Vetores concorrentes: características, exemplos e exercícios

Vetores concorrentes são vetores que possuem direções diferentes, mas que passam pelo mesmo ponto de origem. Nesse sentido, eles formam um ângulo entre si e suas direções não são paralelas. Os vetores concorrentes podem ser somados geometricamente, resultando em um novo vetor que representa a combinação dos vetores originais.

Neste contexto, é importante compreender as características e propriedades dos vetores concorrentes, bem como saber como somá-los e subtraí-los. Além disso, é fundamental conhecer exemplos práticos de situações em que os vetores concorrentes são aplicados, como na física, na engenharia e em outras áreas.

Por fim, a prática de exercícios é essencial para a fixação dos conceitos e para a aplicação dos conhecimentos adquiridos sobre vetores concorrentes. A resolução de problemas envolvendo vetores concorrentes contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da capacidade de resolver questões complexas.

Exemplos de vetores: conheça algumas direções e grandezas em física.

No estudo da física, os vetores são grandezas que possuem não apenas valor numérico, mas também direção e sentido. Eles são representados por setas em um plano cartesiano, sendo muito utilizados para descrever fenômenos físicos que envolvem forças, deslocamentos e velocidades. Vamos conhecer alguns exemplos de vetores e suas características.

Um exemplo clássico de vetor é a força peso, que atua sempre na direção vertical, em direção ao centro da Terra. Outro exemplo é a velocidade de um objeto em movimento, que possui direção e sentido de acordo com o movimento do objeto. Já o vetor deslocamento é utilizado para representar a variação da posição de um objeto em relação a um ponto de referência.

Além disso, existem os vetores concorrentes, que são vetores que possuem a mesma origem, mas direções diferentes. Eles podem ser somados geometricamente para determinar o vetor resultante. Por exemplo, se um objeto está sob a ação de duas forças que atuam em direções diferentes, podemos representar essas forças como vetores concorrentes e determinar a resultante.

Para praticar o conceito de vetores concorrentes, podemos realizar exercícios que envolvam a soma de vetores em diferentes direções. Por exemplo, podemos calcular a resultante de duas forças que atuam em ângulos diferentes e determinar a direção e sentido da força resultante.

Em resumo, os vetores são grandezas que possuem direção e sentido, sendo muito úteis para descrever fenômenos físicos em diversas áreas da ciência. Os vetores concorrentes, por sua vez, são vetores que possuem a mesma origem, mas direções diferentes, podendo ser somados geometricamente para determinar a resultante. Praticar exercícios com vetores concorrentes é fundamental para compreender e aplicar esses conceitos na resolução de problemas em física.

Exemplos de retas que se cruzam em diferentes pontos no plano.

Vetores concorrentes são vetores que se cruzam em um ponto comum, formando um ângulo entre si. Esses vetores possuem direções diferentes, mas se encontram em um mesmo ponto. Vamos analisar alguns exemplos de retas que se cruzam em diferentes pontos no plano para ilustrar melhor esse conceito.

Um exemplo de retas que se cruzam em diferentes pontos no plano são as diagonais de um quadrado. As diagonais de um quadrado se encontram no centro do quadrado, formando ângulos retos.

Outro exemplo são as retas que representam os lados de um triângulo escaleno. Essas retas se cruzam em um único ponto, que é o vértice do triângulo.

É importante ressaltar que vetores concorrentes são diferentes de vetores paralelos, que nunca se cruzam, e de vetores coincidentes, que são colineares e se sobrepõem completamente.

Para fixar o conceito de vetores concorrentes, podemos resolver alguns exercícios práticos que envolvam a determinação do ponto de interseção de vetores em um plano cartesiano. Dessa forma, podemos visualizar como os vetores se cruzam em um ponto comum.

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Principais características de um vetor: conheça as suas propriedades fundamentais e aplicações.

Um vetor é uma grandeza física que possui magnitude, direção e sentido. Essas são as principais características que definem um vetor e o diferenciam de outras grandezas, como escalares. A magnitude de um vetor representa o seu tamanho, a direção indica para onde o vetor aponta e o sentido mostra a orientação do vetor.

Além disso, os vetores podem ser representados geometricamente por setas em um plano cartesiano, onde a origem da seta representa o ponto inicial do vetor e a extremidade representa o ponto final. Os vetores também podem ser somados, subtraídos, multiplicados por um escalar e têm propriedades específicas que regem essas operações.

As aplicações dos vetores são vastas e estão presentes em diversas áreas do conhecimento, como a física, a matemática, a engenharia, entre outras. Eles são utilizados para representar forças, velocidades, deslocamentos, campos elétricos, entre outras grandezas físicas.

Vetores concorrentes: características, exemplos e exercícios.

Os vetores concorrentes são aqueles que possuem o mesmo ponto de origem. Isso significa que, ao desenhar os vetores em um plano cartesiano, todos eles terão a mesma origem, mas direções e magnitudes diferentes. Os vetores concorrentes podem ser somados geometricamente através da regra do paralelogramo ou analiticamente utilizando as coordenadas dos vetores.

Um exemplo de vetores concorrentes é o caso de forças aplicadas a um mesmo ponto, mas em direções diferentes. Essas forças podem ser representadas por vetores concorrentes, onde a força resultante será a soma vetorial desses vetores individuais.

Para praticar o cálculo de vetores concorrentes, é possível resolver exercícios que envolvam a soma de vetores em situações do cotidiano, como deslocamentos de objetos ou forças aplicadas em diferentes direções. Esses exercícios ajudam a compreender melhor as propriedades dos vetores e a desenvolver habilidades de cálculo vetorial.

Definição de figuras concorrentes: entenda como elas se relacionam no plano geométrico.

Vetores concorrentes: características, exemplos e exercícios.

Os vetores concorrentes são vetores que possuem a mesma origem, ou seja, têm o mesmo ponto inicial. Eles se relacionam no plano geométrico de forma que suas direções são diferentes, mas todos passam pelo mesmo ponto de origem. Isso significa que eles podem ser representados como segmentos de reta que partem de um mesmo ponto.

Essa característica dos vetores concorrentes permite que sejam somados de forma mais simples, já que podem ser representados como lados de um polígono. Além disso, a soma de vetores concorrentes é feita pela regra do paralelogramo, onde o vetor resultante é a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores dados.

Um exemplo prático de vetores concorrentes é o deslocamento de um objeto em um plano cartesiano. Se um objeto se desloca em duas direções diferentes a partir de um mesmo ponto, os vetores representam esses deslocamentos e são considerados concorrentes.

Para praticar o cálculo com vetores concorrentes, é possível resolver exercícios que envolvam a soma de vetores com a mesma origem. Esses exercícios ajudam a compreender como os vetores se relacionam no plano geométrico e como podemos encontrar o vetor resultante da soma.

Vetores concorrentes: características, exemplos e exercícios

Os vectores simultâneas são grupos vectors cujos eixos coincidem em um ponto, formando entre cada par de um interior e um ângulo exterior. Um exemplo claro pode ser visto na figura inferior, onde A, B e C são vetores concorrentes.

D e E, ao contrário do resto, não são. Existem ângulos formados entre os vetores concorrentes AB, AC e CB. Eles são chamados ângulos de relacionamento entre vetores.

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Caracteristicas

-Eles têm um ponto comum, que coincide com a sua origem: todas as magnitudes dos vetores concorrentes começam de um ponto comum até seus respectivos fins.

-A origem é considerada o ponto de ação do vetor: deve ser estabelecido um ponto de ação que será diretamente afetado por cada um dos vetores concorrentes.

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Seu domínio no plano e no espaço é R 2 e R 3 , respectivamente: vectores simultâneas são livres para cobrir o espaço geométrico.

-Permite notações diferentes no mesmo grupo de vetores. De acordo com os ramos de estudo, notações diferentes estão presentes em operações com vetores.

Tipos de vetores

O ramo dos vetores possui várias subdivisões, algumas das quais podem ser nomeadas: paralela, perpendicular, coplanar, correspondente, oposta e unitária. Os vetores concorrentes aparecem nesta lista e, como todos os mencionados acima, têm muitas aplicações em ciências diferentes.

Eles são muito comuns no estudo de vetores, porque representam uma generalização útil nas operações com eles. Tanto no plano quanto no espaço, vetores concorrentes são comumente usados ​​para representar diferentes elementos e estudar sua influência em um sistema específico.

Notação vetorial

Existem várias maneiras de representar um elemento vetorial. Os principais e mais conhecidos são:

Cartesiano

Proposto por essa mesma abordagem matemática, denota vetores com uma lista correspondente às magnitudes de cada eixo (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Espaço A: (1, 1) Plano

Polar

Eles servem apenas para denotar vetores no plano, embora no cálculo integral o componente de profundidade seja atribuído. É composto com uma magnitude linear r e um ângulo em relação ao eixo polar Ɵ.

A: (3, 45 0 ) Plano A: (2, 45 0 , 3) Espaço

Analítico

Eles definem as magnitudes do vetor por meio dos versos. Os versos (i + j + k) representam os vetores unitários correspondentes aos eixos X, Y e Y

A: 3i + 2j – 3k

Esférico

Eles são semelhantes à notação polar, mas com a adição de um segundo ângulo que varre o plano x e simboliza por δ.

A: (4, 60 ou , π / 4)

Operações com vetores concorrentes

Os vetores concorrentes são usados ​​principalmente para definir operações entre vetores, porque é mais fácil comparar os elementos dos vetores quando eles são apresentados simultaneamente.

Soma (A + B)

A soma dos vetores concorrentes pretende encontrar o vetor resultante V r . Que, segundo o ramo de estudo, corresponde a uma ação final

Por exemplo: 3 cordas {A, B, C} estão amarradas a uma caixa, cada extremidade da corda é segurada por um sujeito. Cada um dos três sujeitos deve puxar a corda em uma direção diferente da dos outros 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + por + cy; az + bz + cz) = V r

A caixa pode se mover apenas em uma direção; portanto, V r indicará a direção e a direção do movimento da caixa.

Diferença (A – B)

Existem muitos critérios em relação à diferença entre vetores, muitos autores optam por excluí-lo e afirmam que apenas a soma entre vetores é estipulada, onde a diferença é a soma do vetor oposto. A verdade é que algebricamente os vetores podem ser subtraídos.

A: (ax, ay, az) B: (bx, por, bz)

A – B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) = [ax + (-bx); ay + (-por); az + (-bz)]

Produto escalar (A. B)

Também conhecido como produto escalar, gera um valor escalar que pode ser relacionado a várias magnitudes de acordo com o ramo de estudo.

Para geometria, indica a área do paralelogramo formado pelo par de vetores concorrentes através do método do paralelogramo. Para a física mecânica, define o trabalho realizado por uma força F ao mover um corpo a uma distância Δr.

ѡ = F . Δr

Como o nome indica, ele gera um valor escalar e é definido da seguinte maneira:

Let vetores A e B

A: (ax, ay, az) B: (bx, por, bz)

– Forma analítica:

(A. B) = | A |. | B | .Cos θ

Onde θ é o ângulo interno entre os dois vetores

-Forma algébrica:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Produto vetorial (A x B)

O produto vector ou produto de pontos entre dois vectores, define um terceiro vector de C tendo a qualidade de ser perpendicular ao B e C . Em física, defina o vetor de torque τ elemento base da dinâmica rotacional.

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– Forma analítica:

| A x B | = | A |. | B | .Sen θ

-Forma algébrica:

(A x B) = = (ax. By – a. Bx) – (ax. Bz – az. Bx) j + (ax. By – a. Bx) k

Movimento relativo: r A / B

A base da relatividade é o movimento relativo e os vetores concorrentes são a base do movimento relativo. Posições, velocidades e acelerações relativas podem ser deduzidas aplicando a seguinte ordem de idéias.

r A / B = r A – r B ; Posição relativa de A em relação a B

v A / B = v A – v B ; Velocidade relativa de A em relação a B

a A / B = a A – a B ; Aceleração relativa de A em relação a B

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Exemplos: exercícios resolvidos

Exercício 1

Sejam A, B e C vetores simultâneos.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Defina o vetor resultante V r = 2A – 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

Qual é a raiz quadrada de 3 (3) ou (-9)? (-5)

V r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V r = ([-2 + (- 9) + (- 4)]; [6 + (- 15) + (- 2)]; (10 + 6 + 1))

V r = (-15, -11, 17)

-Definir o produto escalar (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-Calcular o ângulo entre A e C

(A. C) = | A |. | C | .Cos θ Onde θ é o menor ângulo entre os vetores

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θ = 88,63 0

-Encontre um vetor perpendicular a A e B

Para isso, é necessário definir o produto vetorial entre (-1, 3, 5) e (3, 5, -2). Como explicado anteriormente, uma matriz 3 x 3 é construída onde a primeira linha é composta por três vetores unitários (i, j, k). A segunda e a terceira linha são os vetores a serem operados, respeitando a ordem operacional.

(A x B) = = [(-1). 5 – (3,3)] i – [(-1). (-2) – (5,3)] j + [(-1). 5 – (3,3)] k

(A x B) = (-5 – 9) I – (2-15) j + (-5 – 9) k

(A x B) = – 14 I + 13 j – 14 k

Exercício 2

Seja V a e V b os vetores de velocidade de A e B, respectivamente. Calcule a velocidade de B vista de A.

V a = (3, -1, 5) V b = (2, 5, -3)

Nesse caso, a velocidade relativa de B em relação a A V B / A é solicitada

V B / A = V B – V A

V B / A = (2, 5, -3) – (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Este é o vetor de velocidade de B visto de A. Onde um novo vetor de velocidade de B é descrito com referência a um observador posicionado em A e movendo-se com a velocidade de A.

Exercícios propostos

1-Crie 3 vetores A, B e C que são simultâneos e relacionam 3 operações entre si por meio de um exercício prático.

2-Let vetores A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) e C: (-2, -1, 10). Encontre vetores perpendiculares a: A e B, C e B, A soma A + B + C.

4-Determine 3 vetores perpendiculares entre si, sem levar em consideração os eixos de coordenadas.

5-Defina o trabalho realizado por uma força que levanta um bloco de 5 kg de massa, do fundo de um poço de 20m de profundidade.

6-Demonstre algebricamente que a subtração de vetores é igual à soma do vetor oposto. Justifique seus postulados.

7-Denote um vetor em todas as notações desenvolvidas neste artigo. (Cartesiano, polar, analítico e esférico).

8 – As forças magnéticas exercidas sobre um imã que repousa sobre uma mesa são dadas pelos seguintes vetores; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Determine em qual direção o ímã se moverá se todas as forças magnéticas agirem ao mesmo tempo.

Referências

  1. Geometria euclidiana e transformações. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1º de janeiro 2004
  2. Como resolver problemas de matemática aplicada L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 de abr 2013
  3. Conceitos básicos de geometria. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 de outubro 2012
  4. Vetores. Rocío Navarro Lacoba, 7 de junho 2014
  5. Álgebra Linear. Bernard Kolman, David R. Hill. Educação Pearson, 2006

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