O que são triângulos oblíquos? (com exercícios)

Os triângulos oblíquos são aqueles triângulos que não são retângulos. Ou seja, triângulos de modo que nenhum dos seus ângulos seja um ângulo reto (sua medida é 90º).

Não tendo ângulo reto, o Teorema de Pitágoras não pode ser aplicado a esses triângulos.

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Portanto, para conhecer os dados em um triângulo oblíquo, é necessário usar outras fórmulas.

As fórmulas necessárias para resolver um triângulo oblíquo são as chamadas leis dos senos e cossenos, que serão descritas mais adiante.

Além dessas leis, o fato de a soma dos ângulos internos de um triângulo ser igual a 180º sempre pode ser usado.

Triângulos oblíquos

Como afirmado no início, um triângulo oblíquo é um triângulo tal que nenhum dos seus ângulos mede 90º.

O problema de encontrar os comprimentos dos lados de um triângulo oblíquo, bem como encontrar as medidas de seus ângulos, é chamado de “resolução de triângulos oblíquos”.

Um fato importante ao trabalhar com triângulos é que a soma dos três ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Este é um resultado geral, portanto, para triângulos oblíquos, ele também pode ser aplicado.

Leis dos seios e cossenos

Dado um triângulo ABC com lados de comprimento “a”, “b” e “c”:

– A lei dos seios estabelece que a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), onde A, B e C são os ângulos opostos a “a”, “b” e “c Respectivamente.

– A lei dos cossenos estabelece que: c² = a² + b² – 2ab * cos (C). Equivalentemente, as seguintes fórmulas podem ser usadas:

b² = a² + c² – 2ac * cos (B) ou a² = b² + c² – 2bc * cos (A).

Usando essas fórmulas, você pode calcular os dados de um triângulo oblíquo.

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Exercícios

Abaixo estão alguns exercícios em que os dados ausentes dos triângulos fornecidos devem ser encontrados, com base em determinados dados fornecidos.

Primeiro Exercício

Dado um triângulo ABC tal que A = 45º, B = 60º e = 12cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Usando isso a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, você deve

C = 180º-45º-60º = 75º.

Os três ângulos já são conhecidos. Em seguida, a lei do seio é usada para calcular os dois lados ausentes.

As equações que surgem são 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Desde a primeira igualdade, você pode limpar “b” e obter essa

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Você também pode limpar “c” e obter esse

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392 cm.

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Segundo Exercício

Dado o triângulo ABC de modo que A = 60º, C = 75º eb = 10cm, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Como no ano anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. Além disso, usando a lei dos seios, é necessário que a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), a partir do qual se obtém que a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12,247 cm ec = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

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Terceiro Exercício

Dado o triângulo ABC, de modo que a = 10cm, b = 15cm e C = 80º, calcule os outros dados do triângulo.

Solução

Apenas um ângulo é conhecido neste exercício, portanto, não pode ser iniciado como nos dois exercícios anteriores. Além disso, a lei dos senos não pode ser aplicada porque nenhuma equação pode ser resolvida.

Portanto, passamos a aplicar a lei dos cossenos. Você tem então isso

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c² = 10² + 15² – 2 (10) (15) cos (80º) = 325 – 300 * 0,173 ± 272,905 cm,

de modo que c ≈ 16,51 cm. Agora, conhecendo os três lados, a lei dos seios é usada e você entende

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / sin (80º).

Portanto, limpar B resulta sem (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ± 0,894, o que implica que B = 63,38º.

Agora, pode-se obter que A = 180º – 80º – 63,38º ≈ 36,62º.

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Quarto Exercício

Os lados de um triângulo oblíquo são a = 5cm, b = 3cm ec = 7cm. Calcule os ângulos do triângulo.

Solução

Novamente, a lei dos seios não pode ser aplicada diretamente, pois nenhuma equação serviria para obter o valor dos ângulos.

Usando a lei do cosseno, você tem que c² = a² + b² – 2ab cos (C), do qual, ao limpar, você tem que cos (C) = (a² + b² – c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 e, portanto, C = 120º.

Agora, se você pode aplicar a lei dos senos e obter 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), onde você pode limpar B e obter pecado (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, de modo que B = 21,79º.

Finalmente, o último ângulo é calculado usando A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

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Referências

  1. Landaverde, F. d. (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustração ilustrada). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  4. Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.

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