Distribuição de Poisson: fórmulas, equações, modelo, propriedades

A Distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo ou espaço específico, quando a média de ocorrências é conhecida. Ela é amplamente utilizada em diversas áreas como estatística, engenharia, medicina e finanças.

A fórmula da Distribuição de Poisson é dada por P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!, onde λ é a média de ocorrências do evento, k é o número de ocorrências desejado e e é a constante de Euler (aproximadamente 2,71828).

Esta distribuição possui algumas propriedades importantes, como a independência entre as ocorrências do evento, a taxa de ocorrências constante e a ausência de ocorrências simultâneas. Além disso, a Distribuição de Poisson pode ser aproximada pela Distribuição Normal quando o número médio de ocorrências é grande.

Qual é a equação utilizada na distribuição de Poisson para calcular probabilidades?

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo específico ou em uma área específica. A equação utilizada na distribuição de Poisson para calcular probabilidades é a seguinte:

P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

Onde:

  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrerem exatamente k eventos em um determinado intervalo de tempo ou área.
  • λ é a taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo ou área.
  • e é a constante matemática aproximadamente igual a 2,71828.
  • k é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade.
  • k! representa o fatorial de k, que é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a k.

Esta equação nos permite determinar a probabilidade de ocorrerem exatamente k eventos em um determinado contexto, baseando-se na taxa média de ocorrência desses eventos. A distribuição de Poisson é amplamente utilizada em estatística para modelar situações em que eventos raros ocorrem de forma independente e em um ritmo constante.

Características fundamentais do processo de Poisson.

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Ela possui várias características fundamentais que a tornam útil em diversas áreas, como estatística, matemática, engenharia e ciências naturais.

A fórmula da distribuição de Poisson é dada por: P(x;λ) = (e^-λ * λ^x) / x!, onde x representa o número de eventos que ocorrem no intervalo de interesse e λ é o parâmetro que representa a taxa média de ocorrência dos eventos.

O modelo de Poisson é adequado para situações em que os eventos ocorrem de forma independente e a taxa de ocorrência é constante ao longo do tempo ou do espaço. Por exemplo, a distribuição de Poisson pode ser utilizada para modelar o número de chamadas recebidas por um call center em uma hora específica.

Algumas propriedades importantes da distribuição de Poisson incluem a média e a variância, que são iguais ao parâmetro λ. Além disso, a distribuição de Poisson é não negativa e não possui limite superior.

Com suas características fundamentais e propriedades únicas, ela desempenha um papel fundamental na análise estatística e na tomada de decisões em uma variedade de contextos.

Como calcular a distribuição de Poisson: passo a passo e exemplos práticos.

Para calcular a Distribuição de Poisson, é importante seguir alguns passos e utilizar as fórmulas corretas. A Distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que descreve o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tempo ou espaço específico, dado um taxa média de ocorrência desses eventos.

A fórmula para a Distribuição de Poisson é:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

Onde:
P(X = k) é a probabilidade de ocorrerem exatamente k eventos
e é a base do logaritmo natural
λ é a taxa média de ocorrência de eventos
k é o número de eventos que desejamos calcular a probabilidade
k! é o fatorial de k

Para calcular a Distribuição de Poisson, siga estes passos:

1. Determine a taxa média de ocorrência de eventos (λ)
2. Escolha o número de eventos que deseja calcular a probabilidade (k)
3. Substitua os valores na fórmula da Distribuição de Poisson
4. Calcule o resultado final

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Por exemplo, se a taxa média de ocorrência de acidentes em uma esquina é de 2 por semana, qual a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 acidentes em uma semana?

Utilizando a fórmula da Distribuição de Poisson, temos:
P(X = 3) = (e^(-2) * 2^3) / 3! = (0.1353) * (8) / 6 = 0.1804

Portanto, a probabilidade de ocorrerem exatamente 3 acidentes em uma semana é de 0.1804, ou 18.04%.

Como encontrar o valor médio de eventos em um intervalo de tempo específico?

Para encontrar o valor médio de eventos em um intervalo de tempo específico, podemos utilizar a Distribuição de Poisson. Esta distribuição é amplamente utilizada para modelar a ocorrência de eventos raros em um intervalo de tempo fixo, como por exemplo, o número de chamadas recebidas por um call center em uma hora.

A fórmula da Distribuição de Poisson é dada por:

P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

Onde:
P(X = k) é a probabilidade de ocorrerem k eventos no intervalo de tempo.
e é a constante de Euler, aproximadamente igual a 2.71828.
λ é a média de eventos por unidade de tempo.
k é o número de eventos que desejamos analisar.
k! representa o fatorial de k.

Uma das propriedades mais importantes da Distribuição de Poisson é que o seu valor médio é igual à sua média, ou seja, a média de eventos em um intervalo de tempo específico é dada por λ.

Portanto, para encontrar o valor médio de eventos em um intervalo de tempo específico, basta utilizar a média de eventos por unidade de tempo, representada por λ na fórmula da Distribuição de Poisson.

Distribuição de Poisson: fórmulas, equações, modelo, propriedades

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta, através da qual é conhecida a probabilidade de que, dentro de uma amostra grande e durante um determinado intervalo, um evento cuja probabilidade seja pequena possa ocorrer seja conhecido.

Freqüentemente, a distribuição de Poisson pode ser usada no lugar da distribuição binomial, desde que as seguintes condições descritas sejam atendidas: amostra grande e probabilidade pequena.

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Figura 1. Gráfico da distribuição de Poisson para diferentes parâmetros. Fonte: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) criou essa distribuição que leva seu nome, muito útil quando se trata de eventos imprevisíveis. Poisson publicou seus resultados em 1837, um trabalho de pesquisa sobre a probabilidade de ocorrência de sentenças criminais ilícitas.

Posteriormente, outros pesquisadores adaptaram a distribuição em outras áreas, por exemplo, o número de estrelas que poderiam ser encontradas em um determinado volume de espaço ou a probabilidade de um soldado morrer de um chute de cavalo.

Fórmula e equações

A forma matemática da distribuição de Poisson é a seguinte:

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μ (também às vezes denotado como λ) é a média ou parâmetro da distribuição

– Número de Euler: e = 2.71828

– A probabilidade de obter y = k é P

k é o número de sucessos 0, 1,2,3 …

n é o número de testes ou eventos (tamanho da amostra)

As variáveis ​​aleatórias discretas, como o nome indica, dependem do acaso e assumem apenas valores discretos: 0, 1, 2, 3, 4 …, k.

A distribuição média é dada por:

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A variância σ, que mede a dispersão dos dados, é outro parâmetro importante. Para a distribuição de Poisson é:

σ = μ

Poisson determinou que quando n → ∞ ep → 0, a média µ – também chamada valor esperado – tende a uma constante:

μ → constante

Importante : p é a probabilidade de ocorrência do evento levando em consideração a população total, enquanto P (y) é a previsão de Poisson para a amostra.

Modelo e propriedades

A distribuição Poisson possui as seguintes propriedades:

-O tamanho da amostra é grande: n → ∞.

-Os eventos ou eventos considerados são independentes um do outro e ocorrem aleatoriamente.

-O probabilidade P que um determinado evento e ocorre ao longo de um determinado período de tempo é muito pequeno: P → 0 .

-A probabilidade de mais de um evento ocorrer no intervalo de tempo é 0.

-O valor médio aproxima-se de uma constante dada por: μ = np ( n é o tamanho da amostra )

-Como a dispersão σ é igual a μ, pois adota valores maiores, a variabilidade também se torna maior.

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-Os eventos devem ser distribuídos uniformemente no intervalo de tempo usado.

-O conjunto de possíveis valores de evento e é: 0,1,2,3,4….

-A soma de i variáveis ​​que seguem uma distribuição de Poisson também é outra variável de Poisson. Seu valor médio é a soma dos valores médios dessas variáveis.

Diferenças com a distribuição binomial

A distribuição de Poisson difere da distribuição binomial nos seguintes aspectos importantes:

-A distribuição binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade P , mas a distribuição de Poisson é afetada apenas pela μ média .

-Em uma distribuição binomial, os possíveis valores da variável aleatória e são 0,1,2, …, N, porém na distribuição de Poisson não há limite superior para esses valores.

Exemplos

Poisson inicialmente aplicou sua famosa distribuição a processos judiciais, mas no nível industrial, um de seus primeiros usos foi na fabricação de cerveja. Neste processo, culturas de levedura são usadas para fermentação .

O fermento consiste em células vivas, cuja população é variável ao longo do tempo. Na fabricação de cerveja, você precisa adicionar a quantidade necessária, portanto é necessário conhecer a quantidade de células que são por unidade de volume.

Durante a Segunda Guerra Mundial, a distribuição de Poisson foi usada para descobrir se os alemães estavam realmente mirando Londres a partir de Calais, ou simplesmente atirando aleatoriamente. Isso foi importante para os aliados determinarem o quão boa a tecnologia estava disponível para os nazistas.

Aplicações práticas

As aplicações da distribuição de Poisson sempre se referem a contagens no tempo ou no espaço. E como a probabilidade de ocorrência é pequena, também é conhecida como “lei dos eventos raros”.

Aqui está uma lista de eventos que se enquadram em uma destas categorias:

-Registro de partículas em um decaimento radioativo, que, como o crescimento de células de levedura, é uma função exponencial.

-Número de visitas a um site específico.

– Chegada de pessoas em fila para pagar ou ser atendido (teoria das filas).

– Quantidade de carros que passam por um determinado ponto da estrada, durante um determinado intervalo de tempo.

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Figura 2. O número de carros que passam por um ponto segue aproximadamente uma distribuição de Poisson. Fonte: Pixabay

-Mutações sofridas em uma determinada cadeia de DNA após receber uma exposição à radiação.

-Número de meteoritos com um diâmetro superior a 1 m caído em um ano.

– Defeitos por metro quadrado de tecido.

-Quantidade de células sanguíneas em 1 centímetro cúbico.

-Chama por minuto para uma central telefônica.

– Pedaços de chocolate presentes em 1 kg de massa para bolo.

-Número de árvores infectadas por um determinado parasita em 1 hectare de floresta.

Observe que essas variáveis ​​aleatórias representam o número de vezes que um evento ocorre durante um período fixo de tempo ( chamadas por minuto para a central telefônica ) ou uma determinada região do espaço ( defeitos de um tecido por metro quadrado ).

Esses eventos, como já estabelecidos, são independentes do tempo decorrido desde a última ocorrência.

Abordando a distribuição binomial com a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é uma boa aproximação à distribuição binomial desde que:

-O tamanho da amostra é grande: n ≥ 100

-A probabilidade p é pequena: p ≤ 0,1

μ estar na ordem de: np ≤ 10

Nesses casos, a distribuição de Poisson é uma excelente ferramenta, pois a distribuição binomial pode ser complicada de aplicar nesses casos.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um estudo sismológico determinou que, nos últimos 100 anos, houve 93 grandes terremotos em todo o mundo, pelo menos 6,0 na escala logarítmica Richter. Suponha que a distribuição de Poisson seja um modelo apropriado neste caso. Localizar:

a) A ocorrência média de grandes terremotos por ano.

b) Se P (y) for a probabilidade de ocorrência e terremotos durante um ano selecionado aleatoriamente, encontre as seguintes probabilidades:

P (0), P (1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) e P (7).

c) Os verdadeiros resultados do estudo são os seguintes:

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47 anos (0 terremotos)

– 31 anos (1 terremotos)

– 13 anos (2 terremotos)

– 5 anos (3 terremotos)

– 2 anos (4 terremotos)

– 0 anos (5 terremotos)

– 1 ano (6 terremotos)

– 1 ano (7 terremotos)

Como esses resultados se comparam com os obtidos na parte b? A distribuição de Poisson é uma boa opção para modelar esses eventos?

Solução a)

a) Terremotos são eventos cuja probabilidade p é pequena e estamos considerando um período de tempo restrito de um ano. A média de terremotos é:

μ = 93/100 terremotos / ano = 0,93 terremotos por ano.

Solução b)

b) Para calcular as probabilidades solicitadas, os valores são substituídos na fórmula dada no início:

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y = 2

μ = 0,93

e = 2.71828

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É muito menor que P (2).

Os resultados estão listados abaixo:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

Por exemplo, podemos dizer que existe uma probabilidade de 39,5% de que nenhum grande terremoto ocorra em um determinado ano. Ou que existem 5,29% dos 3 principais terremotos que ocorrem naquele ano.

Solução c)

c) As frequências são analisadas, multiplicando por n = 100 anos:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0,229; 0,0355 e 0,00471.

Por exemplo:

– Uma frequência de 39,5 indica que, em 39,5 dos 100 anos de ocorrência de 0 terremotos grandes, poderíamos dizer que é bastante próximo do resultado real de 47 anos sem nenhum grande terremoto.

Vamos comparar outro resultado de Poisson com os resultados reais:

– O valor obtido de 36,7 significa que em um período de 37 anos há um grande terremoto. O resultado real é que em 31 anos houve um grande terremoto, uma boa coincidência com o modelo.

– são esperados 17,1 anos com 2 grandes terremotos e sabe-se que em 13 anos, o que é um valor próximo, houve de fato 2 grandes terremotos.

Portanto, o modelo de Poisson é aceitável para este caso.

Exercício 2

Uma empresa estima que o número de componentes que falham antes de atingir 100 horas de operação segue uma distribuição de Poisson. Se o número médio de falhas for 8 naquele momento, encontre as seguintes probabilidades:

a) Que um componente falhe em 25 horas.

b) Falha em menos de dois componentes, em 50 horas.

c) Que pelo menos três componentes falhem dentro de 125 horas.

Solução a)

a) Sabe-se que a média de falhas em 100 horas é 8; portanto, em 25 horas é esperada a quarta parte das falhas, ou seja, 2 falhas. Este será o parâmetro μ.

A probabilidade de 1 componente falhar é solicitada, a variável aleatória é “componentes que falham antes de 25 horas” e seu valor é y = 1. Ao substituir na função de probabilidade:

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No entanto, a questão é a probabilidade de que menos de dois componentes falhem em 50 horas, e não exatamente 2 componentes falhem em 50 horas, portanto, as probabilidades de:

-Nenhuma falha

-Falha apenas 1

P (menos de 2 componentes falham) = P (0) + P (1)

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P (menos de 2 componentes falham) = 0,0183 + 0,0732 = 0. 0915

c) Que pelo menos três componentes falham em 125 horas, significa que 3, 4, 5 ou mais podem falhar nesse período.

A probabilidade de ocorrer pelo menos um dos vários eventos é igual a 1, menos a probabilidade de nenhum dos eventos ocorrer.

-O evento procurado é que 3 ou mais componentes falhem em 125 horas

– Que o evento não ocorra significa que menos de 3 componentes falham, cuja probabilidade é: P (0) + P (1) + P (2)

O parâmetro μ da distribuição neste caso é:

μ = 8 + 2 = 10 falhas em 125 horas .

P (3 ou mais componentes falham) = 1 – P (0) – P (1) – P (2) =

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Referências

  1. MathWorks Distribuição de Poisson. Recuperado de: en.mathworks.com
  2. Mendenhall, W. 1981. Estatística para Administração e Economia. 3rd. edição Grupo de publicação Iberoamerica.
  3. Stat Trek Ensine-se Estatística. Distribuição de Poisson Recuperado de: stattrek.com,
  4. Triola, M. 2012. Estatísticas Elementares. 11º. Ed. Pearson Education.
  5. Wikipedia Distribuição de Poisson Recuperado de: en.wikipedia.org

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