Método de Euler: para que serve, procedimento e exercícios

O método de Euler é os procedimentos mais básicos e simples utilizados para encontrar soluções numéricos aproximados para uma equação diferencial comum de a de primeira ordem, desde que a condição inicial é conhecido.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é a equação que relaciona uma função desconhecida de uma única variável independente com suas derivadas.

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Aproximações sucessivas pelo método de Euler. Fonte: Oleg Alexandrov [Domínio público]

Se a derivada principal que aparece na equação é de grau um, é uma equação diferencial comum de primeiro grau.

A maneira mais geral de escrever uma equação de primeiro grau é:

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x = x

y = y

Qual é o método de Euler?

A idéia do método de Euler é encontrar uma solução numérica para a equação diferencial no intervalo entre X e X f .

Primeiro, o intervalo é discretizado em n + 1 pontos:

x , x 1 , x 2 , x 3 …, x n

Que são obtidos assim:
x i = x + ih

Onde h é a largura ou o tom dos subintervalos:

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Com a condição inicial, também é possível conhecer a derivada no início:

y ‘(x o ) = f (x o , y o )

Essa derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função y (x) exatamente no ponto:

Ao = (x o , y o )

Em seguida, uma previsão aproximada do valor da função y (x) é feita no seguinte ponto:

y (x 1 ) ≈ y 1

y 1 = y o + (x 1 – x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )

O próximo ponto aproximado da solução que corresponderia a:

A 1 = (x 1 , y 1 )

O procedimento é repetido para obter os pontos sucessivos

A 2 , A 3 …, x n

Na figura mostrada no início, a curva azul representa a solução exata da equação diferencial e o vermelho representa os pontos aproximados sucessivos obtidos pelo procedimento de Euler.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

I ) Seja a equação diferencial:

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Com a condição inicial x = a = 0; e a = 1

Usando o método de Euler, obtenha uma solução aproximada de y na coordenada X = b = 0,5, subdividindo o intervalo [a, b] em n = 5 partes.

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Solução

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Os resultados numéricos estão resumidos da seguinte forma:

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A partir do qual se conclui que a solução Y para o valor 0,5 é 1,4851.

Nota: O Smath Studio , um programa gratuito para uso gratuito , foi usado para executar os cálculos .

Exercício 2

II ) Continuando com a equação diferencial do exercício I), encontre a solução exata e compare-a com o resultado obtido pelo método de Euler. Encontre o erro ou a diferença entre o resultado exato e o aproximado.

Solução

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A solução exata não é muito difícil de encontrar. Sabe-se que a derivada da função sin (x) é a função cos (x). Portanto, a solução y (x) será:

y (x) = sin x + C

Para que a condição inicial seja atendida e (0) = 1, a constante C deve valer 1. O resultado exato é comparado com o aproximado:

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Conclui-se que no intervalo calculado, a aproximação possui três valores significativos de precisão.

Exercício 3

III ) Considere a equação diferencial e suas condições iniciais dadas abaixo:

y ‘(x) = – y 2

Com a condição inicial x = 0; e = 1

Use o método de Euler para encontrar valores aproximados da solução y (x) no intervalo x = [0, 1,5] . Use a etapa h = 0,1.

Solução

O método de Euler é muito adequado para uso em uma planilha. Nesse caso, usaremos a planilha geogebra, um programa gratuito e de uso gratuito.

A planilha na figura mostra três colunas (A, B, C), a primeira é a variável x , a segunda coluna representa a variável y e a terceira coluna a derivada y ‘ .

A linha 2 contém os valores iniciais de X , Y , Y ‘ .

A etapa de valor 0.1 foi colocada na célula de posição absoluta ($ D $ 4).

O valor inicial de y0 está na célula B2 e y1 na célula B3. Para calcular e 1, a fórmula é usada:

y 1 = y o + (x 1 – x o ) f (x o , y o ) = y o + hf (x o , y o )

Essa fórmula da planilha seria o Número B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

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Da mesma forma, y2 estaria na célula B4 e sua fórmula é mostrada na figura a seguir:

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A figura também mostra o gráfico da solução exata e os pontos A, B, …, P da solução aproximada usando o método de Euler.

Dinâmica newtoniana e método de Euler

A dinâmica clássica foi desenvolvida por Isaac Newton (1643-1727). A motivação original de Leonard Euler (1707-1783) para desenvolver seu método era precisamente resolver a equação da segunda lei de Newton em várias situações físicas.

A segunda lei de Newton é geralmente expressa como uma equação diferencial de segundo grau:

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Onde x representa a posição de um objeto no tempo t . O referido objecto tem uma massa m e é submetido a uma força F . A função f está relacionada à força e massa da seguinte maneira:

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Para aplicar o método de Euler, são necessários os valores iniciais do tempo t , velocidade ve posição x .

A tabela a seguir explica como a partir dos valores iniciais t1, v1, x1 é possível obter uma aproximação da velocidade v2 e da posição x2, no momento t2 = t1 + Δt, em que Δt representa um pequeno aumento e corresponde à etapa no método de Euler

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Exercício 4

IV ) Um dos problemas fundamentais da mecânica é o de um bloco de massa M preso a uma mola (ou mola) da constante elástica K.

A segunda lei de Newton para esse problema seria assim:

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Neste exemplo, para simplificar, usaremos M = 1 e K = 1. Encontre soluções aproximadas para a posição xe velocidade v pelo método de Euler no intervalo de tempo [0, π / 2] subdividindo o intervalo em 12 partes.

Tome 0 como momento inicial, velocidade inicial 0 e posição inicial 1.

Solução

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Os resultados numéricos são mostrados na tabela a seguir:

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Os gráficos de posição e velocidade entre os momentos 0 e 1,44 também são mostrados.

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Exercícios propostos para casa

Exercício 1

Use uma planilha para determinar uma solução aproximada usando o método de Euler para a equação diferencial:

y ‘= – Exp (-y) com as condições iniciais x = 0, y = -1 no intervalo x = [0, 1]

Comece com uma etapa de 0,1. Faça um gráfico do resultado.

Exercício 2

Usando uma planilha, encontre soluções numéricas para a seguinte equação de segundo grau, onde y é uma função da variável independente t.

y ” = – 1 / y² com a condição inicial t = 0; e (0) = 0,5; y ‘(0) = 0

Encontre a solução no intervalo [0,5; 1.0] usando uma etapa de 0,05.

Faça um gráfico do resultado: y vs t; e ‘vs t

Referências

  1. Método Eurler, retirado de wikipedia.org
  2. Euler Solver Retirado de en.smath.com

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