Como é removida a área do Pentágono?

A área de um pentágono é calculada usando um método conhecido como triangulação, que pode ser aplicado a qualquer polígono. Este método consiste em dividir o pentágono em vários triângulos.

Depois disso, a área de cada triângulo é calculada e, finalmente, todas as áreas encontradas são adicionadas. O resultado será a área do pentágono.

Como é removida a área do Pentágono? 1

O pentágono também pode ser dividido em outras formas geométricas, como um trapézio e um triângulo, como a figura à direita.

O problema é que o comprimento da base principal e a altura do trapézio não são fáceis de calcular. Além disso, a altura do triângulo vermelho deve ser calculada.

Como calcular a área de um pentágono?

O método geral para calcular a área de um pentágono é a triangulação, mas o método pode ser direto ou um pouco mais longo, dependendo se o pentágono é regular ou não.

Área de um pentágono regular

Antes de calcular a área, é necessário saber qual é o apótema.

O apótema de um pentágono regular (polígono regular) é a distância mais curta do centro do pentágono (polígono) até o ponto médio de um lado do pentágono (polígono).

Em outras palavras, o apótema é o comprimento do segmento de linha que vai do centro do pentágono ao ponto médio de um lado.

Como é removida a área do Pentágono? 2

Considere um pentágono regular, de modo que o comprimento de seus lados seja “L”. Para calcular seu apótema, primeiro divida o ângulo central α pelo número de lados, ou seja, α = 360º / 5 = 72º.

Agora, usando as relações trigonométricas, o comprimento do apótema é calculado como mostrado na imagem a seguir.

Como é removida a área do Pentágono? 3

Portanto, o apótema tem um comprimento de L / 2tan (36º) = L / 1,45.

Quando você realiza a triangulação do pentágono, obtém uma figura como a abaixo.

Como é removida a área do Pentágono? 4

Os 5 triângulos têm a mesma área (por ser um pentágono regular). Portanto, a área do pentágono é 5 vezes a área de um triângulo. Ou seja: área de um pentágono = 5 * (L * ap / 2).

Substituindo o valor do apótema, a área é A = 1,72 * L².

Portanto, para calcular a área de um pentágono regular, você só precisa saber o comprimento de um lado.

Área de um pentágono irregular

Começa a partir de um pentágono irregular, de modo que os comprimentos de seus lados sejam L1, L2, L3, L4 e L5. Nesse caso, o apótema não pode ser usado como antes.

Depois de fazer a triangulação, você obtém uma figura como a seguinte:

Como é removida a área do Pentágono? 5

Agora, vamos desenhar e calcular as alturas desses 5 triângulos interiores.

Então, as áreas dos triângulos internos são T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 e T5 = L5 * h5 / 2.

Os valores correspondentes a h1, h2, h3, h4 e h5 são as alturas de cada triângulo, respectivamente.

Como é removida a área do Pentágono? 6

Finalmente, a área do pentágono é a soma dessas 5 áreas. Ou seja, A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Como é removida a área do Pentágono? 7

Como pode ser visto, calcular a área de um pentágono irregular é mais complexo do que calcular a área de um pentágono regular.

Determinante de Gauss

Há também outro método pelo qual você pode calcular a área de qualquer polígono irregular, conhecido como determinante de Gauss.

Este método consiste em desenhar o polígono no plano cartesiano, e as coordenadas de cada vértice são calculadas.

Os vértices são enumerados no sentido anti-horário e, finalmente, determinados determinantes são calculados para finalmente obter a área do polígono em questão.

Como é removida a área do Pentágono? 8

Referências

  1. Alexander, DC, e Koeberlein, GM (2014). Geometria elementar para estudantes universitários. Cengage Learning
  2. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  3. Lofret, EH (2002). O livro de tabelas e fórmulas. Imaginator
  4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Matemática prática: aritmética, álgebra, geometria, trigonometria e regra de cálculo (reimpressão). Reverte
  5. Posamentier, AS e Bannister, RL (2014). Geometria, seus elementos e estrutura: segunda edição. Courier Corporation.
  6. Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Geometria O Editorial, UPR.
  7. Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias Editorial Tecnologica de CR.
  8. Torá, FB (2013). Matemática 1ª unidade de ensino 1º ESO, Volume 1. Editorial Club Universitario.
  9. Víquez, M., Arias, R. e Araya, J. (sf). Matemática (sexto ano). EUNED

Deixe um comentário

Este site usa cookies para lhe proporcionar a melhor experiência de usuário. política de cookies, clique no link para obter mais informações.

ACEPTAR
Aviso de cookies