Os números amigáveis, também conhecidos como números amigos, são pares de números inteiros onde a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número, e vice-versa. Em outras palavras, dois números são considerados amigáveis se a soma dos divisores de um número, excluindo ele próprio, é igual ao outro número e vice-versa. Neste artigo, vamos explorar alguns exemplos de números amigáveis e discutir como encontrá-los através de métodos matemáticos.
Descubra quais são os números que possuem amizade matemática em suas propriedades.
Números amigáveis, também conhecidos como números amigáveis, são pares de números naturais onde a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número e vice-versa. Em outras palavras, se a soma dos divisores próprios de um número A é igual a B, e a soma dos divisores próprios de B é igual a A, então esses números são considerados amigáveis.
Um exemplo clássico de números amigáveis são 220 e 284. A soma dos divisores próprios de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110) é igual a 284, e a soma dos divisores próprios de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) é igual a 220.
Para encontrar números amigáveis, podemos utilizar algoritmos matemáticos específicos, como o algoritmo de Euclides. Esse algoritmo nos permite calcular os divisores próprios de um número de forma eficiente, facilitando a busca por números amigáveis.
Outros exemplos de números amigáveis incluem 1184 e 1210, 2620 e 2924, 5020 e 5564, entre outros. A matemática por trás dos números amigáveis é fascinante e demonstra a complexidade e beleza das relações numéricas.
Portanto, se você deseja explorar mais sobre os números amigáveis e suas propriedades matemáticas, recomendamos estudar algoritmos de cálculo de divisores e realizar experimentos computacionais para descobrir novos pares de números amigáveis.
Números amigos e perfeitos: entenda suas propriedades e exemplos de suas diferenças.
Números amigos e perfeitos: entenda suas propriedades e exemplos de suas diferenças. Os números amigos e perfeitos são conceitos matemáticos fascinantes que têm sido estudados ao longo da história. Neste artigo, vamos focar nos números amigos, também conhecidos como números amigáveis.
Os números amigos são pares de números inteiros em que a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número e vice-versa. Por exemplo, os números 220 e 284 são um par de números amigos, pois os divisores próprios de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110) somam 284, e os divisores próprios de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) somam 220.
Para encontrar números amigos, podemos usar algoritmos específicos que buscam por pares de números que satisfaçam a condição mencionada acima. Um dos algoritmos mais conhecidos é o método de Euclides, que foi desenvolvido pelo matemático grego Euclides de Alexandria.
Por outro lado, os números perfeitos são números inteiros em que a soma de seus divisores próprios é igual ao próprio número. Um exemplo de número perfeito é o 28, já que a soma de seus divisores próprios (1, 2, 4, 7 e 14) é igual a 28.
Enquanto os números amigos são pares de números cujos divisores próprios somam um ao outro, os números perfeitos são números cujos divisores próprios somam o próprio número.
Descubra como encontrar números amigos através de cálculos simples e práticos.
Números amigos, também conhecidos como números amigáveis, são pares de números inteiros nos quais a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número e vice-versa. Por exemplo, o par de números amigos (220, 284) possui a propriedade de que a soma dos divisores próprios de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110) é igual a 284, e a soma dos divisores próprios de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) é igual a 220.
Para encontrar números amigos, você pode utilizar cálculos simples e práticos. Um método comum é listar todos os divisores próprios de um número e depois somá-los para ver se o resultado é igual a outro número. Por exemplo, para encontrar números amigos, você pode seguir estes passos:
1. Escolha um número inteiro, como 220.
2. Liste todos os divisores próprios deste número (excluindo ele mesmo), como 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110.
3. Some esses divisores para obter a soma, que neste caso é 284.
4. Repita o processo para o número 284, listando seus divisores próprios (1, 2, 4, 71 e 142) e somando-os para obter a soma, que é 220.
Com esses passos simples, você pode encontrar números amigos de forma prática e rápida. Experimente com outros números e veja quantos pares de números amigos você consegue descobrir!
Significado dos números amigos: entenda essa relação especial entre eles.
Os números amigos, também conhecidos como números amigáveis, são pares de números inteiros onde a soma dos divisores próprios de um número é igual ao outro número do par. Em outras palavras, a soma dos divisores de um número, excluindo ele mesmo, resulta no outro número do par.
Por exemplo, o par de números amigos mais conhecido é 220 e 284. Os divisores próprios de 220 são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110, que somados resultam em 284. Por sua vez, os divisores próprios de 284 são 1, 2, 4, 71 e 142, que somados resultam em 220. Portanto, 220 e 284 formam um par de números amigos.
Encontrar números amigos pode ser um desafio interessante para quem gosta de matemática. Para identificá-los, é necessário calcular a soma dos divisores próprios de cada número e verificar se essa soma corresponde ao outro número do par. Existem algoritmos e técnicas específicas para encontrar números amigos, tornando essa busca ainda mais intrigante.
Os números amigos têm um significado especial na matemática, pois revelam uma relação única entre eles. Essa propriedade de divisibilidade e soma dos divisores destaca a harmonia existente entre esses números. Além disso, a busca por números amigos estimula o raciocínio lógico e a habilidade de resolver problemas matemáticos de forma criativa.
Encontrar esses pares requer dedicação e conhecimento matemático, mas o resultado é uma descoberta fascinante que evidencia a beleza e a complexidade dos números.
Números amigáveis ou amigáveis: exemplos e como encontrá-los
Os amigos ou os números amigáveis são dois números naturais aeb a soma dos divisores de um deles (excluindo o número) é igual ao outro número, e a soma dos divisores deste (também não incluindo) é igual ao primeiro número .
Foram encontrados muitos pares de números que compartilham essa propriedade curiosa. Não são números muito pequenos, os menores são 220 e 284, descobertos há vários séculos. Então, vamos colocá-los como um exemplo do que significa essa amizade peculiar entre números.
Os divisores de 220, não incluindo 220, são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Por sua parte, os divisores de 284, não incluindo 284, são: 1, 2, 4, 71 e 142.
Agora adicionamos os divisores do primeiro número, que é 220:
D 1 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Observamos que a soma é de fato 284, o número amigável.
Os divisores de 284 são então adicionados:
D 2 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
E o primeiro membro do casal é obtido.
Os antigos matemáticos gregos da escola pitagórica, fundados por Pitágoras (569-475 aC), autor do famoso teorema de mesmo nome, conseguiram descobrir essa relação peculiar entre esses dois números, aos quais atribuíam muitas qualidades místicas.
Eles também eram conhecidos pelos matemáticos islâmicos da Idade Média, que conseguiram determinar uma fórmula geral para encontrar números amigáveis por volta de 850 dC.
Fórmula para encontrar números amigáveis
O matemático islâmico Thabit Ibn Qurra (826-901) encontrou uma maneira de gerar alguns números amigáveis. Sejam p , q e r três números primos, ou seja, números que apenas admitem 1 e eles mesmos como divisores.
Quando o seguinte for cumprido:
p = 3,2 n-1 – 1
q = 3,2 n – 1
r = 9,2 2n-1 – 1
Com n um número maior que 1, então:
a = 2 n pq eb = 2 n r
Faça um par de números amigáveis. Vamos testar a fórmula para n = 2 e ver qual par de números amigáveis ele gera:
p = 3,2 2-1 – 1 = 3. 2 – 1 = 5
q = 3,2 2 – 1 = 11
r = 9,2 2,2-1 – 1 = 71
Assim:
a = 2 n pq = 2 2 . 5. 11 = 220
b = 2 n r = 2 2 . 71 = 284
A fórmula do matemático medieval funciona para n = 2, já que esses são precisamente os primeiros números amigáveis, dos quais se falou no começo e que já eram conhecidos na Idade Média.
No entanto, o teorema não funciona para todos os números amigáveis encontrados até agora, apenas para n = 2, n = 4 en = 7.
Séculos mais tarde, o matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) deduziu uma nova regra para encontrar números amigáveis, com base na de Thabit Ibn Qurra:
p = (2 n-m + 1). 2 m – 1
q = (2 n-m + 1). 2 n – 1
r = (2 n-m + 1) 2 . 2 m + n – 1
Como sempre, os números p, q e r são primos, mas agora existem dois expoentes inteiros: m e n, dos quais m deve atender à seguinte condição:
1 ≤ m ≤ n-1
O par de números amigáveis é formado da mesma maneira:
a = 2 n pq
b = 2 n r
Se m = n-1, o teorema de Thabit é obtido novamente, mas, como no teorema do matemático islâmico, nem todos os números amigáveis satisfazem o governo de Euler. No entanto, com isso aumentou o número de números amigáveis conhecidos até então.
Aqui estão os primeiros pares de expoentes (m, n) com os quais encontrar alguns números amigáveis:
(1,2), (3,4), (6,7), (1,8) e (29,40)
Mais tarde, na seção de exercícios, encontraremos o par de números amigáveis que é formado graças aos expoentes (3,4) da regra de Euler.
Exemplos de números amigáveis
-220 e 284
-1184 e 1210
-2620 e 2924
-5020 e 5564
-6232 e 6368
-10.744 e 10.856
-12.285 e 14.595
-17.296 e 18.416
Obviamente, muitos pares de números mais amigáveis podem ser gerados por computador.
Como decompor um número e encontrar seus divisores
Vamos ver agora como encontrar os divisores de um número, para verificar se eles são amigos. De acordo com a definição de números amigáveis, todos os divisores de cada participante são necessários para adicioná-los, exceto os próprios números.
Agora, os números naturais podem ser divididos em dois grupos: números primos e números compostos.
Os números primos admitem apenas 1 e eles mesmos como divisores exatos. E os números compostos por sua parte, sempre podem ser expressos como o produto de números primos e ter outros divisores, além de 1 e eles próprios.
Qualquer número que consiste em N, como 220 ou 284, pode ser expresso assim:
N = a n . b m . c p … r k
Onde a, b, c … r são números primos en, m, p … k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.
Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para descobrir quantos (mas não quais) divisores o número N. Seja C essa quantidade:
C = (n +1) (m + 1) (p + 1) … (k + 1)
Depois que o número N é expresso em termos de produtos de números primos e você sabe quantos divisores ele possui, você já tem as ferramentas para saber quais são seus divisores, tanto primos quanto não primos. E é necessário conhecê-los todos para verificar se são amigos, exceto o último, que é o próprio número.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
Encontre todos os divisores do par de números amigáveis 220 e 284.
Solução
Vamos primeiro encontrar os divisores primos de 220, que é um número composto:
220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │
A fatoração primária de 220 é:
220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2 2 .5. onze
Portanto n = 2, m = 1, p = 1 e possui:
C = (2 + 1). (1 + 1). (1 + 1) = 12 divisores
Os primeiros divisores a observar a decomposição do número são: 1 , 2 , 4 , 5 e 11 . E há também 110 e 55 .
Faltariam 5 deles, que são encontrados produzindo produtos entre os primos e suas combinações: 2 2 .5 = 20; 2 2, 11 = 44 ; 2. 11 = 22 e finalmente 1 e 220 em si .
Um procedimento análogo é seguido para 284:
284 1422
142 │2
71 │71
1 │
284 = 2 2 . 71
C = (2 + 1). (1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores
Esses divisores são: 1, 2, 4, 71, 142 e 284, conforme declarado no início.
– Exercício 2
Verificar a fórmula de Euler para n = 4 e m = 3 gera o triplo de números primos (p, q, r) = (23,47, 1151). Qual é o par de números amigáveis formados com eles?
Solução
Os números primos p, q e r são calculados por:
p = (2 n-m + 1). 2 m – 1
q = (2 n-m + 1). 2 n – 1
r = (2 n-m + 1) 2 . 2 m + n – 1
Substituindo os valores de m = 3 en = 4 obtemos:
p = (2 4-3 + 1). 2 3 – 1 = 23
q = (2 4-3 + 1). 2 4 – 1 = 47
r = (2 4-3 + 1) 2 . 2 4 + 3 – 1 = 1151
Agora aplicamos a fórmula para encontrar o par de números amigáveis aeb:
a = 2 n pq
b = 2 n r
a = 2 n pq = 16. 23. 47 = 17.296
b = 2 n r = 16. 1151 = 18.416
E, de fato, eles estão entre a lista dos primeiros pares de números amigáveis que mostramos anteriormente.
Referências
- Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
- Tudo sobre números primos. Números amigáveis. Recuperado em: manyprimes.org.
- Wolfram MathWorld. Regra de Euler. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
- Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: es.wikipedia.org.