Função bijetiva: o que é, como é feito, exemplos, exercícios

Uma função bijetiva é aquela que atende à dupla condição de ser injetiva e superjetiva . Ou seja, todos os elementos do domínio tem uma imagem única no codomain, e por sua vez o codomain é igual a função rank ( R f ).

É realizado quando se considera uma relação biunívoca entre os elementos do domínio e o codomain.Um exemplo simples é a função F: RR definida pela linha F (x) = x

Função bijetiva: o que é, como é feito, exemplos, exercícios 1

Fonte: Autor

Observa-se que, para cada valor do domínio ou conjunto de partida (ambos os termos se aplicam igualmente), existe apenas uma imagem no codomain ou conjunto de chegada. Além disso, não há nenhum elemento do codomain que não seja uma imagem.

Desta forma, F: RR definido pela linha F (x) = x é bijetivo

Como é feita uma função bijetiva?

Para responder a isso, é necessário esclarecer os conceitos relacionados à Injetividade e Super atividade de uma função , além dos critérios para condicionar as funções para adaptá-las aos requisitos.

Injeção de uma função

Uma função é injetiva quando cada um dos elementos de seu domínio está relacionado a um único elemento do codomain. Um elemento do codomain pode ser apenas uma imagem de um único elemento do domínio; dessa forma, os valores da variável dependente não podem ser repetidos.

Para considerar uma função injetiva , o seguinte deve ser cumprido:

∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )

Super atividade de uma função

Uma função é classificada como superjetiva , se cada elemento de seu codomain for uma imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Para considerar uma função como superjetiva, o seguinte deve ser cumprido:

Seja F: D fC f

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∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer que, para cada “b” que pertence a C f, existe um “a” que pertence a D f, de modo que a função avaliada em “a” é igual a “b”.

Função Condicionamento

Às vezes, uma função que não é bijetiva pode sofrer certas condições. Essas novas condições podem transformá-lo em uma função bijetiva. Todos os tipos de modificações no domínio e no co-domínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de injetividade e atividade excessiva no relacionamento correspondente.

Exemplos: exercícios resolvidos

Exercício 1

Seja a função F: RR definida pela linha F (x) = 5x +1

A: [todos os números reais]

Observa-se que para cada valor de domínio há uma imagem no codomain. Essa imagem é única, o que faz de F uma função injetiva . Do mesmo modo, observamos que o codomain da função é igual ao seu alcance. Assim cumprir a condição surjectivity .

Sendo injetivos e superjetivos ao mesmo tempo, podemos concluir que

F: RR definido pela linha F (x) = 5x +1 é uma função bijetiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau de variável é um).

Exercício 2

Seja a função F: RR definida por F (x) = 3x 2 – 2

Ao desenhar uma linha horizontal, observa-se que o gráfico é encontrado em mais de uma ocasião. Por esse motivo, a função F não é injetiva e, portanto, não será bijetiva , desde que definida em RR

Da mesma forma, existem valores de codomain que não são imagens de nenhum elemento do domínio. Por esse motivo, a função não é superjetiva, o que também merece condicionar o conjunto de chegadas.

O domínio e o co-domínio da função são condicionados

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F: [0, ∞][- 2, ]

Onde se observa que o novo domínio abrange valores de zero ao infinito positivo. Evitando a repetição de valores que afetam a injetividade.

Assim também o codomain foi modificado, contando de “-2” ao infinito positivo, eliminando do codomain os valores que não correspondiam a nenhum elemento do domínio

Dessa maneira, pode-se garantir que F : [0, ∞][- 2, ] definido por F (x) = 3x 2 – 2

É bijetivo

Exercício 3

Seja a função F: R → R definida por F (x) = Sen (x)

No intervalo [- , + ∞ ] a função seno varia seus resultados entre zero e um.

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Fonte: Autor

A função F não corresponde aos critérios de injetividade e super atividade, porque os valores da variável dependente são repetidos a cada intervalo de π. Além disso, os termos do codomain fora do intervalo [-1, 1] não são imagens de nenhum elemento do domínio.

Ao estudar o gráfico da função F (x) = Sen (x) , são observados intervalos em que o comportamento da curva atende aos critérios de bijetividade . Por exemplo, o intervalo D f = [ π / 2 , 3π / 2 ] para o domínio. Y C f = [-1, 1] para o codomain.

Onde a função varia os resultados de 1 a -1, sem repetir nenhum valor na variável dependente. E ao mesmo tempo o codomain é igual aos valores adotados pela expressão Sen (x)

Dessa forma, a função F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] definida por F (x) = Sen (x). É bijetivo

Exercício 4

Coloque as condições necessárias para D f e C f . Para que a expressão

F (x) = -x 2 é bijetivo.

Função bijetiva: o que é, como é feito, exemplos, exercícios 3

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A repetição dos resultados é observada quando a variável assume valores opostos:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

O domínio é condicionado, limitando-o ao lado direito da linha real.

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D f = [0, + ]

Da mesma forma, observa-se que o intervalo dessa função é o intervalo [- , 0] , que, ao atuar como um co-domínio, atende às condições de super atividade.

Desta forma, podemos concluir que

A expressão F: [0, + ] → [- , 0] definida por F (x) = -x 2 É bijetivo

Exercícios propostos

Verifique se as seguintes funções são binárias:

F: [0, ∞) R definido por F (x) = 3 (x + 1) 2 +2

F: [ 3π / 2 , 5π / 2 ] → R definido por F (x) = 5ctg (x)

F: [- π , π ] → R definido por F (x) = Cos (x – 3)

F: R R definido pela linha F (x) = -5x + 4

Referências

  1. Introdução ao pensamento lógico e crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia
  3. Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind 4
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.

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