Teorema de Varignon: exemplos e exercícios resolvidos

O teorema Varignon afirma que, se qualquer quadrilátero está continuamente ligado pontos médios dos lados, um paralelogramo é gerado. Este teorema foi formulado por Pierre Varignon e publicado em 1731 no livro Elements of Mathematics ”.

O livro foi publicado anos após sua morte. Como Varignon foi quem apresentou esse teorema, o paralelogramo é chamado pelo nome. O teorema é baseado na geometria euclidiana e apresenta relações geométricas de quadriláteros.

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Qual é o teorema de Varignon?

Varignon disse que uma figura definida pelos pontos médios de um quadrilátero sempre resultará em um paralelogramo, e sua área sempre será metade da área do quadrilátero, se for plana e convexa. Por exemplo:

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Na figura você pode ver um quadrilátero com uma área X, onde os pontos médios dos lados são representados por E, F, G e H e, quando unidos, formam um paralelogramo. A área do quadrilátero será a soma das áreas dos triângulos formados e metade disso corresponde à área do paralelogramo.

Como a área do paralelogramo é metade da área do quadrilátero, o perímetro desse paralelogramo pode ser determinado.

Assim, o perímetro é igual à soma dos comprimentos das diagonais do quadrilátero; Isso ocorre porque as medianas do quadrilátero serão as diagonais do paralelogramo.

Por outro lado, se os comprimentos das diagonais do quadrilátero forem exatamente iguais, o paralelogramo será um losango. Por exemplo:

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A partir da figura, pode-se ver que, juntando os pontos médios dos lados do quadrilátero, é obtido um losango. No entanto, se as diagonais do quadrilátero forem perpendiculares, o paralelogramo será um retângulo.

O paralelogramo também será um quadrado quando o quadrilátero tiver as diagonais com o mesmo comprimento e também são perpendiculares.

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O teorema não é cumprido apenas em quadriláteros planos, mas também implementado em geometria espacial ou em grandes dimensões; isto é, naqueles quadriláteros que não são convexos. Um exemplo disso pode ser um octaedro, onde os pontos médios são os centróides de cada face e formam um paralelepípedo.

Dessa maneira, juntando os pontos médios das diferentes figuras, é possível obter paralelogramos. Uma maneira simples de verificar se isso é realmente verdade é que os lados opostos devem ficar paralelos quando prolongados.

Exemplos

Primeiro exemplo

Extensão dos lados opostos para mostrar que é um paralelogramo:

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Segundo exemplo

Ao juntar os pontos médios de um losango, você obtém um retângulo:

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O teorema é usado na união de pontos localizados no meio dos lados de um quadrilátero e também pode ser usado para outros tipos de pontos, como em uma trissecção, seção penta ou mesmo em um número infinito de seções ( enésimo), a fim de dividir os lados de qualquer quadrilátero em segmentos proporcionais.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Na figura há um quadrilátero ABCD da área Z, onde os pontos médios dos lados são PQSR. Verifique se um paralelogramo de Varignon está formado.

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Solução

Pode-se verificar que, ao unir os pontos PQSR, é formado um paralelogramo de Varignon, justamente porque na afirmação são dados os pontos médios de um quadrilátero.

Para demonstrar isso, os pontos médios do PQSR são unidos primeiro, para que se possa ver que outro quadrilátero é formado. Para demonstrar que é um paralelogramo, basta desenhar uma linha reta do ponto C ao ponto A, para que você possa ver que CA é paralelo a PQ e RS.

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Da mesma forma, prolongando os lados do PQRS, pode-se notar que o PQ e o RS são paralelos, conforme mostrado na imagem a seguir:

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Exercício 2

Ele possui um retângulo de forma que os comprimentos de todos os lados sejam iguais. Ao unir os pontos médios desses lados, um losango ABCD é formado, dividido por duas diagonais AC = 7cm e BD = 10cm, que coincidem com as medidas dos lados do retângulo. Determine as áreas do losango e do retângulo.

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Solução

Lembrando que a área do paralelogramo resultante é metade do quadrilátero, a área deles pode ser determinada sabendo que a medida das diagonais coincide com os lados do retângulo. Então você tem que:

AB = D

CD = d

Um retângulo = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm 2

Um losango = Um retângulo / 2

Um losango = 70 centímetros 2 /2 = 35 centímetros dois

Exercício 3

Na figura há um quadrilátero que possui a união dos pontos EFGH, os comprimentos dos segmentos são dados. Determine se a junção EFGH é um paralelogramo.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

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Solução

Como os comprimentos dos segmentos são fornecidos, é possível verificar se há proporcionalidade entre os segmentos; isto é, é possível saber se são paralelos, relacionando os segmentos do quadrilátero da seguinte forma:

– AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

– AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

– CF / CE = 3,94 / 2,88 = 1,37

– CG / DG = 3,06 / 2,24 = 1,37

A proporcionalidade é verificada, pois:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Da mesma forma, ao desenhar uma linha do ponto B ao ponto D, pode-se ver que EH é paralelo ao BD, assim como BD é paralelo ao FG. Por outro lado, EF é paralelo ao GH.

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Dessa maneira, pode-se determinar que EFGH é um paralelogramo, porque os lados opostos são paralelos.

Referências

  1. Andres, T. (2010). Olimpíada Matemática Tresure. Springer Nova Iorque
  2. Barbosa, JL (2006). Geometria euclidiana plana. SBM Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Estudo de Geometrias México: hispânico – americano.
  4. Ramo, GP (1998). Soluções desconhecidas para os problemas de Fermat-Torricelli. ISBN – Trabalho independente.
  5. Vera, F. (1943). Elementos da geometria Bogotá
  6. Villiers, M. (1996). Algumas aventuras em geometria euclidiana. África do Sul

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