Princípio multiplicativo: contando técnicas e exemplos

O princípio multiplicativo é uma técnica usada para resolver problemas de contagem para encontrar a solução sem precisar enumerar seus elementos. Também é conhecido como o princípio fundamental da análise combinatória; Ele se baseia na multiplicação sucessiva para determinar a maneira pela qual um evento pode ocorrer.

Este princípio afirma que, se uma decisão (d 1 ) puder ser tomada de n maneiras e outra decisão (d 2 ) puder ser tomada de maneiras, o número total de maneiras pelas quais as decisões d 1 e d 2 podem ser tomadas serão as mesmas. multiplicar de n * m. De acordo com o princípio, cada decisão é tomada uma após a outra: número de modos = N 1 * N 2* N x modos.

Princípio multiplicativo: contando técnicas e exemplos 1

Exemplos

Exemplo 1

Paula planeja ir ao cinema com as amigas e, para escolher as roupas que ela vai usar, separo 3 blusas e 2 saias. Quantas maneiras Paula pode se vestir?

Princípio multiplicativo: contando técnicas e exemplos 2

Solução

Nesse caso, Paula deve tomar duas decisões:

d 1 = Escolha entre 3 blusas = n

d 2 = Escolha entre 2 saias = m

Paula tem, assim, n * m decisões a tomar ou diferentes maneiras de vestir.

n * m = 3 * 2 = 6 decisões.

O princípio multiplicativo deriva da técnica do diagrama em árvore, que é um diagrama que relaciona todos os resultados possíveis, para que cada um possa ocorrer um número finito de vezes.

Exemplo 2

Mario estava com muita sede, então foi à padaria comprar um suco. Luis o atende e diz que ele tem dois tamanhos: grande e pequeno; e quatro sabores: maçã, laranja, limão e uva. Quantas maneiras Mario pode escolher o suco?

Princípio multiplicativo: contando técnicas e exemplos 3

Solução

No diagrama, pode-se observar que Mario possui 8 maneiras diferentes de escolher o suco e que, como no princípio multiplicativo, esse resultado é obtido pela multiplicação de n * m. A única diferença é que, através deste diagrama, você pode saber como são as maneiras pelas quais Mario escolhe o suco.

Por outro lado, quando o número de resultados possíveis é muito grande, é mais prático usar o princípio multiplicativo.

Técnicas de contagem

Técnicas de contagem são métodos usados ​​para fazer uma contagem direta e, assim, saber o número de arranjos possíveis que os elementos de um determinado conjunto podem ter. Essas técnicas são baseadas em vários princípios:

Princípio da adição

Este princípio afirma que, se dois eventos myn não puderem ocorrer ao mesmo tempo, o número de maneiras pelas quais o primeiro ou o segundo evento pode ocorrer será a soma de m + n:

Número de formas = m + n … + x formas diferentes.

Exemplo

Antonio quer fazer uma viagem, mas não decide qual destino; Na Agência de Turismo do Sul, eles oferecem uma promoção para viajar para Nova York ou Las Vegas, enquanto a Agência de Turismo do Leste recomenda que você viaje para França, Itália ou Espanha. Quantas alternativas diferentes de viagem o Antonio oferece?

Solução

Com a Agência de Turismo do Sul, Antonio tem 2 alternativas (Nova York ou Las Vegas), enquanto com a Agência de Turismo do Oriente, você tem 3 opções (França, Itália ou Espanha). O número de alternativas diferentes é:

Número de alternativas = m + n = 2 + 3 = 5 alternativas.

Princípio da permutação

Trata-se de ordenar especificamente todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto, para facilitar a contagem de todos os arranjos possíveis que podem ser feitos com os elementos.

O número de permutações de n elementos diferentes, tomadas de uma só vez, é representado como:

n P n = n!

Exemplo

Quatro amigos querem tirar uma foto e querem saber quantas maneiras diferentes eles podem ser classificados.

Solução

Você quer conhecer o conjunto de todas as maneiras possíveis pelas quais as 4 pessoas podem ser colocadas para tirar a foto. Assim, você deve:

4 P 4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 maneiras diferentes.

Se o número de permutações de n elementos disponíveis for obtido por partes de um conjunto constituído por r elementos, ele será representado como:

n P r = n! N (n – r)!

Exemplo

Na sala de aula existem 10 lugares. Se 4 alunos assistem à aula, quantas maneiras diferentes os estudantes podem assumir posições?

Solução

O número total de cadeiras definidas é 10, e apenas estas serão usadas 4. A fórmula dada para determinar o número de permutações é aplicada:

n P r = n! N (n – r)!

10 P 4 = 10! 10 (10 – 4)!

10 P 4 = 10! 6!

10 P 4 = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040 maneiras de preencher posições.

Há casos em que alguns dos elementos disponíveis de um conjunto são repetidos (eles são os mesmos). Para calcular o número de arranjos que tomam todos os elementos de uma só vez, é usada a seguinte fórmula:

n P r = n! E 1 ! * n 2 ! … n r !

Exemplo

Quantas palavras diferentes de quatro letras podem ser formadas a partir da palavra “lobo”?

Solução

Nesse caso, existem 4 elementos (letras), dos quais dois são exatamente iguais. Aplicando a fórmula fornecida, sabe-se quantas palavras diferentes resultam:

n P r = n! E 1 ! * n 2 ! … n r !

4 P 2, 1,1 = 4! 2! * 1! * 1!

4 P 2, 1, 1 = (4 * 3 * 2 * 1) ÷ (2 * 1) * 1 * 1

4 P 2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 palavras diferentes.

Princípio da combinação

Trata-se de organizar todos ou alguns dos elementos que formam um conjunto sem uma ordem específica. Por exemplo, se você tiver uma matriz XYZ, ela será idêntica às matrizes ZXY, YZX, ZYX, entre outras; Isso ocorre porque, apesar de não estar na mesma ordem, os elementos de cada arranjo são os mesmos.

Quando alguns elementos (r) do conjunto (n) são tomados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

n C r = n! N (n – r)! R!

Exemplo

Em uma loja, eles vendem 5 tipos diferentes de chocolate. Quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos 4 chocolates?

Solução

Nesse caso, você deve escolher 4 chocolates dos 5 tipos vendidos na loja. A ordem em que são escolhidos não importa e, além disso, um tipo de chocolate pode ser escolhido mais de duas vezes. Aplicando a fórmula, você deve:

n C r = n! N (n – r)! R!

5 C 4 = 5! 5 (5 – 4)! 4!

5 C 4 = 5! 1 (1)! 4!

5 C 4 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 ÷ 4 * 3 * 2 * 1

5 C 4 = 120 ÷ 24 = 5 maneiras diferentes de escolher 4 chocolates.

Quando todos os elementos (r) do conjunto (n) são usados, o princípio da combinação é dado pela seguinte fórmula:

n C n = n!

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Existe um time de beisebol com 14 membros. Quantas maneiras podem ser atribuídas 5 posições para um jogo?

Solução

O conjunto é composto por 14 elementos e você deseja atribuir 5 posições específicas; isto é, essa ordem é importante. A fórmula de permutação é aplicada onde n elementos disponíveis são obtidos por partes de um conjunto formado por r.

n P r = n! N (n – r)!

Onde n = 14 er = 5. É substituído na fórmula:

14 P 5 = 14! 14 (14 – 5)!

14 P 5 = 14! 9 (9)!

14 P 5 = 240 240 maneiras de atribuir as 9 posições do jogo.

Exercício 2

Se uma família de 9 membros faz uma viagem e compra seus ingressos com assentos consecutivos, quantas maneiras diferentes eles podem se sentar?

Solução

Estes são 9 elementos que ocuparão 9 assentos consecutivamente.

P 9 = 9!

P 9 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880 maneiras diferentes de sentar.

Referências

  1. Hopkins, B. (2009). Recursos para o ensino de matemática discreta: projetos em sala de aula, módulos de história e artigos.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemática Discreta Educação em Pearson,.
  3. Lutfiyya, LA (2012). Solucionador de Problemas de Matemática Finita e Discreta. Editores da Associação de Pesquisa e Educação.
  4. Padró, FC (2001). Matemática discreta Politèc. da Catalunha.
  5. Steiner, E. (2005). Matemática para ciências aplicadas. Reverte

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