Números primos: características, exemplos, exercícios

Números primos: características, exemplos, exercícios

Os números primos , também chamados de absoluto primo, são aqueles naturais que são divisíveis apenas por eles e 1. Essa categoria de números como 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e muitos outros. mais.

Em vez disso, um número composto é divisível por si só, por 1 e pelo menos mais um número. Temos, por exemplo, 12, que é divisível por 1, 2, 4, 6 e 12. Por convenção, 1 não está incluído na lista de números primos ou na lista de compostos.

O conhecimento dos números primos remonta aos tempos antigos; os antigos egípcios já os manejavam e certamente eram conhecidos desde muito antes.

Esses números são muito importantes, pois qualquer número natural pode ser representado pelo produto de números primos, sendo essa representação única, exceto na ordem dos fatores.

Esse fato está totalmente estabelecido em um teorema chamado teorema fundamental da aritmética, que afirma que números que não são primos são necessariamente compostos de produtos de números que são primos.

Características dos números primos

Aqui estão as principais características dos números primos:

-Eles são infinitos, pois, por maior que seja um número primo, você sempre pode encontrar um número maior.

-Se um número primo p não divide exatamente outro número a , então p e a são considerados primos um ao outro. Quando isso acontece, o único divisor comum que ambos possuem é 1.

A não tem para ser um primo absoluta. Por exemplo, 5 é primo e, embora 12 não seja, ambos os números são primos um do outro, pois os dois têm um divisor comum de 1.

-Quando um número primo p divide uma potência do número n , ele também divide n . Considere 100, que é uma potência de 10, especificamente 10 2 . Acontece que 2 divide 100 e 10.

-Todos os números primos são ímpares, exceto 2, portanto, seu último dígito é 1, 3, 7 ou 9. 5 não está incluído, porque, embora seja ímpar e primo, nunca é o dígito final de outro número primo. De fato, todos os números que terminam em 5 são múltiplos disso e, portanto, não são primos.

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-Se p é um primo e divisor do produto de dois números ab , então p divide um deles. Por exemplo, o número primo 3 divide o produto 9 x 11 = 99, pois 3 é um divisor de 9.

Como saber se um número é primo

A primalidad é o nome dado à qualidade de ser primo. Bem, o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) encontrou uma maneira de verificar a primalidade de um número, no chamado pequeno teorema de Fermat , que tem a seguinte redação:

“Dado um número natural privilegiada p e qualquer número natural a maior que 0, é verdade que uma p – um é um múltiplo de p , desde que p é um prime”.

Podemos corroborar isso usando números pequenos, por exemplo, suponha que p = 4 , que já sabemos que não é primo para ya = 6:

6 4 – 6 = 1296 – 6 = 1290

O número 1290 não é exatamente divisível por 4, portanto 4 não é um número primo.

Vamos fazer o teste agora com p = 5, que é primo para ya = 6:

6 5 – 6 = 7766 – 6 = 7760

7760 é divisível por 5, pois qualquer número que termina em 0 ou 5 é. De fato, 7760/5 = 1554. Como o pequeno teorema de Fermat é verdadeiro, podemos garantir que 5 é um número primo.

A prova através do teorema é eficaz e direta com pequenos números, nos quais a operação é fácil de executar, mas o que fazer se formos solicitados a descobrir a primalidade de um grande número?

Nesse caso, o número é dividido sucessivamente entre todos os números primos menores, até encontrar uma divisão exata ou que o quociente seja menor que o divisor.

Se qualquer divisão é exata, significa que o número é composto e se o quociente é menor que o divisor, significa que o número é primo. Vamos colocá-lo em prática no exercício 2.

Maneiras de encontrar um número primo

Existem números primos infinitos e não existe uma fórmula única para determiná-los. No entanto, olhando para alguns números primos como estes:

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3, 7, 31, 127 …

Observa-se que eles têm a forma 2 n – 1, com n = 2, 3, 5, 7, 9 … Nós garantimos:

2 2 – 1 = 4-1 = 3 ; 2 3 – 1 = 8 – 1 = 7 ; 2 5 – 1 = 32 – 1 = 31 ; 2 7 – 1 = 128 – 1 = 127

Mas não podemos garantir que, em geral, 2 n – 1 seja primo, porque existem alguns valores de n para os quais não funciona, por exemplo 4:

2 4 – 1 = 16 – 1 = 15

E o número 15 não é primo, pois termina em 5. No entanto, um dos maiores números primos conhecidos, encontrados por cálculos computacionais, tem a forma 2 n – 1 com:

n = 57.885.161

A fórmula de Mersenne garante que 2 p – 1 seja sempre primo, desde que p também seja primo. Por exemplo, 31 é primo, portanto, é certo que 2 31 – 1 também é primo :

2 31 – 1 = 2.147.483.647

No entanto, a fórmula permite determinar apenas alguns números primos, não todos.

Fórmula de Euler

O polinômio a seguir permite encontrar números primos, desde que n esteja entre 0 e 39:

P (n) = n 2 + n + 41

Mais tarde, na seção de exercícios resolvidos, há um exemplo de seu uso.

A peneira de Eratóstenes

Eratóstenes era um físico e matemático da Grécia Antiga que viveu no século III aC. Ele criou um método gráfico de encontrar números primos que podemos colocar em prática com pequenos números, é chamado de peneira de Eratóstenes (uma peneira é como um filtro).

-Os números são colocados em uma tabela como a mostrada na animação.

-Os números pares são riscados, exceto os 2 que sabemos que são primos. Todos os outros são múltiplos disso e, portanto, não são primos.

-Os múltiplos de 3, 5, 7 e 11 também são marcados, excluindo todos porque sabemos que são primos.

-Os múltiplos de 4, 6, 8, 9 e 10 já estão marcados, porque são compostos e, portanto, múltiplos de alguns dos primos indicados.

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-Finalmente, os números que permanecem desmarcados são primos.

Exercícios

– Exercício 1

Usando o polinômio de Euler para números primos, encontre 3 números maiores que 100.

Solução

Esse é o polinômio proposto por Euler para encontrar números primos, que funciona para valores de n entre 0 e 39.

P (n) = n 2 + n + 41

Por tentativa e erro, selecionamos um valor de n, por exemplo n = 8:

P (8) = 8 2 + 8 + 41 = 113

Como n = 8 produz um número primo maior que 100, avaliamos o polinômio para n = 9 en = 10:

P (9) = 9 2 + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 2 + 10 + 41 = 151

– Exercício 2

Descubra se os seguintes números são primos:

a) 13

b) 191

Solução para

O 13 é pequeno o suficiente para usar o pequeno teorema de Fermat e a ajuda da calculadora.

Usamos a = 2 para que os números não sejam muito grandes, embora a = 3, 4 ou 5 também possam ser usados:

2 13 – 2 = 8190

8190 é divisível por 2, pois é par; portanto, 13 é primo. O leitor pode corroborá-lo fazendo o mesmo teste com a = 3.

Solução b

191 é muito grande para provar com o teorema e uma calculadora comum, mas podemos testar a divisão entre cada número primo. Omitimos a divisão por 2 porque 191 não é par e a divisão não será exata nem o quociente é menor que 2.

Tentamos dividir por 3:

191/3 = 63.666 …

E não fornece exato, nem o quociente é menor que o divisor (63.666 … é maior que 3)

Continuamos tentando dividir 191 entre os primos 5, 7, 11, 13 e a divisão exata não é alcançada, nem o quociente é menor que o divisor. Até dividido por 17:

191/17 = 11, 2352 …

Como não é exato e 11.2352 … é menor que 17, o número 191 é primo.

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Prieto, C. Os números primos. Recuperado de: paginas.matem.unam.mx.
  3. Propriedades dos números primos. Recuperado de: mae.ufl.edu.
  4. Smartick. Números primos: como encontrá-los com a peneira de Eratóstenes. Recuperado de: smartick.es.
  5. Wikipedia. Número primo. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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