A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta, através da qual é conhecida a probabilidade de que, dentro de uma amostra grande e durante um determinado intervalo, um evento cuja probabilidade seja pequena possa ocorrer seja conhecido.
Freqüentemente, a distribuição de Poisson pode ser usada no lugar da distribuição binomial, desde que as seguintes condições descritas sejam atendidas: amostra grande e probabilidade pequena.
Siméon-Denis Poisson (1781-1840) criou essa distribuição que leva seu nome, muito útil quando se trata de eventos imprevisíveis. Poisson publicou seus resultados em 1837, um trabalho de pesquisa sobre a probabilidade de ocorrência de sentenças criminais ilícitas.
Posteriormente, outros pesquisadores adaptaram a distribuição em outras áreas, por exemplo, o número de estrelas que poderiam ser encontradas em um determinado volume de espaço ou a probabilidade de um soldado morrer de um chute de cavalo.
Fórmula e equações
A forma matemática da distribuição de Poisson é a seguinte:
– μ (também às vezes denotado como λ) é a média ou parâmetro da distribuição
– Número de Euler: e = 2.71828
– A probabilidade de obter y = k é P
– k é o número de sucessos 0, 1,2,3 …
– n é o número de testes ou eventos (tamanho da amostra)
As variáveis aleatórias discretas, como o nome indica, dependem do acaso e assumem apenas valores discretos: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.
A distribuição média é dada por:
A variância σ, que mede a dispersão dos dados, é outro parâmetro importante. Para a distribuição de Poisson é:
σ = μ
Poisson determinou que quando n → ∞ ep → 0, a média µ – também chamada valor esperado – tende a uma constante:
μ → constante
Importante : p é a probabilidade de ocorrência do evento levando em consideração a população total, enquanto P (y) é a previsão de Poisson para a amostra.
Modelo e propriedades
A distribuição Poisson possui as seguintes propriedades:
-O tamanho da amostra é grande: n → ∞.
-Os eventos ou eventos considerados são independentes um do outro e ocorrem aleatoriamente.
-O probabilidade P que um determinado evento e ocorre ao longo de um determinado período de tempo é muito pequeno: P → 0 .
-A probabilidade de mais de um evento ocorrer no intervalo de tempo é 0.
-O valor médio aproxima-se de uma constante dada por: μ = np ( n é o tamanho da amostra )
-Como a dispersão σ é igual a μ, pois adota valores maiores, a variabilidade também se torna maior.
-Os eventos devem ser distribuídos uniformemente no intervalo de tempo usado.
-O conjunto de possíveis valores de evento e é: 0,1,2,3,4….
-A soma de i variáveis que seguem uma distribuição de Poisson também é outra variável de Poisson. Seu valor médio é a soma dos valores médios dessas variáveis.
Diferenças com a distribuição binomial
A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial nos seguintes aspectos importantes:
-A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade P , mas a distribuição de Poisson é afetada apenas pela μ média .
-Em uma distribuição binomial, os possíveis valores da variável aleatória e são 0,1,2, …, N, porém na distribuição de Poisson não há limite superior para esses valores.
Exemplos
Poisson inicialmente aplicou sua famosa distribuição a processos judiciais, mas no nível industrial, um de seus primeiros usos foi na fabricação de cerveja. Neste processo, culturas de levedura são usadas para fermentação .
O fermento consiste em células vivas, cuja população é variável ao longo do tempo. Na fabricação de cerveja, você precisa adicionar a quantidade necessária, portanto é necessário conhecer a quantidade de células que são por unidade de volume.
Durante a Segunda Guerra Mundial, a distribuição de Poisson foi usada para descobrir se os alemães estavam realmente mirando Londres a partir de Calais, ou simplesmente atirando aleatoriamente. Isso foi importante para os aliados determinarem o quão boa a tecnologia estava disponível para os nazistas.
Aplicações práticas
As aplicações da distribuição de Poisson sempre se referem a contagens no tempo ou no espaço. E como a probabilidade de ocorrência é pequena, também é conhecida como “lei dos eventos raros”.
Aqui está uma lista de eventos que se enquadram em uma destas categorias:
-Registro de partículas em um decaimento radioativo, que, como o crescimento de células de levedura, é uma função exponencial.
-Número de visitas a um site específico.
– Chegada de pessoas em fila para pagar ou ser atendido (teoria das filas).
– Quantidade de carros que passam por um determinado ponto da estrada, durante um determinado intervalo de tempo.
-Mutações sofridas em uma determinada cadeia de DNA após receber uma exposição à radiação.
-Número de meteoritos com um diâmetro superior a 1 m caído em um ano.
– Defeitos por metro quadrado de tecido.
-Quantidade de células sanguíneas em 1 centímetro cúbico.
-Chama por minuto para uma central telefônica.
– Pedaços de chocolate presentes em 1 kg de massa para bolo.
-Número de árvores infectadas por um determinado parasita em 1 hectare de floresta.
Observe que essas variáveis aleatórias representam o número de vezes que um evento ocorre durante um período fixo de tempo ( chamadas por minuto para a central telefônica ) ou uma determinada região do espaço ( defeitos de um tecido por metro quadrado ).
Esses eventos, como já estabelecidos, são independentes do tempo decorrido desde a última ocorrência.
Abordando a distribuição binomial com a distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma boa aproximação à distribuição binomial desde que:
-O tamanho da amostra é grande: n ≥ 100
-A probabilidade p é pequena: p ≤ 0,1
– μ estar na ordem de: np ≤ 10
Nesses casos, a distribuição de Poisson é uma excelente ferramenta, pois a distribuição binomial pode ser complicada de aplicar nesses casos.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
Um estudo sismológico determinou que, nos últimos 100 anos, houve 93 grandes terremotos em todo o mundo, pelo menos 6,0 na escala logarítmica Richter. Suponha que a distribuição de Poisson seja um modelo apropriado neste caso. Localizar:
a) A ocorrência média de grandes terremotos por ano.
b) Se P (y) for a probabilidade de ocorrência e terremotos durante um ano selecionado aleatoriamente, encontre as seguintes probabilidades:
P (0), P (1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) e P (7).
c) Os verdadeiros resultados do estudo são os seguintes:
– 47 anos (0 terremotos)
– 31 anos (1 terremotos)
– 13 anos (2 terremotos)
– 5 anos (3 terremotos)
– 2 anos (4 terremotos)
– 0 anos (5 terremotos)
– 1 ano (6 terremotos)
– 1 ano (7 terremotos)
Como esses resultados se comparam com os obtidos na parte b? A distribuição de Poisson é uma boa opção para modelar esses eventos?
Solução a)
a) Terremotos são eventos cuja probabilidade p é pequena e estamos considerando um período de tempo restrito de um ano. A média de terremotos é:
μ = 93/100 terremotos / ano = 0,93 terremotos por ano.
Solução b)
b) Para calcular as probabilidades solicitadas, os valores são substituídos na fórmula dada no início:
y = 2
μ = 0,93
e = 2.71828
É muito menor que P (2).
Os resultados estão listados abaixo:
P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.
Por exemplo, podemos dizer que existe uma probabilidade de 39,5% de que nenhum grande terremoto ocorra em um determinado ano. Ou que existem 5,29% dos 3 principais terremotos que ocorrem naquele ano.
Solução c)
c) As frequências são analisadas, multiplicando por n = 100 anos:
39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 e 0,00471.
Por exemplo:
– Uma frequência de 39,5 indica que, em 39,5 dos 100 anos de ocorrência de 0 terremotos grandes, poderíamos dizer que é bastante próximo do resultado real de 47 anos sem nenhum grande terremoto.
Vamos comparar outro resultado de Poisson com os resultados reais:
– O valor obtido de 36,7 significa que em um período de 37 anos há um grande terremoto. O resultado real é que em 31 anos houve um grande terremoto, uma boa coincidência com o modelo.
– são esperados 17,1 anos com 2 grandes terremotos e sabe-se que em 13 anos, o que é um valor próximo, houve de fato 2 grandes terremotos.
Portanto, o modelo de Poisson é aceitável para este caso.
Exercício 2
Uma empresa estima que o número de componentes que falham antes de atingir 100 horas de operação segue uma distribuição de Poisson. Se o número médio de falhas for 8 naquele momento, encontre as seguintes probabilidades:
a) Que um componente falhe em 25 horas.
b) Falha em menos de dois componentes, em 50 horas.
c) Que pelo menos três componentes falhem dentro de 125 horas.
Solução a)
a) Sabe-se que a média de falhas em 100 horas é 8; portanto, em 25 horas é esperada a quarta parte das falhas, ou seja, 2 falhas. Este será o parâmetro μ.
A probabilidade de 1 componente falhar é solicitada, a variável aleatória é “componentes que falham antes de 25 horas” e seu valor é y = 1. Ao substituir na função de probabilidade:
No entanto, a questão é a probabilidade de que menos de dois componentes falhem em 50 horas, e não exatamente 2 componentes falhem em 50 horas, portanto, as probabilidades de:
-Nenhuma falha
-Falha apenas 1
P (menos de 2 componentes falham) = P (0) + P (1)
P (menos de 2 componentes falham) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915
c) Que pelo menos três componentes falham em 125 horas, significa que 3, 4, 5 ou mais podem falhar nesse período.
A probabilidade de ocorrer pelo menos um dos vários eventos é igual a 1, menos a probabilidade de nenhum dos eventos ocorrer.
-O evento procurado é que 3 ou mais componentes falhem em 125 horas
– Que o evento não ocorra significa que menos de 3 componentes falham, cuja probabilidade é: P (0) + P (1) + P (2)
O parâmetro μ da distribuição neste caso é:
μ = 8 + 2 = 10 falhas em 125 horas .
P (3 ou mais componentes falham) = 1 – P (0) – P (1) – P (2) =
Referências
- MathWorks Distribuição de Poisson. Recuperado de: en.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Estatística para Administração e Economia. 3rd. edição Grupo de publicação Iberoamerica.
- Stat Trek Ensine-se Estatística. Distribuição de Poisson Recuperado de: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia Distribuição de Poisson Recuperado de: en.wikipedia.org