Fatoração é um processo matemático fundamental para simplificar expressões algébricas e resolver equações. Neste artigo, vamos explorar 4 exercícios de fatoração com soluções passo a passo. Através desses exemplos práticos, você poderá aprimorar suas habilidades em fatoração e aprofundar seu conhecimento em álgebra. Vamos lá!
Descubra os 4 casos de fatoração e como aplicá-los corretamente em problemas matemáticos.
A fatoração é uma técnica muito importante na matemática, que consiste em decompor uma expressão matemática em fatores. Existem quatro casos principais de fatoração que são frequentemente utilizados para resolver problemas matemáticos. Vamos conhecer cada um deles e como aplicá-los corretamente.
1. Fatoração por coeficiente comum:
Neste caso, procuramos um fator que seja comum a todos os termos da expressão. Por exemplo, se tivermos a expressão 2x + 4, podemos fatorar retirando o coeficiente comum, que é 2. Assim, a fatoração seria 2(x + 2).
2. Fatoração por agrupamento:
Neste caso, agrupamos os termos da expressão em pares e procuramos por fatores comuns em cada par. Em seguida, fatoramos esses fatores comuns. Por exemplo, na expressão 3x + 6x + 2y + 4y, podemos agrupar os termos em (3x + 6x) + (2y + 4y) e fatorar, resultando em 3x(1 + 2) + 2y(1 + 2), que pode ser simplificado para 3x(3) + 2y(3), ou seja, 3(x + 2y).
3. Fatoração por diferença de quadrados:
Neste caso, temos uma expressão do tipo a² – b². Para fatorar essa expressão, utilizamos a fórmula (a + b)(a – b). Por exemplo, se tivermos a expressão x² – 4, podemos fatorar como (x + 2)(x – 2).
4. Fatoração por trinômio do segundo grau:
Neste caso, temos uma expressão do tipo ax² + bx + c. Para fatorar essa expressão, procuramos dois números que somados dêem b e multiplicados dêem a*c. Por exemplo, se tivermos a expressão x² + 5x + 6, procuramos dois números que somados dêem 5 e multiplicados dêem 6. Esses números são 2 e 3, então a fatoração seria (x + 2)(x + 3).
Com esses quatro casos de fatoração, é possível resolver uma grande variedade de problemas matemáticos de forma mais eficiente e organizada.
Descubra os 5 tipos de fatoração para simplificar equações matemáticas de forma eficiente.
A fatoração é uma técnica importante em matemática que consiste em simplificar equações através da decomposição de polinômios em seus fatores. Existem cinco tipos principais de fatoração que podem ser utilizados para resolver equações de forma eficiente.
O primeiro tipo de fatoração é a fatoração comum, onde procuramos por um fator comum em todos os termos do polinômio. Por exemplo, no polinômio 2x + 4, podemos fatorar o 2 em comum e reescrever a equação como 2(x + 2).
O segundo tipo de fatoração é a fatoração por agrupamento, onde agrupamos os termos do polinômio de forma que possamos identificar fatores comuns. Por exemplo, no polinômio 3x + 6x + 2y + 4y, podemos agrupar os termos para obter 3x(1 + 2) + 2y(1 + 2), e assim fatorar (1 + 2) para chegar a 3x(1 + 2) + 2y(1 + 2).
O terceiro tipo de fatoração é a fatoração por diferença de quadrados, onde procuramos por expressões que são o quadrado de um termo subtraído do quadrado de outro termo. Por exemplo, no polinômio x^2 – 4, podemos fatorar a diferença de quadrados como (x + 2)(x – 2).
O quarto tipo de fatoração é a fatoração por trinômio quadrado perfeito, onde procuramos por expressões que são o quadrado de um binômio. Por exemplo, no polinômio x^2 + 6x + 9, podemos fatorar o trinômio quadrado perfeito como (x + 3)^2.
O quinto tipo de fatoração é a fatoração por decomposição em fatores, onde procuramos por dois números que somados resultem no coeficiente do termo linear e que multiplicados resultem no termo constante. Por exemplo, no polinômio x^2 + 5x + 6, podemos decompor em fatores como (x + 2)(x + 3).
A prática de exercícios de fatoração é essencial para dominar essas técnicas e conseguir simplificar equações de forma eficiente. Abaixo estão quatro exercícios de fatoração com suas respectivas soluções:
Exercício 1: Fatorar o polinômio x^2 + 7x + 10.
Solução: Para fatorar este polinômio, precisamos encontrar dois números que somados resultem em 7 e multiplicados resultem em 10. Os números são 2 e 5. Assim, a fatoração é (x + 2)(x + 5).
Exercício 2: Fatorar o polinômio 2x^2 – 5x – 3.
Solução: Para fatorar este polinômio, podemos utilizar a fatoração por decomposição em fatores. Os fatores são (2x + 1)(x – 3).
Exercício 3: Fatorar o polinômio 4x^2 – 25.
Solução: Para fatorar este polinômio, podemos utilizar a fatoração por diferença de quadrados. Os fatores são (2x + 5)(2x – 5).
Exercício 4: Fatorar o polinômio x^2 – x – 6.
Solução: Para fatorar este polinômio, podemos utilizar a fatoração por decomposição em fatores. Os fatores são (x – 3)(x + 2).
Praticar esses exercícios e dominar os diferentes tipos de fatoração irá ajudá-lo a simplificar equações matemáticas de forma eficiente e precisa.
Aprenda a fatorar com exemplos práticos e simples para facilitar o entendimento.
A fatoração é uma técnica matemática importante que consiste em decompor um polinômio em fatores mais simples. Para facilitar o entendimento, vamos apresentar 4 exercícios de fatoração com soluções, utilizando exemplos práticos e simples.
Exercício 1:
Fatorar o polinômio 2x² + 6x.
Solução: Podemos fatorar este polinômio através da técnica de fatoração por agrupamento. Primeiro, vamos identificar o fator comum: 2x. Assim, temos 2x(x + 3), que é a fatoração desejada.
Exercício 2:
Fatorar o polinômio x² – 4.
Solução: Este polinômio é um caso de diferença de quadrados, onde podemos aplicar a fórmula (a² – b²) = (a + b)(a – b). Assim, temos x² – 4 = (x + 2)(x – 2).
Exercício 3:
Fatorar o polinômio 4x² + 12x + 8.
Solução: Neste caso, podemos observar que todos os termos são divisíveis por 4. Assim, podemos fatorar 4x² + 12x + 8 = 4(x² + 3x + 2). Em seguida, fatoramos o polinômio dentro dos parênteses como (x + 1)(x + 2).
Exercício 4:
Fatorar o polinômio 9x² – 25.
Solução: Este é outro caso de diferença de quadrados, onde podemos aplicar a fórmula (a² – b²) = (a + b)(a – b). Assim, temos 9x² – 25 = (3x + 5)(3x – 5).
Com estes exercícios simples e suas soluções, esperamos que você tenha compreendido melhor o processo de fatoração e esteja mais preparado para resolver problemas mais complexos. Pratique mais exercícios e fique cada vez mais familiarizado com esta importante técnica matemática!
Métodos para realizar a fatorização de expressões matemáticas de forma eficiente.
Para fatorizar expressões matemáticas de forma eficiente, é importante conhecer alguns métodos que facilitam o processo. Um dos métodos mais comuns é a fatorização por agrupamento, onde os termos da expressão são agrupados de forma estratégica para facilitar a identificação de fatores comuns.
Outro método útil é a fatorização por diferenciação de quadrados, que consiste em identificar expressões que possam ser reescritas como o quadrado de uma soma ou subtração. Isso facilita a identificação de fatores comuns e simplifica a expressão.
A fatorização por trinômio do segundo grau também é um método eficiente, especialmente para expressões quadráticas. Neste caso, a expressão é fatorizada em dois binômios que multiplicados resultam na expressão original.
Por fim, a fatorização por decomposição em fatores primos é útil para expressões mais complexas, onde é necessário decompor os termos em seus fatores primos para identificar os fatores comuns.
4 Exercícios de Fatorização com Soluções
Agora, vamos praticar a fatorização com alguns exercícios e suas soluções:
1. Fatorize a expressão 2x^2 + 7x + 3.
Solução: Para fatorizar essa expressão, podemos utilizar o método do trinômio do segundo grau. A fatorização será (2x + 1)(x + 3).
2. Fatorize a expressão x^2 – 4.
Solução: Neste caso, podemos aplicar a fatorização por diferenciação de quadrados. A fatorização será (x + 2)(x – 2).
3. Fatorize a expressão 3x^2 – 10x + 7.
Solução: Utilizando o método de fatorização por agrupamento, a fatorização será (3x – 1)(x – 7).
4. Fatorize a expressão 4x^2 + 12x + 9.
Solução: Neste caso, podemos aplicar a fatorização por diferenciação de quadrados. A fatorização será (2x + 3)(2x + 3) ou (2x + 3)^2.
4 Exercícios de Fatoração com Soluções
A exercícios de fatoração ajudar a compreender esta técnica, que é amplamente utilizado em matemática e está no processo de escrever uma soma como um produto de certos termos.
A palavra fatoração refere-se a fatores, que são termos que multiplicam outros termos. Por exemplo, na decomposição em fatores primos de um número natural, os números primos envolvidos são chamados de fatores.
Ou seja, 14 pode ser escrito como 2 * 7. Nesse caso, os fatores primos de 14 são 2 e 7. O mesmo se aplica aos polinômios das variáveis reais.
Ou seja, se você possui um polinômio P (x), fatorar o polinômio consiste em escrever P (x) como o produto de outros polinômios de grau menor que o grau de P (x).
Factoring
Várias técnicas são usadas para fatorar um polinômio, incluindo produtos notáveis e o cálculo das raízes do polinômio.
Se você possui um polinômio de segundo grau P (x) e x1 e x2 são as raízes reais de P (x), então P (x) pode ser fatorado como “a (x-x1) (x-x2)”, onde “a” é o coeficiente que acompanha a potência quadrática.
Como são calculadas as raízes?
Se o polinômio for de grau 2, as raízes poderão ser calculadas usando a fórmula chamada “o resolvedor”.
Se o polinômio é de grau 3 ou superior, o método de Ruffini é geralmente usado para calcular as raízes.
4 exercícios de fatoração
Primeiro exercício
Fatore o seguinte polinômio: P (x) = x²-1.
Solução
Nem sempre é necessário usar o resolvedor. Neste exemplo, um produto notável pode ser usado.
Reescrevendo o polinômio da seguinte forma, você pode ver qual produto notável usar: P (x) = x² – 1².
Usando o notável produto 1, diferença de quadrados, o polinômio P (x) pode ser fatorado da seguinte forma: P (x) = (x + 1) (x-1).
Isso também indica que as raízes de P (x) são x1 = -1 e x2 = 1.
2º exercício
Fatore o seguinte polinômio: Q (x) = x³ – 8.
Solução
Há um produto notável que diz o seguinte: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).
Sabendo disso, o polinômio Q (x) pode ser reescrito da seguinte forma: Q (x) = x³-8 = x³ – 2³.
Agora, usando o notável produto descrito, a fatoração polinomial Q (x) deve ser Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).
O polinômio quadrático que surgiu na etapa anterior deve ser fatorado. Mas, se observado, o notável produto número 2 pode ajudar; portanto, a fatoração final de Q (x) é dada por Q (x) = (x-2) (x + 2) ².
Isso diz que uma raiz de Q (x) é x1 = 2 e que x2 = x3 = 2 é a outra raiz de Q (x), que é repetida.
Terceiro exercício
Fator R (x) = x² – x – 6.
Solução
Quando um produto notável não pode ser detectado ou a experiência necessária para manipular a expressão não está disponível, o uso do resolvedor é seguido. Os valores são os seguintes a = 1, b = -1 ec = -6.
Substituí-los na fórmula resulta em x = (-1 ± √ ((- 1) ² – 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 ) / 2.
Isso resulta em duas soluções que são as seguintes:
x1 = (-1 + 5) / 2 = 2
x2 = (-1-5) / 2 = -3.
Portanto, o polinômio R (x) pode ser fatorado como R (x) = (x-2) (x – (- 3)) = (x-2) (x + 3).
Quarto exercício
Fator H (x) = x³ – x² – 2x.
Solução
Neste exercício, você pode começar tomando o fator comum x e obtém H (x) = x (x²-x-2).
Portanto, resta apenas fatorar o polinômio quadrático. Usando o resolvedor novamente, as raízes devem ser:
x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.
Portanto, as raízes do polinômio quadrático são x1 = 1 e x2 = -2.
Em conclusão, a fatoração polinomial H (x) é dada por H (x) = x (x-1) (x + 2).
Referências
- Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
- Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, e Paul, RS (2003). Matemática para administração e economia. Pearson Education.
- Jimenez, J., Rodriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limiar
- Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
- Rock, NM (2006). Álgebra eu sou fácil! Tão fácil. Team Rock Press
- Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.