Frações Parciais: Casos e Exemplos

As fracções parciais são formados por fracções polinómios, em que o denominador podem ser um linear ou polinomial quadrática e também pode ser elevado a uma potência . Às vezes, quando temos funções racionais, é muito útil reescrever essa função como uma soma de frações parciais ou frações simples.

Isso ocorre porque dessa maneira podemos manipular essas funções de uma maneira melhor, especialmente nos casos em que é necessário integrar o referido aplicativo. Uma função racional é simplesmente a razão entre dois polinômios, e eles podem ser adequados ou impróprios.

Frações Parciais: Casos e Exemplos 1

Se o grau do polinômio do numerador for menor que o denominador, ele será chamado de função racional própria; caso contrário, é conhecida como função racional imprópria.

Definição de

Quando temos uma função racional imprópria, podemos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e, assim, reescrever a fração p (x) / q (x), seguindo o algoritmo de divisão como t (x) + s (x) / q (x), onde t (x) é um polinômio es (x) / q (x) é uma função racional adequada.

Uma fração parcial é qualquer função própria dos polinômios, cujo denominador é da forma (ax + b) n o (ax 2 + bx + c) n , se o ax polinomial 2 + bx + c não tiver raízes reais e n for um número natural

Para reescrever uma função racional em frações parciais, a primeira coisa a fazer é fatorar o denominador q (x) como um produto de fatores lineares e / ou quadráticos. Feito isso, são determinadas as frações parciais, que dependem da natureza desses fatores.

Estojos

Consideramos vários casos separadamente.

Caso 1

Os fatores de q (x) são todos lineares e nenhum é repetido. Quer dizer:

q (x) = (a 1 x + b 1 ) (a 2 x + b 2 )… (a s x + b s )

Lá, nenhum fator linear é idêntico a outro. Quando esse caso ocorrer, escreveremos:

p (x) / q (x) = A 1 / (a 1 x + b 1 ) + A 2 / (a 2 x + b 2 ) … + A s / (um s x + b s ).

Onde A 1 , A 2 , …, A s são as constantes que você deseja encontrar.

Exemplo

Queremos dividir a função racional em frações simples:

(x – 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)

Passamos a fatorar o denominador, ou seja:

x 3 + 3x 2 + 2x x = (x + 1) (x + 2)

Então:

(x – 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x – 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x – 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Aplicando o mínimo múltiplo comum, você pode obter o seguinte:

x – 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Queremos obter os valores das constantes A, B e C, que podem ser encontrados substituindo as raízes que cancelam cada um dos termos. Substituindo 0 por x, temos:

0-1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

– 1 = 2A

A = – 1/2.

Substituindo – 1 por x, temos:

– 1 – 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

– 2 = – B

B = 2

Substituindo – 2 por x, temos:

– 2 – 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = -3/2.

Dessa forma, os valores A = –1/2, B = 2 e C = –3/2 são obtidos.

Existe outro método para obter os valores de A, B e C. Se no lado direito da equação x – 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinamos termos, temos:

x – 1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Como essa é uma igualdade de polinômios, temos que os coeficientes no lado esquerdo devem ser iguais aos do lado direito. Isso resulta no seguinte sistema de equações:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = – 1

Resolvendo esse sistema de equações, obtemos os resultados A = –1/2, B = 2 e C = -3/2.

Por fim, substituindo os valores obtidos, temos que:

(x – 1) / x (x + 1) (x + 2) = – 1 / (2x) + 2 / (x + 1) – 3 / (2 (x + 2)).

Caso 2

Os fatores de q (x) são todos lineares e alguns são repetidos. Suponha que (ax + b) seja um fator que se repete «s» vezes; então, esse fator corresponde à soma das frações parciais “s”.

A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).

Onde A s , A s-1 , …, A 1 são constantes determinadas. Com o exemplo a seguir, mostraremos como determinar essas constantes.

Exemplo

Decompor em frações parciais:

(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 )

Escrevemos a função racional como soma de frações parciais da seguinte maneira:

(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 ) = A / x 2 + B / x + C / (x – 2) 3 + D / (x – 2) 2 + E / (x – 2 )

Então:

x – 1 = A (x – 2) 3 + B (x – 2) 3 x + Cx 2 + D (x – 2) x 2 + E (x – 2) 2 x 2

Substituindo 2 por x, temos o seguinte:

7 = 4C, ou seja, C = 7/4.

Substituindo 0 por x, temos:

– 1 = –8A ou A = 1/8.

Substituindo esses valores na equação anterior e desenvolvendo, temos que:

x – 1 = 1/8 (x 3 – 6x 2 + 12x – 8) + Bx (x 3 – 6x 2 + 12x – 8) + 7 / 4x 2 + Dx 3 – 2Dx 2 + Ex 2 (x 2 – 4x + 4)

Se x = 1 = (B + E) x 4 + (1/8 – 6B + D – 4E) x 3 + (- ¾ + 12B + 7/4 – 2D + 4E) x 2 + (3/2 – 8B) x – 1.

Ao combinar os coeficientes, obtemos o seguinte sistema de equações:

B + E = 0;

1/8 – 6B + D – 4E = 1;

– 3/4 + 12B + 7/4 – 2D + 4E = 0

3/2 – 8B = 0.

Resolvendo o sistema, temos:

B = 3/16; D = 5/4; E = – 3/16.

Para isso, temos que:

(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 ) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x – 2) 3 + (5 / 4) / (x – 2) 2 – (3/16) / (x – 2).

Caso 3

Os fatores de q (x) são lineares quadráticos, sem nenhum fator quadrático repetido. Nesse caso, o fator quadrático (ax 2 + bx + c) corresponderá à fração parcial (Ax + B) / (ax 2 + bx + c), onde as constantes A e B são as que você deseja determinar.

O exemplo a seguir mostra como proceder neste caso.

Exemplo

Decomponha em frações simples a (x + 1) / (x 3-1 ).

Primeiro, passamos a fatorar o denominador, o que resulta em:

(x – 1) = (x – 1) (x + x +1).

Podemos observar que (x 2 + x + 1) é um polinômio quadrático irredutível; isto é, não tem raízes reais. Sua decomposição em frações parciais será a seguinte:

(x + 1) / (x – 1) (x 2 + x +1) = A / (x – 1) + (Bx + C) / (x 2 + x +1)

A partir disso, obtemos a seguinte equação:

x + 1 = (A + B) x 2 + (A – B + C) x + (A – C)

Usando igualdade de polinômios, obtemos o seguinte sistema:

A + B = 0;

A – B + C = 1;

A – C = 1;

A partir deste sistema, temos que A = 2/3, B = – 2/3 e C = 1/3. Substituindo, temos o seguinte:

(x + 1) / (x – 1) (x 2 + x +1) = 2/3 (x – 1) – (2x + 1) / 3 (x 2 + x +1).

Caso 4

Finalmente, o caso 4 é aquele em que os fatores de q (x) são lineares e quadráticos, onde alguns dos fatores lineares quadráticos são repetidos.

Nesse caso, se (ax 2 + bx + c) for um fator quadrático repetido «s» vezes, a fração parcial correspondente ao fator (ax 2 + bx + c) será:

(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1 ) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s ) / (ax 2 + bx + c) s

Onde A s , A s-1 , …, A e B s , B s-1 , …, B são as constantes a serem determinadas.

Exemplo

Queremos dividir a seguinte função racional em frações parciais:

(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 )

Como x 2 – 4x + 5 é um fator quadrático irredutível, temos que sua decomposição em frações parciais é dada por:

(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 ) = A / x + (Bx + C) / (x 2 – 4x +5) + (Dx + E) / (x 2 – 4x + 5) 2

Simplificando e desenvolvendo, temos:

x – 2 = A (x 2 – 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 – 4x + 5) x + (Dx + E) x

x – 2 = (A + B) x 4 + (- 8A – 4B + C) x 3 + (26A + 5B – 4C + D) x 2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Do exposto, temos o seguinte sistema de equações:

A + B = 0;

– 8A – 4B + C = 0;

26A + 5B – 4C + D = 0;

– 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Ao resolver o sistema, precisamos:

A = – 2/25, B = 2/25, C = – 8/25, D = 2/5 e E = – 3/5.

Ao substituir os valores obtidos, temos:

(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 ) = -2 / 25x + (2x – 8) / 25 (x 2 – 4x +5) + (2x – 3) / 5 (x 2 – 4x + 5) 2

Aplicações

Cálculo integral

As frações parciais são usadas principalmente para o estudo do cálculo integral. Abaixo, veremos alguns exemplos de como executar integrais usando frações parciais.

Exemplo 1

Queremos calcular a integral de:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 2

Podemos observar que o denominador q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) é composto de fatores lineares onde um deles é repetido; É por isso que estamos no caso 2.

Temos que:

1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Reescrevemos a equação e temos:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2

Se t = – 1, temos que:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Se t = – 2, isso nos dá:

1 = A (-1) + B (0) (-1) + C (0)

A = – 1

Então, se t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Substituindo os valores de A e C:

1 = – 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = – 2

Do exposto, temos que B = – 1.

Reescrevemos a integral como:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 3

Continuamos a resolvê-lo pelo método de substituição:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 4

Isso resulta em:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 5

Exemplo 2

Resolva a seguinte integral:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 6

Neste caso, pode factor aq (x) = x 2 – 4 e q (x) = (X – 2) (x + 2). Estamos claramente no caso 1. Portanto:

(5x – 2) / (x – 2) (x + 2) = A / (x – 2) + B / (x + 2)

Também pode ser expresso como:

Dê sua nota! Dê sua nota!

Se x = – 2, temos:

– 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

E se x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Assim, temos que resolver a integral fornecida é equivalente a resolver:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 7

Isso resulta em:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 8

Exemplo 3

Resolva a integral:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 9

Temos que q (x) = 9x 4 + x 2 , para que possamos fatorá-lo em q (x) = x 2 (9x 2 + 1).

Nesta ocasião, temos um fator linear repetido e um fator quadrático; isto é, estamos no caso 3.

Temos que:

1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)

1 = A (9x 2 + 1) + Bx (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2

Agrupando e usando a igualdade de polinômios, temos:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

A partir deste sistema de equações, temos que:

D = – 9 e C = 0

Desta forma, temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 10

Para resolver o exposto, temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 11

Lei de Ação em Massa

Uma aplicação interessante de frações parciais aplicada ao cálculo integral é encontrada na química, mais precisamente na lei da ação das massas.

Suponha que tenhamos duas substâncias, A e B, que se ligam e formam uma substância C, de modo que o derivado da quantidade de C em relação ao tempo seja proporcional ao produto das quantidades de A e B em um dado momento.

Podemos expressar a lei da ação em massa da seguinte maneira:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 12

Nesta expressão, α é a quantidade inicial de gramas correspondente a A e β a quantidade inicial de gramas correspondente a B.

Além disso, rys representam a quantidade de gramas de A e B, respectivamente, que se combinam para formar r + s gramas de C. Por outro lado, x representa o número de gramas de substância C no instante t de tempo e K é o proporcionalidade constante. A equação anterior pode ser reescrita como:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 13

Fazendo a seguinte alteração:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 14

Temos que a equação é transformada em:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 15

A partir desta expressão, podemos obter:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 16

Onde se ≠ b, frações parciais podem ser usadas para integração.

Exemplo

Tomemos, por exemplo, uma substância C que resulta da combinação de uma substância A com um B, de modo que a lei das massas seja cumprida onde os valores de aeb são 8 e 6, respectivamente. Dê uma equação que nos dê o valor de gramas de C em função do tempo.

Substituindo os valores na lei de massas, temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 17

Ao separar variáveis, temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 18

Aqui 1 / (8 – x) (6 – x) pode ser escrito como soma das frações parciais, da seguinte maneira:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 19

Assim, 1 = A (6 – x) + B (8 – x)

Se substituirmos x por 6, temos B = 1/2; e substituindo x por 8, temos A = – 1/2.

Integrando por frações parciais, temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 20

Isso resulta em:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 21

Equações diferenciais: equação logística

Outra aplicação que pode ser dada a frações parciais está na equação diferencial logística. Em modelos simples, temos que a taxa de crescimento populacional é proporcional ao seu tamanho; quer dizer:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 22

Este caso é um ideal e é considerado realista até que os recursos disponíveis em um sistema sejam insuficientes para apoiar a população.

Nessas situações, o mais razoável é pensar que existe uma capacidade máxima, que chamaremos de L, que o sistema pode sustentar e que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população multiplicado pelo tamanho disponível. Este argumento leva à seguinte equação diferencial:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 23

Essa expressão é chamada de equação diferencial logística. É uma equação diferencial separável que pode ser resolvida com o método de integração de frações parciais.

Exemplo

Um exemplo seria considerar uma população que cresce de acordo com a seguinte equação diferencial logística y ‘= 0,0004y (1000 – y), cujos dados iniciais são 400. Queremos saber o tamanho da população no momento t = 2, onde t é medido em anos

Se escrevermos para y ‘com a notação de Leibniz como uma função que depende de t, temos que:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 24

A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando o método de integração de frações parciais:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 25

Essa última igualdade pode ser reescrita da seguinte maneira:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 26

– Substituindo a = 0, temos que A é igual a 1/1000.

– Substituindo a = 1000, temos que B é igual a 1/1000.

Com esses valores, a integral é a seguinte:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 27

A solução é:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 28

Usando os dados iniciais:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 29

Ao limpar e temos:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 30

Então temos isso em t = 2:

Frações Parciais: Casos e Exemplos 31

Concluindo, após 2 anos, o tamanho da população é de aproximadamente 597,37.

Referências

  1. A, RA (2012). Matemática 1. Universidade dos Andes. Conselho de Publicações.
  2. Cortez, I. & Sanchez, C. (sf). 801 Integrais resolvidos. Universidade Experimental Nacional de Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
  4. Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo México: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (sf). Cálculo integral. Hipotenusa

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