seguida, aplicando as propriedades anteriores:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i – 2j + 4k)

= 3 (ixi) – 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) – 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) – 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) – 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) – 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) – 6 (- i) +12 (0)

Qual o valor de x na equação 2x + 1 = 0 – Brainly.com.br

= (14, 5, – 8).

Propriedade 4 (produto escalar triplo)

Como mencionamos no início, existem outras maneiras de multiplicar vetores além do produto vetorial. Uma dessas maneiras é o produto escalar ou produto interno, que é indicado como A ∙ B e cuja definição é:

Se A = (a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3), então A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

A propriedade que relaciona os dois produtos é conhecida como produto escalar triplo.

Se A, B, e C são os vectores de R 3 , então A = AxB BxC ∙ ∙ C

Como exemplo, vejamos que, dado A = (1, 1, – 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, – 4), essa propriedade é cumprida.

BxC = – 3k – 12j + 20k – 16i – 10j – 2i = – 18i – 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, – 2) ∙ (- 18, – 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = – 74

Por outro lado:

AxB = 4k – 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, – 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = – 74

Outro produto triplo é o Ax (BxC), conhecido como produto de vetor triplo.

Propriedade 5 (produto de vetor triplo)

Se A, B e C são vectores de R 3 , em seguida:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B – (A ∙ B) C

Como exemplo, vejamos que, dado A = (1, 1, – 2), B = (- 3, 4, 2) e C = (- 5, 1, – 4), essa propriedade é cumprida.

No exemplo anterior, sabemos que BxC = (- 18, – 22, 17). Vamos calcular Ax (BxC):

Qual o valor de x na equação ax2 + bx + c = 0 é igual a: a) (bxc) = – 22k – 17j + 18k + 17i + 36j

Por outro lado, temos que:

A = C = (1, 1, – 2) ∙ (- 5, 1, – 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = – 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, – 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = – 3 + 4 – 4 = – 3

Assim, temos que:

(A ∙ C) B – (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, – 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, – 12) = (- 27,19, –4)

Propriedade 6

É uma das propriedades geométricas dos vetores. Se A e B são dois vetores em R 3 e ϴ é o ângulo formado entre eles, então:

|| AxB || = || A |||| B || sen (ϴ), onde || ∙ || denota o módulo ou magnitude de um vetor.

A interpretação geométrica dessa propriedade é a seguinte:

Seja A = PR e B = PQ. Então, o ângulo formado pelos vetores A e B é o ângulo P do triângulo RQP, conforme mostrado na figura a seguir.

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Portanto, a área do paralelogramo que possui lados adjacentes PR e PQ é || A |||| B || sen (ϴ), pois podemos usar || A || e sua altura é dada por || B || sen (ϴ).

Portanto, podemos concluir que || AxB || é a área do referido paralelogramo.

Exemplo

Dados os vértices a seguir de um quadrilátero P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) e S (5,7, -3), mostram que o referido quadrilátero É um paralelogramo e encontra sua área.

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Para isso, primeiro determinamos os vetores que determinam a direção dos lados do quadrilátero. Isto é:

A = PQ = (1 – 4, 3 + 2, – 1 – 3) = (3, 5, – 4)

B = PR = (2 – 1, 2 + 2, 1 – 3) = (1, 4, – 2)

C = RS = (5 – 2, 7 – 2, – 3 – 1) = (3, 5, – 4)

D = QS = (5 – 4, 7 – 3, – 3 + 1) = (1, 4, – 2)

Como podemos ver, A e C têm o mesmo vetor principal, então temos que ambos são paralelos; da mesma forma acontece com B e D. Portanto, concluímos que o PQRS é um paralelogramo.

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Para ter a área do referido paralelogramo, calculamos BxA:

BxA = (i + 4j – 2k) x (3i + 5j – 4k)

= 5k + 4j – 12k – 16i – 6j + 10i

= – 6i – 2j – 7k.

Portanto, a área quadrada será:

BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Pode-se concluir que a área do paralelogramo será a raiz quadrada de 89.

Propriedade 7

Dois vetores A e B são paralelos em R 3 se e somente se AxB = 0

Demonstração

É claro que, se A ou B é o vetor nulo, é verdade que AxB = 0. Como o vetor zero é paralelo a qualquer outro vetor, a propriedade é válida.

Se nenhum dos dois vetores for o vetor zero, temos que suas magnitudes são diferentes de zero; isto é, ambos || A || Como 0 como || B || ≠ 0, então teremos que || AxB || = 0 se e somente se sin (ϴ) = 0, e isso ocorre se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0.

Portanto, podemos concluir AxB = 0 se e somente se ϴ = π ou ϴ = 0, o que só acontece quando os dois vetores são paralelos entre si.

Propriedade 8

Se A e B são dois vectores em R 3 , em seguida, AxB é perpendicular a ambas, A e B.

Demonstração

Para esta demonstração, lembre-se de que dois vetores são perpendiculares se A ∙ B for igual a zero. Além disso, sabemos que:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, mas AxA é igual a 0. Portanto, temos que:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

É por isso que podemos concluir que A e AxB são perpendiculares entre si. Da mesma forma, temos que:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Como BxB = 0, temos que:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Portanto, AxB e B são perpendiculares entre si e com essa propriedade é demonstrada. Isso é muito útil, pois eles permitem determinar a equação de um plano.

Exemplo 1

Obtenha uma equação do plano que passa pelos pontos P (1, 3, 2), Q (3, – 2, 2) e R (2, 1, 3).

Seja A = QR = (2 – 3,1 + 2, 3 – 2) e B = PR = (2 – 1,1 – 3, 3 – 2). Então A = – i + 3j + k e B = i – 2j + k. Para encontrar o plano formado por esses três pontos, basta encontrar um vetor normal ao plano, que é AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i – 2j + k) = 5i + 2j – k.

Com esse vetor, e tomando o ponto P (1, 3, 2), podemos determinar a equação do plano da seguinte maneira:

(5, 2, – 1) ∙ (x – 1, y – 3, z – 2) = 5 (x – 1) + 2 (y – 3) – (z – 2) = 0

Assim, temos que a equação do plano é 5x + 2y – z – 9 = 0.

Exemplo 2

Encontre a equação do plano que contém o ponto P (4, 0, – 2) e que é perpendicular a cada um dos planos x – y + z = 0 e 2x + y – 4z – 5 = 0.

Sabendo que um vetor normal em um plano ax + by + cz + d = 0 é (a, b, c), temos que (1, -1,1) é um vetor normal de x – y + z = 0 y ( 2,1, – 4) é um vetor normal de 2x + e – 4z – 5 = 0.

Portanto, um vetor normal ao plano pesquisado deve ser perpendicular a (1, -1,1) e (2, 1, – 4). O referido vetor é:

(1, -1,1) x (2,1, – 4) = 3i + 6j + 3k.

Portanto, temos que o plano pesquisado é aquele que contém o ponto P (4,0, – 2) e tem o vetor (3,6,3) como um vetor normal.

3 (x – 4) + 6 (y – 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z – 2 = 0.

Aplicações

Cálculo do volume de um paralelepípedo

Uma aplicação que possui o produto escalar triplo é calcular o volume de um paralelepípedo cujas bordas são dadas pelos vetores A, B e C, conforme mostrado na figura:

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Esse aplicativo pode ser deduzido da seguinte forma: como dissemos anteriormente, o vetor AxB é um vetor normal ao plano de A e B. Também temos que o vetor – (AxB) é outro vetor normal para esse plano.

Nós escolhemos o vetor normal que forma o menor ângulo com o vetor C; sem perda de generalidade, seja AxB o vetor cujo ângulo com C é o menor.

Temos que AxB e C têm o mesmo ponto de partida. Além disso, sabemos que a área do paralelogramo que forma a base do paralelepípedo é || AxB ||. Portanto, se a altura do paralelepípedo for dada por h, temos que seu volume será:

V = || AxB || h.

Por outro lado, considere o produto escalar entre AxB e C, que pode ser descrito da seguinte maneira:

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No entanto, para propriedades trigonométricas, temos que h = || C || cos (ϴ), portanto, temos que:

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Desta forma, temos que:

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Em termos gerais, temos que o volume de um paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto escalar triplo AxB ∙ C.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Dados os pontos P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) e S = (2, 6, 9), esses pontos formam um paralelepípedo cujas arestas Eles são PQ, PR e PS. Determine o volume do referido paralelepípedo.

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Solução

Se tomarmos:

– A = PQ = (-1, 6, 1)

– B = PR = (-4, 4, 2)

– C = PS = (-3, 2, 2)

Usando a propriedade do produto escalar triplo, temos que:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Portanto, temos que o volume do referido paralelepípedo é 52.

Exercício 2

Determine o volume de um paralelepípedo cujas arestas são dadas por A = PQ, B = PR e C = PS, onde os pontos P, Q, R e S são (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) e (2, 2, 5), respectivamente.

Solução

Primeiro, temos que A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Calculamos AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Então calculamos em AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 – 6 = 1.

Assim, concluímos que o volume do referido paralelepípedo é de 1 unidade cúbica.

Referências

  1. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. México: Continental.
  3. Saenz, J. (sf). Cálculo vetorial 1ed. Hipotenusa
  4. Spiegel, MR (2011). Análise vetorial 2ed. Mc Graw Hill
  5. Zill, DG e Wright, W. (2011). Cálculo de várias variáveis ​​4ed. Mc Graw Hill

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