Programação linear: para que serve, modelos, restrições, aplicações

A programação linear é uma técnica matemática utilizada para otimizar a alocação de recursos limitados de forma a maximizar ou minimizar uma função objetivo. É amplamente aplicada em diversos campos, como logística, engenharia, economia, entre outros, para resolver problemas de tomada de decisão.

Os modelos de programação linear consistem em definir variáveis de decisão, uma função objetivo a ser otimizada e um conjunto de restrições que representam as limitações dos recursos disponíveis. A solução obtida através da programação linear fornece a melhor alocação dos recursos de forma a atender as restrições impostas.

Dentre as aplicações da programação linear, destacam-se o planejamento da produção, a gestão de estoques, o planejamento de rotas, a programação de horários, a alocação de recursos, entre outros.

Benefícios e aplicações do modelo de programação linear na otimização de processos empresariais.

A programação linear é uma técnica matemática utilizada para otimizar processos empresariais, buscando a melhor alocação de recursos disponíveis para atingir determinados objetivos. Este modelo matemático é amplamente aplicado em diversas áreas, tais como logística, produção, finanças, marketing, entre outras.

Um dos principais benefícios da programação linear é a capacidade de encontrar a solução ótima para um problema, levando em consideração diversas variáveis e restrições. Isso permite que as empresas tomem decisões mais assertivas, reduzindo custos, aumentando a eficiência e maximizando os lucros.

Para utilizar a programação linear, é necessário definir um modelo matemático que represente o problema em questão, identificando as variáveis de decisão, a função objetivo a ser maximizada ou minimizada e as restrições que devem ser respeitadas. Com base nesse modelo, é possível utilizar algoritmos computacionais para encontrar a solução ótima de forma eficiente.

Dentre as aplicações da programação linear nas empresas, destacam-se a otimização de cadeias de suprimentos, o planejamento da produção, a gestão de estoques, a programação de horários e rotas, a alocação de recursos financeiros, entre outros. Essas aplicações permitem que as empresas melhorem seus processos, aumentem sua competitividade no mercado e alcancem seus objetivos estratégicos.

Portanto, sua aplicação é fundamental para as organizações que buscam se manter competitivas e eficientes em um mercado cada vez mais dinâmico e desafiador.

Importância das restrições em problemas de programação linear: definição e papel fundamental.

A Programação Linear é uma técnica matemática utilizada para otimizar a alocação de recursos limitados, de forma a maximizar ou minimizar uma função objetivo. Para que um problema de programação linear possa ser resolvido de forma eficiente, é fundamental a definição de restrições que representem as limitações impostas ao sistema.

As restrições em um problema de programação linear são as condições que os valores das variáveis de decisão devem satisfazer. Elas representam as limitações físicas, financeiras, de tempo, entre outras, que devem ser consideradas na formulação do problema. Sem as restrições adequadas, a solução do problema pode não ser factível ou não representar a realidade da situação em questão.

O papel fundamental das restrições em problemas de programação linear é garantir que a solução encontrada seja viável e atenda às necessidades do problema. Elas ajudam a restringir o espaço de busca, direcionando o processo de otimização para soluções que estejam de acordo com as limitações impostas.

Aplicações da programação linear em diferentes áreas e setores da indústria e negócios.

A programação linear é uma técnica matemática amplamente utilizada em diversas áreas da indústria e negócios para otimizar recursos e tomar decisões mais eficientes. Dentre as principais aplicações da programação linear, destacam-se a logística, o planejamento de produção, a distribuição de recursos e a gestão de operações.

Na indústria de manufatura, a programação linear é utilizada para otimizar o planejamento de produção, minimizando custos e maximizando a eficiência dos processos. Por exemplo, uma empresa pode utilizar a programação linear para determinar a melhor combinação de matérias-primas e mão de obra a ser utilizada na fabricação de seus produtos, levando em consideração restrições de capacidade e demanda.

Na área de logística, a programação linear é empregada para otimizar rotas de transporte, minimizando custos de transporte e tempo de entrega. Empresas de transporte e distribuição utilizam modelos de programação linear para determinar a melhor alocação de veículos e rotas para atender a demanda dos clientes de forma eficiente.

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Em setores como o varejo, a programação linear é utilizada para otimizar a gestão de estoques e a precificação de produtos. Varejistas podem usar modelos de programação linear para determinar a quantidade ideal de produtos a serem estocados em cada loja, levando em consideração demanda sazonal, espaço disponível e prazos de entrega.

Entendendo variáveis, função objetivo e restrições: elementos essenciais na otimização de problemas.

A programação linear é uma técnica matemática utilizada para resolver problemas de otimização, onde se busca encontrar a melhor solução possível para um determinado problema, levando em consideração as restrições e objetivos estabelecidos. Para isso, são utilizados três elementos essenciais: variáveis, função objetivo e restrições.

As variáveis são os elementos que representam quantidades desconhecidas que precisam ser determinadas para otimizar a solução do problema. Elas podem representar valores como quantidades de produtos a serem produzidos, horas de trabalho a serem alocadas, entre outros.

A função objetivo é a expressão matemática que representa o objetivo a ser otimizado, ou seja, a grandeza que se deseja maximizar ou minimizar. Por exemplo, maximizar o lucro de uma empresa, minimizar os custos de produção, entre outros.

As restrições são as condições que limitam as possíveis soluções do problema. Elas representam as limitações físicas, financeiras, de recursos, entre outras, que precisam ser respeitadas na busca pela solução ótima.

A programação linear é amplamente utilizada em diversas áreas, como logística, produção, finanças, marketing, entre outras. Ela permite encontrar soluções eficientes para problemas complexos, auxiliando na tomada de decisões estratégicas e no aumento da eficiência operacional das organizações.

Programação linear: para que serve, modelos, restrições, aplicações

Programação linear: para que serve, modelos, restrições, aplicações

A programação linear é um método matemático usado para otimizar (maximizar ou minimizar conforme apropriado) uma função cujas variáveis ​​são restritas, desde que a função e as restrições sejam variáveis ​​linearmente dependentes.

Geralmente, a função a ser otimizada modela uma situação prática, como o lucro de um fabricante cujos insumos, mão de obra ou maquinaria são limitados.

Um dos casos mais simples é o de uma função linear a ser maximizada, que depende apenas de duas variáveis, chamadas variáveis ​​de decisão . Pode ser da forma:

Z = k 1 x + k 2 y

Com k 1 e k 2 constantes. Essa função é conhecida como a função objetivo . Evidentemente, existem situações que merecem mais de duas variáveis ​​para estudo, sendo mais complexas:

Z = k 1 x 1 + k 2 x 2 + k 3 x 3 +….

E as restrições também são modeladas matematicamente usando um sistema de equações ou desigualdades, igualmente lineares em x e y .

O conjunto de soluções nesse sistema é chamado de soluções viáveis ou pontos possíveis . E entre os pontos possíveis, há pelo menos um que otimiza a função objetivo.

A programação linear foi desenvolvida independentemente pelo físico e matemático americano George Dantzig (1914-2005) e pelo matemático e economista russo Leonid Kantorovich (1912-1986) logo após a Segunda Guerra Mundial.

O método de solução de problemas conhecido como método simplex é a criação de Dantzig, que trabalhou para a Força Aérea Americana, a Universidade de Berkeley e a Universidade de Stanford.

Modelos de programação linear

Os elementos necessários para estabelecer um modelo de programação linear, apropriado para uma situação prática, são:

-Função objetiva

Variáveis ​​de decisão

-Restrições

A função objetivo define o que você deseja alcançar. Por exemplo, suponha que você queira maximizar os lucros da fabricação de certos produtos. Em seguida, a função “lucro” é estabelecida, de acordo com o preço pelo qual os produtos são vendidos.

Em termos matemáticos, essa função pode ser expressa em abreviação usando a notação de soma:

Z = ∑k i x i

Nesta equação, k i são coeficientes e x i são as variáveis ​​de decisão.

Variáveis ​​de decisão são os elementos do sistema cujo controle você tem e seus valores são números reais positivos. No exemplo proposto, as variáveis ​​de decisão são a quantidade de cada produto a ser fabricado para obter o lucro máximo.

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Finalmente, temos as restrições, que são equações lineares ou desigualdades em termos das variáveis ​​de decisão. Eles descrevem as limitações do problema, que são conhecidas e podem ser, por exemplo, as quantidades de matéria- prima disponíveis na fabricação.

Tipos de restrições

Pode ter um número M de limitações, a partir de j = 1 para j = M . Matematicamente, as restrições são de três tipos:

  1. A j = ∑ a ij . x i
  2. B j ≥ ∑ b ij . x i
  3. C ji c ij . x i

A primeira restrição é do tipo de equação linear e significa que o valor A j , que é conhecido, deve ser respeitado.

As duas restrições restantes são desigualdades lineares e significa que os valores conhecidos B j e C j podem ser respeitados ou excedidos, quando o símbolo que aparece é ≥ (maior que ou igual a) ou respeitado ou não excedido, se o símbolo for ≤ (menos que ou igual a).

Exemplo de modelo

Os campos de aplicação são muito diversos, variando de administração de empresas a nutrição, mas, para entender o método, é proposto abaixo um modelo simples de uma situação prática com duas variáveis.

Uma pastelaria local é conhecida por duas especialidades: o bolo da floresta negra e o bolo sacripantino.

Na elaboração, eles precisam de ovos e açúcar. Para a floresta negra são necessários 9 ovos e 500 g de açúcar, enquanto para o sacripantino são necessários 8 ovos e 800 g de açúcar. Os respectivos preços de venda são US $ 8 e US $ 10.

O problema é: quantos bolos de cada tipo a massa deve produzir para maximizar seu lucro, sabendo que possui 10 quilos de açúcar e 144 ovos?

Variáveis ​​de decisão

As variáveis ​​de decisão são “x” e “y”, que recebem valores reais:

-x: a quantidade de bolos do tipo floresta negra

-y: bolos do tipo sacripantina.

Restrições

As restrições são dadas pelo fato de que o número de bolos é uma quantidade positiva e há quantidades limitadas de matéria-prima para prepará-los.

Portanto, matematicamente, essas restrições assumem a forma:

  1. x ≥ 0
  2. e ≥0
  3. 9x + 8y ≤ 144
  4. 0,5 x + 0,8y ≤ 10

As restrições 1 e 2 constituem a condição de não negatividade descrita acima, e todas as desigualdades levantadas são lineares. Nas restrições 3 e 4 estão os valores que não devem ser excedidos: 144 ovos e 10 kg de açúcar.

Função objetiva

Finalmente, a função objetivo é o lucro obtido pela fabricação de “x” número de bolos da floresta negra mais “y” número de sacripantinos. É construído multiplicando o preço pelo número de bolos feitos e adicionando para cada tipo. É uma função linear que chamaremos de G (x, y):

G = 8x + 10y

Métodos de solução

Entre as várias metodologias de solução estão os métodos gráficos, o algoritmo simplex e o método do ponto interior, para citar alguns.

– método gráfico ou geométrico

Quando você tem um problema de duas variáveis ​​como o da seção anterior, as restrições determinam uma região poligonal no plano xy , chamada região viável ou região de viabilidade .

Essa região é construída usando as linhas de restrição , que são as linhas obtidas das desigualdades das restrições, trabalhando apenas com o sinal de igual.

No caso da padaria que deseja otimizar lucros, as linhas de restrição são:

  1. x = 0
  2. y = 0
  3. 9x + 8y = 144
  4. 0,5 x + 0,8y = 10

Todos os pontos da região delimitados por essas linhas são possíveis soluções, portanto existem infinitos deles. Exceto no caso de a região viável estar vazia, caso em que o problema apresentado não tem solução.

Felizmente, para o problema da pastelaria a região viável não está vazia, temos abaixo.

A solução ideal, se existir, é encontrada com a ajuda da função objetivo. Por exemplo, ao tentar encontrar o lucro máximo G, temos a seguinte linha, chamada linha iso-profit :

G = k 1 x + k 2 y → y = -k 1 x / k 2 + G / k 2

Com esta linha, obtemos todos os pares (x, y) que fornecem um determinado ganho G, de modo que há uma família de linhas de acordo com o valor de G, mas todas com a mesma inclinação -k 1 / k 2 , de modo que elas são linhas paralelas.

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A solução ideal

Agora, pode ser demonstrado que a solução ideal de um problema linear é sempre um ponto final ou vértice da região viável. Assim:

A linha de solução é a mais distante da origem e tem pelo menos um ponto em comum com a região viável.

Se a linha mais próxima da origem tem um segmento inteiro em comum com a região viável, diz-se que existem infinitas soluções. Este caso ocorre se a inclinação da linha iso-benefícios for igual à de qualquer uma das outras linhas que limitam a região.

Para nossa pastelaria, os vértices candidatos são A, B e C.

– método simplex de Dantzig

O método gráfico ou geométrico é aplicável a duas variáveis. No entanto, é mais complicado quando existem três variáveis ​​e impossível de usar para um número maior de variáveis.

Ao lidar com problemas de mais de duas variáveis, é utilizado o método simplex , que consiste em uma série de algoritmos para otimizar as funções objetivas. Matrizes e aritmética simples são frequentemente usadas para realizar os cálculos.

O método simplex começa escolhendo uma solução viável e verificando se é ideal. Se for, já resolvemos o problema, mas se não for, continuamos em direção a uma solução mais próxima da otimização. Se a solução existe, o algoritmo encontra-o em algumas tentativas.

Formulários

A programação linear e não linear é aplicada em muitos campos para tomar as melhores decisões em termos de redução de custos e aumento de lucros, que nem sempre são monetários, pois podem ser medidos no tempo, por exemplo, se você quiser minimizar o tempo necessário para realizar uma série de operações.

Aqui estão alguns campos:

– No marketing, é usado para encontrar a melhor combinação de mídia (redes sociais, televisão, imprensa e outras) para anunciar um determinado produto.

-Para a atribuição de tarefas adequadas ao pessoal de uma empresa ou fábrica ou de horários a eles.

– Na seleção dos alimentos mais nutritivos e com o menor custo nas indústrias pecuária e avícola.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Resolva graficamente o modelo de programação linear proposto nas seções anteriores.

Solução

É necessário representar graficamente o conjunto de valores determinado pelo sistema de restrição especificado no problema:

  1. x ≥ 0
  2. e ≥0
  3. 9x + 8y ≤ 144
  4. 0,5 x + 0,8y ≤ 10

A região dada pelas desigualdades 1 e 2 corresponde ao primeiro quadrante do plano cartesiano. Quanto às desigualdades 3 e 4, começamos por encontrar as linhas de restrição:

9x + 8y = 144

Qual é o valor de x?

A região viável é um quadrilátero cujos vértices são os pontos A, B, C e D.

O ganho mínimo é 0, portanto, a linha 8x + 10y = 0 é o limite inferior e as linhas iso-profit têm uma inclinação -8/10 = – 0,8.

Esse valor é diferente das inclinações das outras linhas de restrição e, como a região viável é limitada, existe a única solução.

Essa solução corresponde a uma linha da inclinação -0,8 que passa por um dos pontos A, B ou C, cujas coordenadas são:

A (11; 5.625)

B (0; 12,5)

C (16, 0)

Solução ideal

Calculamos o valor de G para cada um destes pontos:

– (11; 5.625): G A = 8 x 11 + 10 x 5.625 = 144,25

– (0; 12,5): G B = 8 x 0 + 10 x 12,5 = 125

– (16, 0): G C = 8 x 16 + 10 x 0 = 128

O maior ganho é encontrado na fabricação de 11 bolos da floresta negra e 5.625 bolos sacripantinos. Esta solução está de acordo com a encontrada no software.

– Exercício 2

Verifique o resultado do exercício anterior usando a função Solver disponível na maioria das planilhas, como Excel ou Calc de LibreOffice, que incorporam o algoritmo Simplex para otimização em programação linear.

Solução

Referências

  1. Brilhante. Programação linear. Recuperado de: shiny.org.
  2. Eppen, G. 2000. Pesquisa Operacional em Ciências Administrativas. 5 ª. Edição. Prentice Hall.
  3. Haeussler, E. 1992. Matemática para Administração e Economia. 2nd. Edição. Grupo de Publicações Ibero-americanas.
  4. Hiru.eus. Programação linear. Recuperado de: hiru.eus.
  5. Wikipedia. Programação linear. Recuperado de: es. wikipedia.org.

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