Eventos independentes: demonstração, exemplos, exercícios

Dois eventos são independentes , quando a probabilidade de um deles acontecer não é influenciada pelo fato de o outro ocorrer – ou não -, considerando que esses eventos ocorrem aleatoriamente.

Essa circunstância ocorre sempre que o processo que gera o resultado do evento 1 não altera de maneira alguma a probabilidade dos possíveis resultados do evento 2. Mas se isso não acontecer, diz-se que os eventos são dependentes.

Eventos independentes: demonstração, exemplos, exercícios 1

Figura 1. Mármores coloridos são frequentemente usados ​​para explicar a probabilidade de eventos independentes. Fonte: Pixabay

Uma situação de eventos independentes é a seguinte: suponha que dois dados de seis lados, um azul e outro rosa, sejam lançados.A probabilidade de um 1 no dado azul é independente da probabilidade de um 1 – ou não – no dado rosa.

Outro caso de dois eventos independentes é jogar uma moeda duas vezes seguidas. O resultado do primeiro arremesso não dependerá do resultado do segundo e vice-versa.

Vejamos o seguinte exemplo de eventos independentes : uma bolsa com duas bolas brancas e duas bolas pretas.A probabilidade de desenhar uma bola branca ou preta é a mesma na primeira tentativa.

Suponha que o resultado tenha sido bola branca.Se a bola extraída for recolocada na sacola, a situação original é repetida: duas bolas brancas e duas bolas pretas.

Assim, em um segundo evento ou extração, as chances de sacar uma bola branca ou preta são idênticas às da primeira vez. É, portanto, eventos independentes.

Mas se a bola branca removida no primeiro evento não for substituída, na segunda extração, há uma chance maior de sacar uma bola preta. A probabilidade de que em uma segunda extração volte a ser branca, é diferente da do primeiro evento e é condicionada pelo resultado anterior.

Demonstração de dois eventos independentes

Para verificar se dois eventos são independentes, definiremos o conceito de probabilidade condicionada de um evento em relação a outro. Para isso, é necessário diferenciar eventos exclusivos e eventos inclusivos:

Dois eventos são exclusivos se os possíveis valores ou elementos do evento A não tiverem nada em comum com os valores ou elementos do evento B.

Portanto, em dois eventos exclusivos, o conjunto da interseção de A com B é o vazio:

Eventos excluídos: A∩B = Ø

Pelo contrário, se os eventos são inclusivos, pode acontecer que um resultado do evento A também coincida com o de outro B, com A e B sendo eventos diferentes. Neste caso:

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Eventos inclusivos: A∩B ≠ Ø

Isso nos leva a definir a probabilidade condicionada de dois eventos inclusivos, ou seja, a probabilidade de ocorrência do evento A, sempre que o evento B ocorrer:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Portanto, a probabilidade condicionada é a probabilidade de que A e B ocorram divididos pela probabilidade de ocorrer B. Você também pode definir a probabilidade de que B ocorra condicionado a A:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Critérios para saber se dois eventos são independentes

A seguir, forneceremos três critérios para saber se dois eventos são independentes. Basta que um dos três seja cumprido, para que a independência dos eventos seja demonstrada.

1.- Se a probabilidade de A ocorrer sempre que B ocorre é igual à probabilidade de A, então são eventos independentes:

P (A¦B) = P (A) => A é independente de B

2.- Se a probabilidade de ocorrência B dada A é igual à probabilidade de B, então existem eventos independentes:

P (B¦A) = P (B) => B é independente de A

3.- Se a probabilidade que ocorre A e B é igual ao produto da probabilidade que ocorre A pela probabilidade que ocorre B, então esses são eventos independentes. O recíproco também é verdadeiro.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A e B são eventos independentes.

Exemplos de eventos independentes

As solas de borracha produzidas por dois fornecedores diferentes são comparadas. As amostras de cada fabricante são submetidas a vários testes a partir dos quais é concluído se estão ou não dentro das especificações.

Eventos independentes: demonstração, exemplos, exercícios 2

Figura 2. Variedade de solas de borracha. Fonte: Pixabay

O resumo resultante das 252 amostras é o seguinte:

Fabricante 1; 160 atendem às especificações; 8 não atendem às especificações.

Fabricante 2; 80 atendem às especificações; 4 não atendem às especificações.

Evento A: “Que a amostra pertence ao fabricante 1”.

Evento B: “Que a amostra atenda às especificações”.

Queremos saber se esses eventos A e B são ou não independentes, para os quais aplicamos um dos três critérios mencionados na seção anterior.

Critérios: P (B¦A) = P (B) => B é independente de A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Conclusão: Os eventos A e B são independentes.

Suponha um evento C: “que a amostra seja do fabricante 2”

O evento B será independente do evento C?

Nós aplicamos um dos critérios.

Critérios: P (B¦C) = P (B) => B é independente de C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

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Portanto, de acordo com os dados disponíveis, a probabilidade de uma sola de borracha escolhida aleatoriamente atender às especificações é independente do fabricante.

Exercícios

– Exercício 1

Em uma caixa, colocamos as 10 bolinhas na figura 1, das quais 2 são verdes, 4 azuis e 4 brancas. Duas bolinhas aleatórias serão escolhidas, uma primeira e outra mais tarde. É solicitado que encontre a
probabilidade de que nenhum deles seja azul, nas seguintes condições:

a) Com a substituição, ou seja, devolvendo o primeiro mármore à caixa antes da segunda seleção. Indique se são eventos independentes ou dependentes.

b) Sem substituição, de modo que o primeiro mármore removido, esteja fora da caixa no momento de fazer a segunda seleção. Da mesma forma, indique se eles são eventos dependentes ou independentes.

Solução para

Calculamos a probabilidade de que o primeiro mármore extraído não seja azul, que é 1 menos a probabilidade de ser azul P (A), ou diretamente de que não seja azul, porque era verde ou branco:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (não azul) = 1 – (2/5) = 3/5

O bem:

P (verde ou branco) = 6/10 = 3/5.

Se o mármore extraído for devolvido, tudo será como antes. Nesta segunda extração, há também uma probabilidade de 3/5 de que o mármore extraído não seja azul.

P (não azul, não azul) = (3/5). (3/5) = 25/9.

Os eventos são independentes, pois o mármore extraído foi devolvido à caixa e o primeiro evento não influencia a probabilidade de ocorrência do segundo.

Solução b

Para a primeira extração, proceda como na seção anterior. A probabilidade de não ser azul é 3/5.

Para a segunda extração, temos 9 bolinhas de gude na sacola, uma vez que a primeira não retornou, mas não era azul; portanto, na sacola existem 9 bolinhas de gude e 5 não azuis:

P (verde ou branco) = 5/9.

P (nenhum é azul) = P (primeiro, não azul). P (o segundo não azul / o primeiro não era azul) = (3/5). (5/9) = 1/3

Nesse caso, eles não são eventos independentes, pois o primeiro evento condiciona o segundo.

– Exercício 2

Uma loja possui 15 camisas em três tamanhos: 3 pequenas, 6 médias e 6 grandes. 2 camisas são selecionadas aleatoriamente.

a) Qual é a probabilidade de as duas camisas selecionadas serem pequenas, se uma for removida primeiro e sem substituir no lote a outra for removida?

b) Qual a probabilidade de ambas as camisas selecionadas serem pequenas, se uma for removida primeiro, substituída no lote e a segunda removida?

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Solução para

Aqui estão dois eventos:

Evento A: a primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: a segunda camisa selecionada é pequena

A probabilidade do evento A é: P (A) = 3/15

A probabilidade do evento B é: P (B) = 2/14, porque uma camisa já foi removida (restam 14), mas também o evento deve ser realizado.A primeira camisa removida deve ser pequena e Restam 2 pequenos.

Em outras palavras, a probabilidade de que A e B sejam o produto das probabilidades é:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Portanto, a probabilidade de ocorrência do evento A e B é igual ao produto da ocorrência do evento A, pela probabilidade de o evento B ocorrer se o evento A.

Note-se que:

P (B¦A) = 2/14

A probabilidade do evento B, independentemente de o evento A ocorrer ou não, será:

P (B) = (2/14) se o primeiro for pequeno, ou P (B) = 3/14 se o primeiro não for pequeno.

Em geral, pode-se concluir o seguinte:

P (B¦A) não é igual a P (B) => B não é independente de A

Solução b

Novamente, existem dois eventos:

Evento A: a primeira camisa selecionada é pequena

Evento B: a segunda camisa selecionada é pequena

P (A) = 3/15

Lembre-se de que, seja qual for o resultado, a camisa removida do lote é substituída e novamente a camisa é removida aleatoriamente. A probabilidade do evento B, se o evento A ocorreu, é:

P (B¦A) = 3/15

A probabilidade dos eventos A e B será:

P (A e B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Note que:

P (B¦A) é igual a P (B) => B é independente de A.

– Exercício 3

Considere dois eventos independentes A e B. Sabe-se que a probabilidade de ocorrência do evento A é 0,2 e a probabilidade de ocorrência do evento B é 0,3. Qual será a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem?

Solução 2

Sabendo que os eventos são independentes, sabe-se que a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem é o produto das probabilidades individuais.Quer dizer,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Observe que é uma probabilidade muito menor do que a probabilidade de que cada evento ocorra independentemente do resultado do outro. Ou, em outras palavras, muito menos do que as probabilidades individuais.

Referências

  1. Berenson, M. 1985. Estatísticas para administração e economia. Interamericana SA 126-127.
  2. Instituto Monterrey. Probabilidade de eventos independentes. Recuperado em: monterreyinstitute.org
  3. Professor de matemática Eventos independentes Recuperado de: youtube.com
  4. Superprof Tipos de eventos, eventos dependentes. Recuperado de: superprof.es
  5. Tutor virtual Probabilidade Recuperado de: vitutor.net
  6. Wikipedia Independência (probabilidade). Recuperado de: wikipedia.com

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