O princípio multiplicativo é uma técnica fundamental da matemática que permite contar o número de possíveis resultados de uma combinação de eventos. Neste artigo, vamos explorar como aplicar o princípio multiplicativo em diferentes situações, apresentando exemplos práticos e explicando como ele pode ser utilizado para resolver problemas de contagem. Vamos demonstrar como essa técnica pode ser uma ferramenta poderosa para resolver problemas de probabilidade, combinatória e muitas outras áreas da matemática.
Quando é necessário multiplicar para resolver situações de combinações ou arranjos.
O princípio multiplicativo é uma ferramenta matemática útil para resolver situações de combinações ou arranjos. Ele é aplicado quando temos diferentes etapas ou escolhas possíveis em um problema e precisamos determinar quantas combinações ou arranjos podem ser feitos.
Para utilizar o princípio multiplicativo, basta multiplicar o número de opções disponíveis em cada etapa do problema. Por exemplo, se temos 3 camisas e 4 calças para escolher, podemos determinar quantas combinações diferentes de roupas podemos formar multiplicando 3 (opções de camisas) por 4 (opções de calças), resultando em 12 combinações possíveis.
Outro exemplo comum é quando queremos determinar quantos números de telefone de 4 dígitos podemos formar, sem repetição de dígitos. Neste caso, multiplicamos 10 (opções para o primeiro dígito) por 9 (opções para o segundo dígito, excluindo o já escolhido no primeiro) por 8 (opções para o terceiro dígito, excluindo os dois já escolhidos) por 7 (opções para o quarto dígito, excluindo os três já escolhidos), resultando em 5040 possibilidades.
O princípio multiplicativo é essencial para resolver problemas de combinações e arranjos, pois nos permite contar de forma eficiente todas as alternativas possíveis em uma determinada situação. Portanto, sempre que houver múltiplas etapas ou escolhas em um problema matemático, lembre-se de aplicar o princípio multiplicativo para encontrar a resposta correta.
Princípios básicos da multiplicação: o que você precisa saber sobre essa operação matemática.
O princípio multiplicativo é um dos conceitos fundamentais da matemática que nos permite realizar operações de multiplicação de forma eficiente e rápida. Para entender esse princípio, é importante conhecer alguns conceitos básicos que o regem.
Em primeiro lugar, é essencial saber que a multiplicação é uma operação matemática que consiste em somar um número a si mesmo várias vezes. Por exemplo, 2 x 3 significa somar o número 2 três vezes: 2 + 2 + 2 = 6. Nesse caso, o número 2 é multiplicado pelo número 3, resultando em 6.
Além disso, é importante ressaltar que a ordem dos fatores não altera o produto. Isso significa que 2 x 3 é o mesmo que 3 x 2, pois o resultado final será sempre 6. Esse é um dos princípios básicos da multiplicação que facilita o cálculo de operações mais complexas.
Outro conceito importante é o da propriedade distributiva, que nos permite distribuir a multiplicação em relação à adição. Por exemplo, em uma expressão como 2 x (3 + 4), podemos multiplicar o 2 por cada um dos números dentro dos parênteses e depois somar os resultados: 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14.
Por fim, é essencial praticar as técnicas de multiplicação para aprimorar a habilidade de realizar cálculos de forma rápida e precisa. Existem várias técnicas, como a tabuada, que ajudam a memorizar os produtos de multiplicação e facilitam a resolução de problemas matemáticos.
Em resumo, o princípio multiplicativo é fundamental para a realização de operações de multiplicação de forma eficiente e correta. Conhecer os conceitos básicos, como a ordem dos fatores, a propriedade distributiva e as técnicas de multiplicação, é essencial para dominar essa operação matemática.
Princípios fundamentais para realizar contagens de forma eficiente e precisa.
Para realizar contagens de forma eficiente e precisa, é fundamental seguir alguns princípios básicos. O princípio multiplicativo é um deles e consiste em multiplicar o número de escolhas em cada etapa de um problema de contagem. Isso ajuda a determinar o número total de possibilidades de maneira rápida e precisa.
Uma das técnicas mais comuns para aplicar o princípio multiplicativo é a árvore de possibilidades. Nessa técnica, cada ramo da árvore representa uma escolha diferente em cada etapa do problema. Multiplicando o número de opções em cada ramo, podemos encontrar o total de combinações possíveis.
Por exemplo, se tivermos 3 opções de cores de camisa (vermelha, azul e verde) e 2 opções de calças (jeans e calça social), podemos usar o princípio multiplicativo para determinar quantas combinações diferentes de roupas podemos montar. Multiplicando 3 cores de camisa por 2 opções de calças, obtemos 6 combinações possíveis.
Outra técnica útil é a contagem direta, onde contamos diretamente as possibilidades sem a necessidade de uma árvore de possibilidades. Por exemplo, se quisermos saber quantos números de três dígitos diferentes podemos formar utilizando os algarismos 1, 2 e 3, podemos simplesmente multiplicar 3 opções para o primeiro dígito, 2 opções para o segundo dígito e 1 opção para o terceiro dígito, resultando em 6 números diferentes.
Em resumo, o princípio multiplicativo é uma ferramenta poderosa para realizar contagens de forma eficiente e precisa. Ao multiplicar o número de escolhas em cada etapa de um problema, podemos determinar o número total de possibilidades de maneira rápida e eficaz.
Quantas combinações de senhas de 4 dígitos únicos com os números de 0 a 9?
O Princípio Multiplicativo é uma técnica matemática que nos ajuda a contar o número de possíveis combinações em um determinado cenário. No caso de senhas de 4 dígitos únicos com os números de 0 a 9, podemos utilizar esse princípio para encontrar a resposta.
Para calcular o número de combinações possíveis, precisamos considerar quantas opções temos para cada um dos quatro dígitos. Como temos 10 números possíveis (de 0 a 9) para cada posição na senha, podemos multiplicar essas opções juntas para encontrar o total.
Assim, o cálculo seria: 10 * 9 * 8 * 7 = 5040 combinações possíveis de senhas de 4 dígitos únicos com os números de 0 a 9.
Portanto, usando o Princípio Multiplicativo, podemos determinar que existem 5040 combinações únicas para esse tipo de senha. Este é um exemplo simples de como essa técnica pode ser aplicada para encontrar o número de possibilidades em situações de contagem.
Princípio multiplicativo: contando técnicas e exemplos
O princípio multiplicativo é uma técnica usada para resolver problemas de contagem para encontrar a solução sem precisar enumerar seus elementos. Também é conhecido como o princípio fundamental da análise combinatória; Ele se baseia na multiplicação sucessiva para determinar a maneira pela qual um evento pode ocorrer.
Este princípio afirma que, se uma decisão (d 1 ) puder ser tomada de n maneiras e outra decisão (d 2 ) puder ser tomada de maneiras, o número total de maneiras pelas quais as decisões d 1 e d 2 podem ser tomadas serão as mesmas. multiplicar de n * m. De acordo com o princípio, cada decisão é tomada uma após a outra: número de modos = N 1 * N 2 … * N x modos.
Exemplos
Exemplo 1
Paula planeja ir ao cinema com as amigas e, para escolher as roupas que ela vai usar, separo 3 blusas e 2 saias. Quantas maneiras Paula pode se vestir?
Solução
Nesse caso, Paula deve tomar duas decisões:
d 1 = Escolha entre 3 blusas = n
d 2 = Escolha entre 2 saias = m
Paula tem, assim, n * m decisões a tomar ou diferentes maneiras de vestir.
n * m = 3 * 2 = 6 decisões.
O princípio multiplicativo deriva da técnica do diagrama em árvore, que é um diagrama que relaciona todos os resultados possíveis, para que cada um possa ocorrer um número finito de vezes.
Exemplo 2
Mario estava com muita sede, então foi à padaria comprar um suco. Luis o atende e diz que ele tem dois tamanhos: grande e pequeno; e quatro sabores: maçã, laranja, limão e uva. Quantas maneiras Mario pode escolher o suco?
Solução
No diagrama, pode-se observar que Mario possui 8 maneiras diferentes de escolher o suco e que, como no princípio multiplicativo, esse resultado é obtido pela multiplicação de n * m. A única diferença é que, através deste diagrama, você pode saber como são as maneiras pelas quais Mario escolhe o suco.
Por outro lado, quando o número de resultados possíveis é muito grande, é mais prático usar o princípio multiplicativo.
Técnicas de contagem
Técnicas de contagem são métodos usados para fazer uma contagem direta e, assim, saber o número de arranjos possíveis que os elementos de um determinado conjunto podem ter. Essas técnicas são baseadas em vários princípios:
Princípio da adição
Este princípio afirma que, se dois eventos myn não puderem ocorrer ao mesmo tempo, o número de maneiras pelas quais o primeiro ou o segundo evento pode ocorrer será a soma de m + n:
Número de formas = m + n … + x formas diferentes.
Exemplo
Antonio quer fazer uma viagem, mas não decide qual destino; Na Agência de Turismo do Sul, eles oferecem uma promoção para viajar para Nova York ou Las Vegas, enquanto a Agência de Turismo do Leste recomenda que você viaje para França, Itália ou Espanha. Quantas alternativas diferentes de viagem o Antonio oferece?
Solução
Com a Agência de Turismo do Sul, Antonio tem 2 alternativas (Nova York ou Las Vegas), enquanto com a Agência de Turismo do Oriente, você tem 3 opções (França, Itália ou Espanha). O número de alternativas diferentes é:
Número de alternativas = m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.
Princípio da permutação
Trata-se de ordenar especificamente todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto, para facilitar a contagem de todos os arranjos possíveis que podem ser feitos com os elementos.
O número de permutações de n elementos diferentes, tomadas de uma só vez, é representado como:
n P n = n!
Exemplo
Quatro amigos querem tirar uma foto e querem saber quantas maneiras diferentes eles podem ser classificados.
Solução
Você quer conhecer o conjunto de todas as maneiras possíveis pelas quais as 4 pessoas podem ser colocadas para tirar a foto. Assim, você deve:
4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras diferentes.
Se o número de permutações de n elementos disponíveis for obtido por partes de um conjunto constituído por r elementos, ele será representado como:
n P r = n! N (n – r)!
Exemplo
Na sala de aula existem 10 lugares. Se 4 alunos assistem à aula, quantas maneiras diferentes os estudantes podem assumir posições?
Solução
O número total de cadeiras definidas é 10, e apenas estas serão usadas 4. A fórmula dada para determinar o número de permutações é aplicada:
n P r = n! N (n – r)!
10 P 4 = 10! 10 (10 – 4)!
10 P 4 = 10! 6!
10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 maneiras de preencher posições.
Há casos em que alguns dos elementos disponíveis de um conjunto são repetidos (eles são os mesmos). Para calcular o número de arranjos que tomam todos os elementos de uma só vez, é usada a seguinte fórmula:
n P r = n! E 1 ! * n 2 ! … n r !
Exemplo
Quantas palavras diferentes de quatro letras podem ser formadas a partir da palavra “lobo”?
Solução
Nesse caso, existem 4 elementos (letras), dos quais dois são exatamente iguais. Aplicando a fórmula fornecida, sabe-se quantas palavras diferentes resultam:
n P r = n! E 1 ! * n 2 ! … n r !
4 P 2, 1,1 = 4! 2! * 1! * 1!
4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1
4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 palavras diferentes.
Princípio da combinação
Trata-se de organizar todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto sem uma ordem específica. Por exemplo, se você tiver uma matriz XYZ, ela será idêntica às matrizes ZXY, YZX, ZYX, entre outras; Isso ocorre porque, apesar de não estar na mesma ordem, os elementos de cada arranjo são os mesmos.
Quando alguns elementos (r) do conjunto (n) são tomados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:
n C r = n! N (n – r)! R!
Exemplo
Em uma loja, eles vendem 5 tipos diferentes de chocolate. Quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos 4 chocolates?
Solução
Nesse caso, você deve escolher 4 chocolates dos 5 tipos vendidos na loja. A ordem em que são escolhidos não importa e, além disso, um tipo de chocolate pode ser escolhido mais de duas vezes. Aplicando a fórmula, você deve:
n C r = n! N (n – r)! R!
5 C 4 = 5! 5 (5 – 4)! 4!
5 C 4 = 5! 1 (1)! 4!
5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1
5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 maneiras diferentes de escolher 4 chocolates.
Quando todos os elementos (r) do conjunto (n) são usados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:
n C n = n!
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Existe um time de beisebol com 14 membros. Quantas maneiras podem ser atribuídas 5 posições para um jogo?
Solução
O conjunto é composto por 14 elementos e você deseja atribuir 5 posições específicas; isto é, essa ordem é importante. A fórmula de permutação é aplicada onde n elementos disponíveis são obtidos por partes de um conjunto formado por r.
n P r = n! N (n – r)!
Onde n = 14 er = 5. É substituído na fórmula:
14 P 5 = 14! 14 (14 – 5)!
14 P 5 = 14! 9 (9)!
14 P 5 = 240 240 maneiras de atribuir as 9 posições do jogo.
Exercício 2
Se uma família de 9 membros faz uma viagem e compra seus ingressos com assentos consecutivos, quantas maneiras diferentes eles podem se sentar?
Solução
Estes são 9 elementos que ocuparão 9 assentos consecutivamente.
P 9 = 9!
P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 maneiras diferentes de sentar.
Referências
- Hopkins, B. (2009). Recursos para o ensino de matemática discreta: projetos em sala de aula, módulos de história e artigos.
- Johnsonbaugh, R. (2005). Matemática Discreta Educação em Pearson,.
- Lutfiyya, LA (2012). Solucionador de Problemas de Matemática Finita e Discreta. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
- Padró, FC (2001). Matemática discreta Politèc. da Catalunha.
- Steiner, E. (2005). Matemática para ciências aplicadas. Reverte