Teorema de Green, prova, aplicações e exercícios

O verde de teorema é um método de cálculo utilizado para relacionar integrais de linha com integrais duplos ou área de superfície. As funções envolvidas devem ser indicadas como campos vetoriais e definidas no caminho C.

Por exemplo, uma expressão integral de linha pode ser muito complicada de resolver; no entanto, ao implementar o teorema de Green, as integrais duplas se tornam bastante básicas. É sempre importante respeitar a direção positiva da trajetória, isso se refere à direção no sentido anti-horário.

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O teorema de Green é um caso particular do teorema de Stokes, onde a projeção da função vetorial é realizada no plano xy.

Definição de

A expressão do teorema de Green é a seguinte:

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No primeiro termo, observa-se a integral de linha definida pelo caminho “C”, do produto escalar entre a função vetorial “F” e a do vetor “r”.

C: É o caminho definido no qual a função vetorial será projetada desde que definida para esse plano.

F: Função vetorial, onde cada um de seus componentes é definido por uma função como tal (f, g).

r: é um vetor tangente à região R na qual a integral está definida. Nesse caso, operamos com um diferencial desse vetor.

No segundo termo, vemos o teorema de Green desenvolvido, onde a integral dupla definida na região R da diferença das derivadas parciais de gyf é observada, com respeito a axy, respectivamente. Para um diferencial de área que não é mais do que o produto dos dois diferenciais bidimensionais (dx.dy).

Este teorema é perfeitamente aplicável para integrais de espaço e superfície.

Demonstração

Para provar o teorema de Green de uma maneira simples, esta tarefa será dividida em 2 partes. Primeiro, vamos assumir que a função vetorial F só possui definição na versão i. Enquanto a função “g” correspondente à versão j será igual a zero.

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Autor

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + y j

dr = dx i + dy j

Primeiro, desenvolvemos a integral de linha sobre a trajetória C, para a qual a trajetória foi setorizada em duas seções que vão primeiro de a para be depois de b para a.

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A definição do teorema fundamental do cálculo para uma integral definida é aplicada.

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A expressão é reorganizada em uma única integral, um fator é comum ao negativo e a ordem dos fatores é revertida.

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Observando essa expressão em detalhes, fica claro que, ao aplicar os critérios da função primitiva, um está na presença da integral da expressão derivada de f em relação a y. Avaliada nos parâmetros

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Agora basta assumir que a função vetorial F é definida apenas para g (x, y) j . Onde operar de maneira homóloga ao caso anterior, você obtém:

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Finalmente, as 2 demonstrações são tomadas e unidas no caso em que a função vetorial assume valores para os dois versos. Desta forma, é mostrada como a integral da linha após ser definida e considerada como uma trajetória unidimensional, podendo ser totalmente desenvolvida para o plano e o espaço.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

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Dessa maneira, o teorema de Green é demonstrado.

Aplicações

As aplicações do teorema de Green são amplas nos ramos da física e da matemática. Elas se estendem a qualquer aplicativo ou uso que possa ser dado à integração de linhas.

O trabalho mecânico realizado por uma força F através de uma trajetória C pode ser desenvolvido por uma integral de linha que é expressa como integral dupla de uma área por meio do teorema de Green.

Os momentos de inércia de muitos corpos sujeitos a forças externas em diferentes pontos de aplicação também respondem a integrais de linhas desenvolvíveis com o teorema de Green.

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Isso tem múltiplas funcionalidades nos estudos de resistência de materiais em uso. Onde valores externos podem ser quantificados e levados em consideração antes da elaboração de vários elementos.

Em geral, o teorema de Green facilita o entendimento e a definição de áreas onde as funções vetoriais são definidas em relação a uma região de acordo com uma trajetória.

História

Foi publicado em 1828 no trabalho Análise matemática das teorias de eletricidade e magnetismo , escrito pelo matemático britânico George Green. Explora seções bastante decisivas na aplicação do cálculo na física, como o conceito de funções potenciais, as funções de Green e as aplicações de seu teorema auto-intitulado.

George Green formalizou sua carreira de estudante aos 40 anos, sendo até agora um matemático totalmente autodidata. Depois de estudar na Universidade de Cambridge, ele continuou sua pesquisa, fazendo contribuições no campo da acústica, óptica e hidrodinâmica que ainda são válidas hoje.

Relação com outros teoremas

O teorema de Green é um caso especial e surge de dois outros teoremas muito importantes no ramo do cálculo. Estes são o teorema de Kelvin-Stokes e a divergência ou o teorema de Gauss Ostrogradski.

A partir de um dos dois teoremas, o teorema de Green pode ser alcançado. Certas definições e proposições são necessárias para desenvolver tais demonstrações.

Exercícios

– O exercício a seguir mostra como transformar uma integral de linha em integral dupla em relação a uma região R.

A expressão original é a seguinte:

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Onde as funções afyg correspondentes são tomadas

f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

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Não existe uma maneira única de definir os limites da integração ao aplicar o teorema de Green. Mas há maneiras em que integrais após serem definidas podem ser mais simples. Para que a otimização dos limites de integração mereça atenção.

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Onde resolver as integrais que obtemos:

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Este valor corresponde em unidades cúbicas à região abaixo da função vetorial e acima da região triangular definida por C.

No caso da integral de linha sem executar o método Green, seria necessário parametrizar as funções em cada seção da região. Ou seja, execute 3 integrais parametrizadas para resolução. Isso é evidência suficiente da eficácia que Robert Green contribuiu com seu teorema para o cálculo.

Referências

  1. Introdução à Mecânica do Contínuo. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 de julho 2009
  2. Cálculo multivariável. James Stewart Cengage Learning, 22 de mar 2011
  3. Uma história informal do teorema de Green e idéias associadas. James Joseph Cross Departamento de Matemática, Universidade de Melbourne, 1975
  4. Condução de Calor Usando Funções Verdes. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 de jul 2010
  5. Aplicação do Teorema de Green à Extremização de Integrais Lineares. Centro de Informações Técnicas de Defesa, 1961

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