A área de um pentágono é calculada usando um método conhecido como triangulação, que pode ser aplicado a qualquer polígono. Este método consiste em dividir o pentágono em vários triângulos.
Depois disso, a área de cada triângulo é calculada e, finalmente, todas as áreas encontradas são adicionadas. O resultado será a área do pentágono.
O pentágono também pode ser dividido em outras formas geométricas, como um trapézio e um triângulo, como a figura à direita.
O problema é que o comprimento da base principal e a altura do trapézio não são fáceis de calcular. Além disso, a altura do triângulo vermelho deve ser calculada.
Como calcular a área de um pentágono?
O método geral para calcular a área de um pentágono é a triangulação, mas o método pode ser direto ou um pouco mais longo, dependendo se o pentágono é regular ou não.
Área de um pentágono regular
Antes de calcular a área, é necessário saber qual é o apótema.
O apótema de um pentágono regular (polígono regular) é a distância mais curta do centro do pentágono (polígono) até o ponto médio de um lado do pentágono (polígono).
Em outras palavras, o apótema é o comprimento do segmento de linha que vai do centro do pentágono ao ponto médio de um lado.
Considere um pentágono regular, de modo que o comprimento de seus lados seja “L”. Para calcular seu apótema, primeiro divida o ângulo central α pelo número de lados, ou seja, α = 360º / 5 = 72º.
Agora, usando as relações trigonométricas, o comprimento do apótema é calculado como mostrado na imagem a seguir.
Portanto, o apótema tem um comprimento de L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Quando você realiza a triangulação do pentágono, obtém uma figura como a abaixo.
Os 5 triângulos têm a mesma área (por ser um pentágono regular). Portanto, a área do pentágono é 5 vezes a área de um triângulo. Ou seja: área de um pentágono = 5 * (L * ap / 2).
Substituindo o valor do apótema, a área é A = 1,72 * L².
Portanto, para calcular a área de um pentágono regular, você só precisa saber o comprimento de um lado.
Área de um pentágono irregular
Começa a partir de um pentágono irregular, de modo que os comprimentos de seus lados sejam L1, L2, L3, L4 e L5. Nesse caso, o apótema não pode ser usado como antes.
Depois de fazer a triangulação, você obtém uma figura como a seguinte:
Agora, vamos desenhar e calcular as alturas desses 5 triângulos interiores.
Então, as áreas dos triângulos internos são T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 e T5 = L5 * h5 / 2.
Os valores correspondentes a h1, h2, h3, h4 e h5 são as alturas de cada triângulo, respectivamente.
Finalmente, a área do pentágono é a soma dessas 5 áreas. Ou seja, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Como pode ser visto, calcular a área de um pentágono irregular é mais complexo do que calcular a área de um pentágono regular.
Determinante de Gauss
Há também outro método pelo qual você pode calcular a área de qualquer polígono irregular, conhecido como determinante de Gauss.
Este método consiste em desenhar o polígono no plano cartesiano, e as coordenadas de cada vértice são calculadas.
Os vértices são enumerados no sentido anti-horário e, finalmente, determinados determinantes são calculados para finalmente obter a área do polígono em questão.
Referências
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