Vetores concorrentes: características, exemplos e exercícios

Os vectores simultâneas são grupos vectors cujos eixos coincidem em um ponto, formando entre cada par de um interior e um ângulo exterior. Um exemplo claro pode ser visto na figura inferior, onde A, B e C são vetores concorrentes.

D e E, ao contrário do resto, não são. Existem ângulos formados entre os vetores concorrentes AB, AC e CB. Eles são chamados ângulos de relacionamento entre vetores.

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Caracteristicas

-Eles têm um ponto comum, que coincide com a sua origem: todas as magnitudes dos vetores concorrentes começam de um ponto comum até seus respectivos fins.

-A origem é considerada o ponto de ação do vetor: deve ser estabelecido um ponto de ação que será diretamente afetado por cada um dos vetores concorrentes.

Seu domínio no plano e no espaço é R 2 e R 3 , respectivamente: vectores simultâneas são livres para cobrir o espaço geométrico.

-Permite notações diferentes no mesmo grupo de vetores. De acordo com os ramos de estudo, notações diferentes estão presentes em operações com vetores.

Tipos de vetores

O ramo dos vetores possui várias subdivisões, algumas das quais podem ser nomeadas: paralela, perpendicular, coplanar, correspondente, oposta e unitária. Os vetores concorrentes aparecem nesta lista e, como todos os mencionados acima, têm muitas aplicações em ciências diferentes.

Eles são muito comuns no estudo de vetores, porque representam uma generalização útil nas operações com eles. Tanto no plano quanto no espaço, vetores concorrentes são comumente usados ​​para representar diferentes elementos e estudar sua influência em um sistema específico.

Notação vetorial

Existem várias maneiras de representar um elemento vetorial. Os principais e mais conhecidos são:

Cartesiano

Proposto por essa mesma abordagem matemática, denota vetores com uma lista correspondente às magnitudes de cada eixo (x, y, z)

A: (1, 1, -1) Espaço A: (1, 1) Plano

Polar

Eles servem apenas para denotar vetores no plano, embora no cálculo integral o componente de profundidade seja atribuído. É composto com uma magnitude linear r e um ângulo em relação ao eixo polar Ɵ.

A: (3, 45 ) Plano A: (2, 45 , 3) Espaço

Analítico

Eles definem as magnitudes do vetor por meio dos versos. Os versos (i + j + k) representam os vetores unitários correspondentes aos eixos X, Y e Y

A: 3i + 2j – 3k

Esférico

Eles são semelhantes à notação polar, mas com a adição de um segundo ângulo que varre o plano x e simboliza por δ.

A: (4, 60 ou , π / 4)

Operações com vetores concorrentes

Os vetores concorrentes são usados ​​principalmente para definir operações entre vetores, porque é mais fácil comparar os elementos dos vetores quando eles são apresentados simultaneamente.

Soma (A + B)

A soma dos vetores concorrentes pretende encontrar o vetor resultante V r . Que, segundo o ramo de estudo, corresponde a uma ação final

Por exemplo: 3 cordas {A, B, C} estão amarradas a uma caixa, cada extremidade da corda é segurada por um sujeito. Cada um dos três sujeitos deve puxar a corda em uma direção diferente da dos outros 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + por + cy; az + bz + cz) = V r

A caixa pode se mover apenas em uma direção; portanto, V r indicará a direção e a direção do movimento da caixa.

Diferença (A – B)

Existem muitos critérios em relação à diferença entre vetores, muitos autores optam por excluí-lo e afirmam que apenas a soma entre vetores é estipulada, onde a diferença é a soma do vetor oposto. A verdade é que algebricamente os vetores podem ser subtraídos.

A: (ax, ay, az) B: (bx, por, bz)

A – B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) = [ax + (-bx); ay + (-por); az + (-bz)]

Produto escalar (A. B)

Também conhecido como produto escalar, gera um valor escalar que pode ser relacionado a várias magnitudes de acordo com o ramo de estudo.

Para geometria, indica a área do paralelogramo formado pelo par de vetores concorrentes através do método do paralelogramo. Para a física mecânica, define o trabalho realizado por uma força F ao mover um corpo a uma distância Δr.

ѡ = F . Δr

Como o nome indica, ele gera um valor escalar e é definido da seguinte maneira:

Let vetores A e B

A: (ax, ay, az) B: (bx, por, bz)

– Forma analítica:

(A. B) = | A |. | B | .Cos θ

Onde θ é o ângulo interno entre os dois vetores

-Forma algébrica:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Produto vetorial (A x B)

O produto vector ou produto de pontos entre dois vectores, define um terceiro vector de C tendo a qualidade de ser perpendicular ao B e C . Em física, defina o vetor de torque τ elemento base da dinâmica rotacional.

– Forma analítica:

| A x B | = | A |. | B | .Sen θ

-Forma algébrica:

(A x B) = = (ax. By – a. Bx) – (ax. Bz – az. Bx) j + (ax. By – a. Bx) k

Movimento relativo: r A / B

A base da relatividade é o movimento relativo e os vetores concorrentes são a base do movimento relativo. Posições, velocidades e acelerações relativas podem ser deduzidas aplicando a seguinte ordem de idéias.

r A / B = r A – r B ; Posição relativa de A em relação a B

v A / B = v A – v B ; Velocidade relativa de A em relação a B

a A / B = a A – a B ; Aceleração relativa de A em relação a B

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Exemplos: exercícios resolvidos

Exercício 1

Sejam A, B e C vetores simultâneos.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Defina o vetor resultante V r = 2A – 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

Qual é a raiz quadrada de 3 (3) ou (-9)? (-5)

V r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V r = ([-2 + (- 9) + (- 4)]; [6 + (- 15) + (- 2)]; (10 + 6 + 1))

V r = (-15, -11, 17)

-Definir o produto escalar (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(A. C) = 3

-Calcular o ângulo entre A e C

(A. C) = | A |. | C | .Cos θ Onde θ é o menor ângulo entre os vetores

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θ = 88,63

-Encontre um vetor perpendicular a A e B

Para isso, é necessário definir o produto vetorial entre (-1, 3, 5) e (3, 5, -2). Como explicado anteriormente, uma matriz 3 x 3 é construída onde a primeira linha é composta por três vetores unitários (i, j, k). A segunda e a terceira linha são os vetores a serem operados, respeitando a ordem operacional.

(A x B) = = [(-1). 5 – (3,3)] i – [(-1). (-2) – (5,3)] j + [(-1). 5 – (3,3)] k

(A x B) = (-5 – 9) I – (2-15) j + (-5 – 9) k

(A x B) = – 14 I + 13 j – 14 k

Exercício 2

Seja V a e V b os vetores de velocidade de A e B, respectivamente. Calcule a velocidade de B vista de A.

V a = (3, -1, 5) V b = (2, 5, -3)

Nesse caso, a velocidade relativa de B em relação a A V B / A é solicitada

V B / A = V B – V A

V B / A = (2, 5, -3) – (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Este é o vetor de velocidade de B visto de A. Onde um novo vetor de velocidade de B é descrito com referência a um observador posicionado em A e movendo-se com a velocidade de A.

Exercícios propostos

1-Crie 3 vetores A, B e C que são simultâneos e relacionam 3 operações entre si por meio de um exercício prático.

2-Let vetores A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) e C: (-2, -1, 10). Encontre vetores perpendiculares a: A e B, C e B, A soma A + B + C.

4-Determine 3 vetores perpendiculares entre si, sem levar em consideração os eixos de coordenadas.

5-Defina o trabalho realizado por uma força que levanta um bloco de 5 kg de massa, do fundo de um poço de 20m de profundidade.

6-Demonstre algebricamente que a subtração de vetores é igual à soma do vetor oposto. Justifique seus postulados.

7-Denote um vetor em todas as notações desenvolvidas neste artigo. (Cartesiano, polar, analítico e esférico).

8 – As forças magnéticas exercidas sobre um imã que repousa sobre uma mesa são dadas pelos seguintes vetores; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Determine em qual direção o ímã se moverá se todas as forças magnéticas agirem ao mesmo tempo.

Referências

  1. Geometria euclidiana e transformações. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1º de janeiro 2004
  2. Como resolver problemas de matemática aplicada L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 de abr 2013
  3. Conceitos básicos de geometria. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 de outubro 2012
  4. Vetores. Rocío Navarro Lacoba, 7 de junho 2014
  5. Álgebra Linear. Bernard Kolman, David R. Hill. Educação Pearson, 2006

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