As equações polinomiais são equações que envolvem uma variável elevada a um expoente inteiro, como por exemplo, x² – 5x + 6 = 0. Elas são bastante comuns na matemática e são utilizadas para resolver uma variedade de problemas em diversas áreas do conhecimento. Neste artigo, vamos explorar como resolver equações polinomiais através de alguns exemplos práticos e exercícios resolvidos. Vamos lá!
Solução de equação polinomial: passo a passo para resolver problemas matemáticos de forma simples.
As equações polinomiais são expressões matemáticas que envolvem variáveis elevadas a diferentes potências. Para resolver uma equação polinomial, é necessário seguir alguns passos simples que garantem a resolução correta do problema.
O primeiro passo para resolver uma equação polinomial é identificar o grau do polinômio, ou seja, a maior potência da variável presente na equação. Em seguida, deve-se organizar os termos da equação de forma que todos os termos com a mesma potência da variável estejam juntos.
O próximo passo é tentar simplificar a equação, realizando operações como adição, subtração, multiplicação e divisão. Uma vez simplificada, a equação estará pronta para ser resolvida.
Para encontrar a solução da equação polinomial, é necessário isolar a variável desconhecida. Isso significa que a variável deve ficar sozinha de um lado da equação, com todos os outros termos do outro lado.
Por fim, para encontrar o valor da variável desconhecida, basta aplicar as propriedades matemáticas adequadas e resolver a equação passo a passo até encontrar o valor correto da variável.
Para fixar o conteúdo, vamos resolver um exemplo simples de equação polinomial:
Exemplo: Resolver a equação polinomial 2x² + 5x – 3 = 0.
Passo 1: Identificar o grau do polinômio, que é 2.
Passo 2: Organizar os termos da equação: 2x² + 5x – 3 = 0.
Passo 3: Simplificar a equação, se necessário.
Passo 4: Isolar a variável desconhecida: 2x² + 5x = 3.
Passo 5: Aplicar as propriedades matemáticas e resolver a equação.
Após resolver a equação, encontraremos o valor da variável desconhecida e teremos a solução do problema.
Com esses passos simples, é possível resolver equações polinomiais de forma eficiente e correta, facilitando a resolução de problemas matemáticos mais complexos.
Solução de equação do segundo grau: passos simples para resolver polinômios.
As equações polinomiais são expressões matemáticas que envolvem variáveis elevadas a potências inteiras. Um tipo comum de equação polinomial é a equação do segundo grau, que pode ser representada pela forma geral ax^2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes constantes e x é a variável desconhecida.
Para resolver uma equação do segundo grau, os passos básicos são os seguintes:
Passo 1: Coloque a equação na forma padrão ax^2 + bx + c = 0.
Passo 2: Identifique os valores de a, b e c.
Passo 3: Calcule o discriminante Δ = b^2 – 4ac.
Passo 4: Se Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes. Se Δ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais. Se Δ < 0, a equação tem duas raízes complexas conjugadas.
Passo 5: Use a fórmula de Bhaskara x = (-b ± √Δ) / 2a para encontrar as raízes da equação.
Agora, vamos resolver um exemplo de equação do segundo grau:
Exemplo: Resolver a equação 2x^2 – 5x + 2 = 0.
Passo 1: A equação já está na forma padrão.
Passo 2: a = 2, b = -5, c = 2.
Passo 3: Δ = (-5)^2 – 4*2*2 = 25 – 16 = 9.
Passo 4: Δ > 0, então a equação tem duas raízes reais diferentes.
Passo 5: Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes x = (5 ± √9) / 4 = (5 ± 3) / 4.
Portanto, as raízes da equação 2x^2 – 5x + 2 = 0 são x1 = 7/4 e x2 = 1/2.
Com esses passos simples, é possível resolver equações do segundo grau de forma eficiente e precisa. Praticar a resolução de exercícios semelhantes é fundamental para aprimorar as habilidades em equações polinomiais.
Resolvendo equações lineares com um único termo variável de forma simples.
Para resolver equações lineares com um único termo variável, é importante seguir alguns passos simples. Primeiramente, identifique o termo variável na equação. Por exemplo, na equação 3x + 5 = 11, o termo variável é 3x.
O próximo passo é isolar o termo variável, ou seja, passar todos os outros termos para o lado oposto da equação. Para isso, podemos subtrair 5 dos dois lados da equação 3x + 5 = 11, resultando em 3x = 6.
Por fim, para encontrar o valor da variável x, basta dividir ambos os lados da equação por 3, obtendo x = 2. Portanto, a solução da equação 3x + 5 = 11 é x = 2.
Praticando com mais um exemplo, vamos resolver a equação 2y – 4 = 10. Primeiramente, adicionamos 4 dos dois lados da equação, resultando em 2y = 14. Em seguida, dividimos ambos os lados por 2, encontrando y = 7 como solução.
Passo a passo para resolver polinômios de maneira eficiente e simplificada.
Resolver polinômios pode parecer complicado à primeira vista, mas seguindo alguns passos simples, é possível simplificar o processo e chegar à resposta de forma eficiente. Neste artigo, vamos abordar como resolver equações polinomiais de maneira simplificada, com exercícios resolvidos para exemplificar cada etapa.
Passo 1: Identificar o polinômio
O primeiro passo para resolver um polinômio é identificar qual é o polinômio que estamos lidando. Um polinômio é uma expressão algébrica que envolve variáveis elevadas a expoentes inteiros. Por exemplo, o polinômio x^2 + 3x – 4 é composto por três termos: x^2, 3x e -4.
Passo 2: Fatorar o polinômio (se possível)
Uma vez identificado o polinômio, o próximo passo é fatorá-lo, se possível. A fatoração consiste em reescrever o polinômio como o produto de dois ou mais polinômios mais simples. Por exemplo, o polinômio x^2 – 4 pode ser fatorado como (x + 2)(x – 2).
Passo 3: Resolver a equação polinomial
Após fatorar o polinômio, se necessário, o próximo passo é resolver a equação polinomial. Para isso, igualamos o polinômio a zero e encontramos os valores das variáveis que satisfazem essa igualdade. Por exemplo, para a equação x^2 – 4 = 0, temos as soluções x = 2 e x = -2.
Exercício resolvido:
Vamos resolver o polinômio 2x^2 + 5x – 3 = 0:
Passo 1: Identificar o polinômio: 2x^2 + 5x – 3
Passo 2: Fatorar o polinômio: não é possível fatorar
Passo 3: Resolver a equação polinomial: aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes x = 1/2 e x = -3
Seguindo esses passos, é possível resolver polinômios de maneira eficiente e simplificada. Pratique com mais exercícios para aprimorar suas habilidades e se tornar mais confiante na resolução de equações polinomiais.
Equações polinomiais (com exercícios resolvidos)
As equações polinomiais são uma afirmação que aumenta a igualdade de duas expressões ou membros, em que pelo menos um dos termos que compõem cada lado da igualdade são polinômios P (x). Essas equações são nomeadas de acordo com o grau de suas variáveis.
Em geral, uma equação é uma afirmação que estabelece a igualdade de duas expressões, onde em pelo menos uma delas existem quantidades desconhecidas, chamadas variáveis ou desconhecidas. Embora existam muitos tipos de equações, elas geralmente são classificadas em dois tipos: algébrica e transcendente.
As equações polinomiais contêm apenas expressões algébricas, que podem ter uma ou mais incógnitas que intervêm na equação. Dependendo do expoente (nota) que eles possuem, eles podem ser classificados como: primeiro grau (linear), segundo grau (quadrático), terceiro grau (cúbico), quarta série (quártico), de grau maior ou igual a cinco e irracional.
Caracteristicas
Equações polinomiais são expressões formadas por uma igualdade entre dois polinômios; isto é, pelas somas finitas de multiplicações entre valores que são desconhecidos (variáveis) e números fixos (coeficientes), onde as variáveis podem ter expoentes e seu valor pode ser um número inteiro positivo, incluindo zero.
Os expoentes determinam o grau ou o tipo de equação. O termo da expressão que tem o maior expoente de valor representará o grau absoluto do polinômio.
As equações polinomiais também são conhecidas como algébricas, seus coeficientes podem ser números reais ou complexos e as variáveis são números desconhecidos representados por uma letra, como: “x”.
Se, ao substituir um valor pela variável “x” em P (x), o resultado for igual a zero (0), diz-se que esse valor satisfaz a equação (é uma solução) e geralmente é chamado a raiz do polinômio.
Ao desenvolver uma equação polinomial, você deseja encontrar todas as raízes ou soluções.
Tipos
Existem vários tipos de equações polinomiais, que são diferenciadas de acordo com o número de variáveis e também de acordo com seu grau de expoente.
Assim, as equações polinomiais – onde seu primeiro termo é um polinômio que possui apenas um desconhecido, considerando que seu grau pode ser qualquer número natural (n) e o segundo termo é zero -, podem ser expressas da seguinte forma:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Onde:
– a n, a n-1 e 0 , são coeficientes reais (números).
– a n é diferente de zero.
– O expoente n é um número inteiro positivo que representa o grau da equação.
– x é a variável ou desconhecido que deve ser pesquisado.
O grau absoluto ou maior de uma equação polinomial é aquele expoente de maior valor entre todos aqueles que formam o polinômio; Dessa forma, as equações são classificadas como:
Primeiro grau
As equações polinomiais de primeiro grau, também conhecidas como equações lineares, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 1, o polinômio tem a forma P (x) = 0; e é composto por um termo linear e um independente. Está escrito da seguinte maneira:
ax + b = 0.
Onde:
– aeb são números reais e ≠ 0.
– ax é o termo linear.
– b é o termo independente.
Por exemplo, a equação 13x – 18 = 4x.
Para resolver equações lineares, todos os termos que contêm o x desconhecido para um lado da igualdade devem ser passados e os que não o têm são movidos para o outro lado, a fim de eliminá-lo e obter uma solução:
13x – 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x – 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
Dessa forma, a equação dada tem apenas uma solução ou raiz, que é x = 2.
Segundo grau
As equações polinomiais de segundo grau, também conhecidas como equações quadráticas, são aquelas em que o grau (o maior expoente) é igual a 2, o polinômio tem a forma P (x) = 0 e é composto por um termo quadrático , um linear e um independente. É expresso da seguinte forma:
ax 2 + bx + c = 0.
Onde:
– a, bec são números reais e ≠ 0.
– ax 2 é o termo quadrático, e “a” é o coeficiente do termo quadrático.
– bx é o termo linear e “b” é o coeficiente do termo linear.
– c é o termo independente.
Solvente
Geralmente, a solução para este tipo de equações é dada limpando x da equação, e é a seguinte, que é chamada de solucionador:
Lá, (b 2 – 4ac) é chamado discriminante da equação e essa expressão determina o número de soluções que a equação pode ter:
– Se (b 2 – 4ac) = 0, a equação terá uma única solução que é dupla; isto é, terá duas soluções iguais.
– Se (b 2 – 4ac)> 0, a equação terá duas soluções reais diferentes.
– Se (b 2 – 4ac) <0, a equação não tem solução (ela terá duas soluções complexas diferentes).
Por exemplo, você tem a equação 4x 2 + 10x – 6 = 0, para resolvê-lo, identifique os termos a, bec, e depois substitua na fórmula:
a = 4
b = 10
c = -6.
Há casos em que as equações polinomiais de segundo grau não têm todos os três termos, e é por isso que são resolvidas de uma maneira diferente:
– Caso as equações quadráticas não possuam o termo linear (ou seja, b = 0), a equação será expressa como ax 2 + c = 0. Para resolvê-la, limpe x 2 e aplique as raízes quadradas em cada membro , lembrando-se de que você deve considerar os dois possíveis sinais que o desconhecido pode ter:
ax 2 + c = 0.
x 2 = – c ÷ a
Por exemplo, 5 x 2 – 20 = 0.
5 x 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2.
x 2 = -2.
– Quando a equação quadrática não tiver um termo independente (ou seja, c = 0), a equação será expressa como ax 2 + bx = 0. Para resolvê-la, devemos tomar o fator comum do desconhecido x no primeiro membro; Como a equação é igual a zero, é verdade que pelo menos um dos fatores será igual a 0:
ax 2 + bx = 0.
x (ax + b) = 0.
Dessa forma, você deve:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Por exemplo: você tem a equação 5x 2 + 30x = 0. Primeiro você fatora:
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Dois fatores são gerados que são xy (5x + 30). Um deles é considerado igual a zero e o outro recebe uma solução:
x 1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
x 2 = -6.
Grau principal
As equações polinomiais de maior grau são aquelas que vão do terceiro grau em diante, que podem ser expressas ou resolvidas com a equação polinomial geral para qualquer grau:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
Isso é usado porque uma equação com um grau maior que dois é o resultado da fatoração de um polinômio; isto é, é expresso como a multiplicação de polinômios de grau um ou mais, mas sem raízes reais.
A solução desse tipo de equação é direta, porque a multiplicação de dois fatores será igual a zero se algum dos fatores for nulo (0); portanto, cada uma das equações polinomiais encontradas deve ser resolvida, correspondendo cada um de seus fatores a zero.
Por exemplo, você tem a equação de terceiro grau (cúbica) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. Para resolvê-lo, siga as seguintes etapas:
– Os termos estão agrupados:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2 ) + (4x + 4) = 0.
– Os membros são divididos para eliminar o fator desconhecido comum:
X 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0.
– Dessa forma, você obtém dois fatores, que devem ser iguais a zero:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0.
– Pode-se ver que o fator (x 2 + 4) = 0 não terá uma solução real, enquanto o fator (x + 1) = 0 é. Portanto, a solução é:
(x + 1) = 0
x = -1.
Exercícios resolvidos
Resolva as seguintes equações:
Primeiro exercício
(2x 2 + 5) * (x – 3) * (1 + x) = 0.
Solução
Nesse caso, a equação é expressa como a multiplicação de polinômios; isto é, é fatorado. Para resolvê-lo, cada fator deve ser igual a zero:
– 2x 2 + 5 = 0, não tem solução.
– x – 3 = 0
– x = 3.
1 + x = 0
– x = – 1.
Assim, a equação dada tem duas soluções: x = 3 ex = -1.
2º exercício
x 4 – 36 = 0.
Solução
Um polinômio foi fornecido, que pode ser reescrito como uma diferença de quadrados para chegar a uma solução mais rápida. Assim, a equação é:
(X 2 + 6) * (x 2 – 6) Página = 0.
Para encontrar a solução das equações, ambos os fatores são iguais a zero:
(x 2 + 6) = 0, não tem solução.
(X 2 – 6) Página = 0
x 2 = 6
x = ± √6.
Assim, a equação inicial tem duas soluções:
x = √6.
x = – √6.
Referências
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- Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
- Baer, R. (2012). Álgebra Linear e Geometria Projetiva. Courier Corporation.
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- Kreemly Pérez, ML (1984). Álgebra Superior I.
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