Equações polinomiais (com exercícios resolvidos)

As equações polinomiais são uma afirmação que aumenta a igualdade de duas expressões ou membros, em que pelo menos um dos termos que compõem cada lado da igualdade são polinômios P ​​(x). Essas equações são nomeadas de acordo com o grau de suas variáveis.

Em geral, uma equação é uma afirmação que estabelece a igualdade de duas expressões, onde em pelo menos uma delas existem quantidades desconhecidas, chamadas variáveis ​​ou desconhecidas. Embora existam muitos tipos de equações, elas geralmente são classificadas em dois tipos: algébrica e transcendente.

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As equações polinomiais contêm apenas expressões algébricas, que podem ter uma ou mais incógnitas que intervêm na equação. Dependendo do expoente (nota) que eles possuem, eles podem ser classificados como: primeiro grau (linear), segundo grau (quadrático), terceiro grau (cúbico), quarta série (quártico), de grau maior ou igual a cinco e irracional.

Caracteristicas

Equações polinomiais são expressões formadas por uma igualdade entre dois polinômios; isto é, pelas somas finitas de multiplicações entre valores que são desconhecidos (variáveis) e números fixos (coeficientes), onde as variáveis ​​podem ter expoentes e seu valor pode ser um número inteiro positivo, incluindo zero.

Os expoentes determinam o grau ou o tipo de equação. O termo da expressão que tem o maior expoente de valor representará o grau absoluto do polinômio.

As equações polinomiais também são conhecidas como algébricas, seus coeficientes podem ser números reais ou complexos e as variáveis ​​são números desconhecidos representados por uma letra, como: “x”.

Se, ao substituir um valor pela variável “x” em P (x), o resultado for igual a zero (0), diz-se que esse valor satisfaz a equação (é uma solução) e geralmente é chamado a raiz do polinômio.

Ao desenvolver uma equação polinomial, você deseja encontrar todas as raízes ou soluções.

Tipos

Existem vários tipos de equações polinomiais, que são diferenciadas de acordo com o número de variáveis ​​e também de acordo com seu grau de expoente.

Assim, as equações polinomiais – onde seu primeiro termo é um polinômio que possui apenas um desconhecido, considerando que seu grau pode ser qualquer número natural (n) e o segundo termo é zero -, podem ser expressas da seguinte forma:

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a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x = 0

Onde:

– a n, a n-1 e , são coeficientes reais (números).

– a n é diferente de zero.

– O expoente n é um número inteiro positivo que representa o grau da equação.

– x é a variável ou desconhecido que deve ser pesquisado.

O grau absoluto ou maior de uma equação polinomial é aquele expoente de maior valor entre todos aqueles que formam o polinômio; Dessa forma, as equações são classificadas como:

Primeiro grau

As equações polinomiais de primeiro grau, também conhecidas como equações lineares, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 1, o polinômio tem a forma P (x) = 0; e é composto por um termo linear e um independente. Está escrito da seguinte maneira:

ax + b = 0.

Onde:

– aeb são números reais e ≠ 0.

– ax é o termo linear.

– b é o termo independente.

Por exemplo, a equação 13x – 18 = 4x.

Para resolver equações lineares, todos os termos que contêm o x desconhecido para um lado da igualdade devem ser passados ​​e os que não o têm são movidos para o outro lado, a fim de eliminá-lo e obter uma solução:

13x – 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x – 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Dessa forma, a equação dada tem apenas uma solução ou raiz, que é x = 2.

Segundo grau

As equações polinomiais de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 2, o polinômio tem a forma P (x) = 0 e é composto por um termo quadrático , um linear e um independente. É expresso da seguinte forma:

ax 2 + bx + c = 0.

Onde:

– a, bec são números reais e ≠ 0.

– ax 2 é o termo quadrático, e “a” é o coeficiente do termo quadrático.

– bx é o termo linear e “b” é o coeficiente do termo linear.

– c é o termo independente.

Solvente

Geralmente, a solução para este tipo de equações é dada limpando x da equação, e é a seguinte, que é chamada de solucionador:

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Lá, (b 2 – 4ac) é chamado discriminante da equação e essa expressão determina o número de soluções que a equação pode ter:

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– Se (b 2 – 4ac) = 0, a equação terá uma única solução que é dupla; isto é, terá duas soluções iguais.

– Se (b 2 – 4ac)> 0, a equação terá duas soluções reais diferentes.

– Se (b 2 – 4ac) <0, a equação não tem solução (ela terá duas soluções complexas diferentes).

Por exemplo, você tem a equação 4x 2 + 10x – 6 = 0, para resolvê-lo, identifique os termos a, bec, e depois substitua na fórmula:

a = 4

b = 10

c = -6.

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Há casos em que as equações polinomiais de segundo grau não têm todos os três termos, e é por isso que são resolvidas de uma maneira diferente:

– Caso as equações quadráticas não possuam o termo linear (ou seja, b = 0), a equação será expressa como ax 2 + c = 0. Para resolvê-la, limpe x 2 e aplique as raízes quadradas em cada membro , lembrando-se de que você deve considerar os dois possíveis sinais que o desconhecido pode ter:

ax 2 + c = 0.

x 2 = – c ÷ a

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Por exemplo, 5 x 2 – 20 = 0.

5 x 2 = 20

x 2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x 1 = 2.

x 2 = -2.

– Quando a equação quadrática não tiver um termo independente (ou seja, c = 0), a equação será expressa como ax 2 + bx = 0. Para resolvê-la, devemos tomar o fator comum do desconhecido x no primeiro membro; Como a equação é igual a zero, é verdade que pelo menos um dos fatores será igual a 0:

ax 2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Dessa forma, você deve:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Por exemplo: você tem a equação 5x 2 + 30x = 0. Primeiro você fatora:

5x 2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dois fatores são gerados que são xy (5x + 30). Um deles é considerado igual a zero e o outro recebe uma solução:

x 1 = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x 2 = -6.

Grau principal

As equações polinomiais de maior grau são aquelas que vão do terceiro grau em diante, que podem ser expressas ou resolvidas com a equação polinomial geral para qualquer grau:

a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x = 0

Isso é usado porque uma equação com um grau maior que dois é o resultado da fatoração de um polinômio; isto é, é expresso como a multiplicação de polinômios de grau um ou mais, mas sem raízes reais.

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A solução desse tipo de equação é direta, porque a multiplicação de dois fatores será igual a zero se algum dos fatores for nulo (0); portanto, cada uma das equações polinomiais encontradas deve ser resolvida, correspondendo cada um de seus fatores a zero.

Por exemplo, você tem a equação de terceiro grau (cúbica) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Para resolvê-lo, siga as seguintes etapas:

– Os termos estão agrupados:

x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0

(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.

– Os membros são divididos para eliminar o fator desconhecido comum:

X 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.

– Dessa forma, você obtém dois fatores, que devem ser iguais a zero:

(x 2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

– Pode-se ver que o fator (x 2 + 4) = 0 não terá uma solução real, enquanto o fator (x + 1) = 0 é. Portanto, a solução é:

(x + 1) = 0

x = -1.

Exercícios resolvidos

Resolva as seguintes equações:

Primeiro exercício

(2x 2 + 5) * (x – 3) * (1 + x) = 0.

Solução

Nesse caso, a equação é expressa como a multiplicação de polinômios; isto é, é fatorado. Para resolvê-lo, cada fator deve ser igual a zero:

– 2x 2 + 5 = 0, não tem solução.

– x – 3 = 0

– x = 3.

1 + x = 0

– x = – 1.

Assim, a equação dada tem duas soluções: x = 3 ex = -1.

2º exercício

x 4 – 36 = 0.

Solução

Um polinômio foi fornecido, que pode ser reescrito como uma diferença de quadrados para chegar a uma solução mais rápida. Assim, a equação é:

(X 2 + 6) * (x 2 – 6) Página = 0.

Para encontrar a solução das equações, ambos os fatores são iguais a zero:

(x 2 + 6) = 0, não tem solução.

(X 2 – 6) Página = 0

x 2 = 6

x = ± √6.

Assim, a equação inicial tem duas soluções:

x = √6.

x = – √6.

Referências

  1. Andres, T. (2010). Olimpíada Matemática Tresure. Springer Nova Iorque
  2. Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
  3. Baer, ​​R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
  4. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura
  5. Castaño, HF (2005). Matemática antes do cálculo. Universidade de Medellín.
  6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manual de matemática para preparação olímpica. Universitat Jaume I.
  7. Kreemly Pérez, ML (1984). Álgebra Superior I.
  8. Massara, NC-L. (1995). Matemática 3

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