Triângulo Equilateral: características, propriedades, fórmulas, área

Um triângulo equilátero é um polígono de três lados, onde todos são iguais; isto é, eles têm a mesma medida. Para essa característica, recebeu o nome de equilátero (lados iguais).

Triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque três lados, três ângulos e três vértices são formados. No caso do triângulo equilátero, por ter lados iguais, isso implica que seus três ângulos também serão.

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Características dos triângulos equilaterais

Lados iguais

Os triângulos equilaterais são figuras planas e fechadas, compostas por três segmentos retos. Os triângulos são classificados por suas características, em relação aos lados e ângulos; O equilátero foi classificado usando a medida de seus lados como parâmetro, pois estes são exatamente os mesmos, ou seja, são congruentes.

O triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles porque dois de seus lados são congruentes. É por isso que todos os triângulos equilaterais também são isósceles, mas nem todos os triângulos isósceles serão equilaterais.

Dessa maneira, os triângulos equilaterais têm as mesmas propriedades de um triângulo isósceles.

Triângulos equilaterais também podem ser classificados pela amplitude de seus ângulos internos como um triângulo equilátero, que tem três lados e três ângulos internos com a mesma medida. Os ângulos serão agudos, ou seja, serão inferiores a 90 o .

Componentes

Os triângulos em geral têm várias linhas e pontos que o compõem. Eles são usados ​​para calcular a área, lados, ângulos, mediana, bissetor, mediatriz e altura.

  • A mediana : é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. Os três meios concordam em um ponto chamado baricentro ou centróide.
  • A bissetriz : é uma semi-reta que divide o ângulo dos vértices em dois ângulos de igual medida, por isso é conhecido como eixo de simetria. O triângulo equilátero tem três eixos de simetria.

No triângulo equilátero, a bissetor é desenhada do vértice de um ângulo para o lado oposto, cortando-o no ponto médio. Estes concordam em ponto chamado incenter.

  • A mediatriz : é um segmento perpendicular ao lado do triângulo que se origina no meio dele. Existem três mediatices em um triângulo e eles coincidem em um ponto chamado circuncentro.
  • A altura : é a linha que vai do vértice para o lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

A principal propriedade dos triângulos equiláteros é que eles sempre serão triângulos isósceles, uma vez que os isósceles são formados por dois lados congruentes e os equilaterais por três.

Dessa forma, triângulos equilaterais herdaram todas as propriedades do triângulo isósceles:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 o e, como todos os seus ângulos são congruentes, cada um deles medirá 60 o .

Ângulos externos

A soma dos ângulos externos será sempre igual a 360 o , portanto, cada ângulo externo medirá 120 o . Isso ocorre porque os ângulos interno e externo são complementares, ou seja, adicioná-los sempre será igual a 180 o .

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Soma dos lados

A soma das medidas de dois lados deve sempre ser maior que a medida do terceiro lado, ou seja, a + b> c, onde a, bec são as medidas de cada lado.

Lados congruentes

Triângulos equilaterais têm seus três lados com a mesma medida ou comprimento; isto é, eles são congruentes. Portanto, no item anterior, você deve a = b = c.

Ângulos congruentes

Triângulos equilaterais também são conhecidos como triângulos equiangulares, porque seus três ângulos internos são congruentes entre si. Isso ocorre porque todos os seus lados também têm a mesma medida.

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A bissetriz, a mediana e a mediatriz são coincidentes

A bissetriz divide o lado de um triângulo em duas partes. Nos triângulos equilaterais, esse lado será dividido em duas partes exatamente iguais, ou seja, o triângulo será dividido em dois triângulos retos congruentes.

Assim, a bissetriz desenhada a partir de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a mediana e a mediatriz no lado oposto a esse ângulo.

Exemplo:

A figura a seguir mostra o triângulo ABC com um ponto médio D que divide um de seus lados em dois segmentos AD e BD.

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Ao desenhar uma linha do ponto D ao vértice oposto, por definição é obtida a CD mediana, que é relativa ao vértice C e ao lado AB.

Como o segmento CD divide o triângulo ABC em dois triângulos iguais CDB e CDA, significa que haverá um caso de congruência: lado, ângulo, lado e, portanto, CD também será o bissetor do BCD.

Ao plotar o segmento CD, o ângulo do vértice é dividido em dois ângulos iguais de 30 o , o ângulo do vértice A continua a medir 60 o e a linha CD forma um ângulo de 90 o em relação ao ponto médio D.

O segmento CD forma ângulos que têm a mesma medida para os triângulos ADC e BDC, ou seja, são complementares para que a medida de cada um seja:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180 ou

2 * Med. (ADC) = 180 ou

Med. (ADC) = 180 ou ÷ 2

Med. (ADC) = 90 o .

E assim, temos que o segmento de CD também é a mediatriz do lado AB.

A bissetriz e a altura são coincidentes

Ao traçar a bissetor do ápice de um ângulo até o ponto médio do lado oposto, ele divide o triângulo equilátero em dois triângulos congruentes.

Para que um ângulo de 90 o (à direita) seja formado. Isso indica que esse segmento de linha é completamente perpendicular a esse lado e, por definição, essa linha seria a altura.

Dessa forma, a bissetriz de qualquer ângulo de um triângulo equilátero coincide com a altura relativa ao lado oposto desse ângulo.

Ortocentro, baricentro, incentor e circuncentro correspondentes

Como a altura, a mediana, a bissetriz e a mediatriz são representadas ao mesmo tempo pelo mesmo segmento, em um triângulo equilátero os pontos de encontro desses segmentos – ortopedia, baricentro, incentor e circunferente – se encontrarão no mesmo ponto:

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Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados. Como neste caso o triângulo equilátero tem todos os lados com a mesma medida, seu perímetro é calculado com a seguinte fórmula:

P = 3 * lado.

Como calcular a altura?

Como a altura é a linha perpendicular à base, ela a divide em duas partes iguais à medida que se estende ao vértice oposto. Assim, dois triângulos retos iguais são formados.

A altura (h) representa a perna oposta (a), metade do lado AC para o lado adjacente (b) e o lado BC representa a hipotenusa (c).

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Usando o teorema de Pitágoras , o valor da altura pode ser determinado:

a 2 + b 2 = c 2

Onde:

em 2 = altura (h).

b 2 = lado b / 2.

c 2 = lado a.

Substituindo esses valores no teorema de Pitágoras e limpando a altura que você tem:

h 2 + ( l / 2) 2 = l 2

h 2 + l 2 / 4 = l dois

h 2 = L 2l 2 / 4

h 2 = (4 * l 2l 2 ) / 4

h 2 = 3 * G 2 / 4

h 2 = √ (3 * l 2 / 4)

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Se o ângulo formado pelos lados congruentes é conhecido, a altura (representada por uma perna) pode ser calculada aplicando as relações trigonométricas.

As pernas são chamadas opostas ou adjacentes, dependendo do ângulo tomado como referência.

Por exemplo, na figura anterior, a perna h será oposta ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo B:

Assim, a altura pode ser calculada com:

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Como calcular os lados?

Há casos em que as medidas dos lados do triângulo não são conhecidas, mas sua altura e os ângulos que se formam nos vértices.

Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as relações trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

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Assim, a perna AB será oposta ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo do lado ou perna correspondente à altura, o outro lado é limpo para obter o valor disso, sabendo que em um triângulo equilátero os três os lados sempre terão a mesma medida.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por duas:

Área = (b * h) ÷ 2

Sabendo que a altura é dada pela fórmula:

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Exercícios

Primeiro exercício

Os lados de um triângulo equilátero ABC medem 20 cm cada. Calcule a altura e a área desse polígono.

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Solução

Para determinar a área desse triângulo equilátero, é necessário calcular a altura, sabendo que ao plotá-lo, ele divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais.

Dessa forma, o teorema de Pitágoras pode ser usado para encontrá-lo:

a 2 + b 2 = c 2

Onde:

a = 20/2 = 10 cm.

b = altura.

c = 20 cm

Os dados no teorema são substituídos:

10 2 + b 2 = 20 2

100 cm + b 2 = 400 cm

b 2 = (400 – 100) cm

b 2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Ou seja, a altura do triângulo é igual a 17,32cm. Agora é possível calcular a área do triângulo especificado substituindo na fórmula:

Área = (b * h) ÷ 2

Área = (20 cm * 17,32 cm) ÷ 2

Área = 346,40 cm 2 ÷ 2

Área = 173,20 centímetros 2 .

Outra maneira mais simples de resolver o exercício é substituir os dados na fórmula direta da área, onde o valor da altura também é implicitamente encontrado:

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2º exercício

As flores serão plantadas em um terreno com a forma de um triângulo equilátero. Se o perímetro desse terreno for igual a 450 m, calcule o número de metros quadrados ocupados pelas flores.

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Solução

Sabendo que o perímetro de um triângulo corresponde à soma de seus três lados e, como o terreno tem a forma de um triângulo equilátero, os três lados terão a mesma medida ou comprimento:

P = lado + lado + lado = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Agora é necessário apenas calcular a altura desse triângulo.

A altura divide o triângulo em dois triângulos retos congruentes, onde uma das pernas representa a altura e a outra metade da base. Pelo teorema de Pitágoras, a altura pode ser determinada:

a 2 + b 2 = c 2

Onde:

a = 150 m 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = altura

Os dados no teorema são substituídos:

(75 m) 2 + b 2 = (150 m) 2

5.625 m + b 2 = 22.500 m

b 2 = 22.500 m – 5.625 m

b 2 = 16.875 m

b = √16.875 m

b = 129,90 m.

Assim, a área que as flores ocuparão será:

Área = b * h ÷ 2

Área = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Área = (19.485 m 2 ) ÷ 2

Área = 9.742,5 m 2

Terceiro exercício

O triângulo equilátero ABC é dividido por um segmento de linha que vai do seu vértice C ao ponto médio D, localizado no lado oposto (AB). Este segmento mede 62 metros. Calcule a área e o perímetro desse triângulo equilátero.

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Solução

Sabendo que o triângulo equilátero é dividido por um segmento de linha que corresponde à altura, formando assim dois triângulos retos congruentes, isso por sua vez também divide o ângulo do vértice C em dois ângulos com a mesma medida, 30 ou cada.

A altura forma um ângulo de 90 o em relação ao segmento AB, e o ângulo do vértice A mede 60 o .

Então, usando o ângulo de 30 o como referência , a altura CD é estabelecida como uma perna adjacente ao ângulo e BC como uma hipotenusa.

A partir desses dados, o valor de um dos lados do triângulo pode ser determinado usando as relações trigonométricas:

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Como no triângulo equilátero todos os lados têm exatamente a mesma medida ou comprimento, isso significa que cada lado do triângulo equilátero ABC é igual a 71,6 metros. Sabendo disso, é possível determinar sua área:

Área = b * h ÷ 2

Área = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Área = 4.438,6 m 2 ÷ 2

Área = 2.219,3 m 2

O perímetro é dado pela soma dos três lados:

P = lado + lado + lado = 3 * l

P = 3 * l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Referências

  1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho técnico: caderno de atividades.
  2. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  3. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura
  4. BARBOSA, JL (2006). Geometria euclidiana plana. SBM Rio de Janeiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Geometria Uma Abordagem de Transformação. EUA: Irmãos Laidlaw.
  6. Euclides, RP (1886). Elementos de Geometria de Euclides.
  7. Héctor Trejo, JS (2006). Geometria e Trigonometria.
  8. Leon Fernández, GS (2007). Geometria Integrada Instituto Tecnológico Metropolitano.
  9. Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.

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