Matemática Discreta: Para que servem, teoria dos conjuntos

Os matemática discreta corresponde a uma área de matemática que é responsável para estudar o conjunto de números naturais; isto é, o conjunto de números finitos e infinitos contáveis ​​em que os elementos podem ser contados separadamente, um por um.

Esses conjuntos são conhecidos como conjuntos discretos; Um exemplo desses conjuntos são números inteiros, gráficos ou expressões lógicas, e eles são aplicados em diferentes campos da ciência, principalmente em ciência da computação ou computação.

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Descrição do produto

Na matemática discreta, os processos são contáveis, com base em números inteiros. Isso significa que os números decimais não são usados ​​e, portanto, a aproximação ou os limites não são usados, como em outras áreas. Por exemplo, um mistério pode ser 5 ou 6, mas nunca 4,99 ou 5,9.

Por outro lado, na representação gráfica, as variáveis ​​serão discretas e são dadas a partir de um conjunto finito de pontos, que são contados um a um, como pode ser visto na imagem:

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A matemática discreta nasce da necessidade de obter um estudo exato que possa ser combinado e testado, a fim de aplicá-lo em diferentes áreas.

Para que servem a matemática discreta?

A matemática discreta é usada em várias áreas. Entre os principais estão os seguintes:

Combinatória

Estude conjuntos finitos onde os elementos podem ser ordenados ou combinados e contados.

Teoria da distribuição discreta

Estude eventos que ocorrem em espaços onde as amostras podem ser contáveis, nas quais distribuições contínuas são usadas para aproximar distribuições discretas ou outras.

Teoria da informação

Refere-se à codificação de informações, usada para o design, transmissão e armazenamento de dados, como sinais analógicos.

IT

Através de matemática discreta, os problemas são resolvidos usando algoritmos, bem como o que pode ser calculado e o tempo necessário para fazê-lo (complexidade) é estudado.

A importância da matemática discreta nessa área aumentou nas últimas décadas, especialmente para o desenvolvimento de linguagens de programação e software .

Criptografia

Ele se baseia em matemática discreta para criar estruturas de segurança ou métodos de criptografia. Um exemplo desse aplicativo são senhas, enviando bits separadamente contendo informações.

Através do estudo, as propriedades de números inteiros e números primos (teoria dos números) podem criar ou destruir esses métodos de segurança.

Lógica

Estruturas discretas são usadas, que geralmente formam um conjunto finito, para provar teoremas ou, por exemplo, verificar software.

Teoria dos grafos

Permite a resolução de problemas lógicos, usando nós e linhas que formam um tipo de gráfico, conforme mostrado na imagem a seguir:

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É uma área intimamente ligada à matemática discreta porque as expressões algébricas são discretas. Com isso, são desenvolvidos circuitos eletrônicos, processadores, programação (álgebra booleana) e bancos de dados (álgebra relacional).

Geometria

Estude as propriedades combinatórias de objetos geométricos, como o revestimento do plano. Por outro lado, a geometria computacional possibilita o desenvolvimento de problemas geométricos aplicando algoritmos.

Teoria dos conjuntos

Em conjuntos discretos de matemática (números finitos e infinitos) são o principal objetivo do estudo. A teoria dos conjuntos foi publicada por George Cantor, que mostrou que todos os conjuntos infinitos são do mesmo tamanho.

Um conjunto é um agrupamento de elementos (números, coisas, animais e pessoas, entre outros) bem definidos; isto é, existe um relacionamento segundo o qual cada elemento pertence a um conjunto e é expresso, por exemplo, para ∈ A.

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Em matemática, existem conjuntos diferentes que agrupam certos números de acordo com suas características. Assim, por exemplo, eles têm:

– Conjunto de números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,… + ∞}.

– Conjunto de números inteiros E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

– Subconjunto de números racionais Q * = {-∞…, – ¼, – ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

– Conjunto de números reais R = {-∞…, – ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

Os conjuntos são nomeados com letras do alfabeto, em maiúsculas; enquanto os elementos são nomeados em letras minúsculas, entre colchetes ({}) e separados por vírgulas (,). Eles geralmente são representados em diagramas como os de Venn e Caroll, bem como computacionalmente.

Com operações básicas como união, interseção, complemento, diferença e produto cartesiano, os conjuntos e seus elementos são gerenciados, com base na relação de pertença.

Existem vários tipos de conjuntos, os mais estudados em matemática discreta são os seguintes:

Conjunto finito

É aquele que possui um número finito de elementos e que corresponde a um número natural. Assim, por exemplo, A = {1, 2, 3,4} é um conjunto finito que possui 4 elementos.

Conjunto de contabilidade infinito

É aquele em que existe uma correspondência entre os elementos de um conjunto e os números naturais; isto é, de um elemento, todos os elementos de um conjunto podem ser listados sucessivamente.

Dessa forma, cada elemento corresponderá a cada elemento do conjunto de números naturais. Por exemplo:

O conjunto de números inteiros Z = {… -2, -1, 0, 1, 2…} pode ser listado como Z = {0, 1, -1, 2, -2…}. Dessa maneira, é possível fazer uma correspondência individual entre os elementos de Z e os números naturais, conforme mostrado na imagem a seguir:

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É um método usado para resolver problemas contínuos (modelos e equações) que devem ser convertidos em problemas discretos, nos quais a solução é conhecida aproximando-se da solução do problema contínuo.

Visto de outra maneira, a discretização tenta obter uma quantidade finita de um conjunto infinito de pontos; dessa maneira, uma unidade contínua é transformada em unidades individuais.

Geralmente, esse método é usado na análise numérica, como na solução de uma equação diferencial, por meio de uma função que é representada por uma quantidade finita de dados em seu domínio, mesmo quando é contínuo.

Outro exemplo de discretização é seu uso para converter um sinal analógico em digital, quando as unidades de sinal contínuo são convertidas em unidades individuais (são discretizadas) e, em seguida, codificadas e quantificadas para obter o sinal digital.

Referências

  1. Grimaldi, RP (1997). Matemática discreta e combinatória. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Matemática discreta Reverte
  3. Jech, T. (2011). Conjunto de teorias. Enciclopédia de Stanford de filosofia.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, AG (2014). Matemática Discreta: Aplicações e Exercícios. Grupo Editorial Patria.
  5. Landau, R. (2005). Computação, Um Primeiro Curso de Ciência.
  6. Merayo, FG (2005). Matemática Discreta Thomson editorial.
  7. Rosen, KH (2003). Matemática Discreta e suas aplicações. Editorial da McGraw-Hill.
  8. Schneider, DG (1995). Uma abordagem lógica da matemática discreta.

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