Proporcionalidade constante: o que é, cálculo, exercícios

A constante de proporcionalidade é um elemento numérico relacional, usado para definir o padrão de similaridade entre duas magnitudes que são alteradas simultaneamente. É muito comum representá-lo como uma função linear de maneira genérica, por meio da expressão F (X) = kX No entanto, essa não é a única representação de uma possível proporcionalidade.

Por exemplo, a relação entre X e Y na função Y = 3x tem uma constante de proporcionalidade igual a 3. Observa-se que quando a variável independente X cresce, o mesmo ocorre com a variável dependente Y, em triplo seu valor. anterior

Proporcionalidade constante: o que é, cálculo, exercícios 1

As alterações aplicadas em uma variável têm repercussões imediatas na outra, de modo que existe um valor conhecido como constante de proporcionalidade. Isso serve para relacionar as diferentes magnitudes que ambas as variáveis ​​adquirem.

Qual é a constante de proporcionalidade e tipos

Dependendo da tendência de alterar as variáveis, as proporcionalidades podem ser classificadas em 2 tipos.

Proporcionalidade direta

Sugere uma relação unidirecional entre duas magnitudes. Nele, se a variável independente mostrar algum crescimento, a variável dependente também aumentará. Da mesma forma, qualquer diminuição na variável independente causará uma diminuição na magnitude de Y.

Por exemplo, a função linear usada na introdução; Y = 3X, corresponde a uma relação direta de proporcionalidade. Isso ocorre porque o aumento na variável independente X causará um aumento de três vezes no valor anterior obtido pela variável dependente Y.

Da mesma forma, a variável dependente diminuirá três vezes seu valor quando X diminuir em magnitude.

O valor da constante de proporcionalidade “K” em um relacionamento direto é definido como K = Y / X.

Proporcionalidade inversa ou indireta

Nesse tipo de função, a relação entre as variáveis ​​é apresentada de maneira antimimética, onde o crescimento ou diminuição da variável independente corresponde, respectivamente, à diminuição ou crescimento da variável dependente.

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Por exemplo, a função F (x) = k / x é uma relação inversa ou indireta. Como o valor da variável independente começa a aumentar, o valor de k será dividido por um número crescente, fazendo com que a variável dependente diminua de valor de acordo com a proporção.

Dependendo do valor obtido por K, a tendência da função proporcional inversa pode ser definida. Se k> 0, a função estará diminuindo em todos os números reais. E seu gráfico será colocado no 1º e 3º quadrante.

Pelo contrário, se o valor de K for negativo ou menor que zero, a função aumentará e seu gráfico estará no 2º e 4º quadrante.

Como é calculado?

Existem contextos diferentes em que a definição da constante de proporcionalidade pode ser necessária. Nos diferentes casos, dados diferentes sobre o problema serão mostrados, onde o estudo deles finalmente mostrará o valor de K.

De uma maneira genérica, o mencionado acima pode ser recapitulado. Os valores de K correspondem a duas expressões de acordo com o tipo de proporcionalidade presente:

– Direto: K = Y / X

– Inverso ou indireto: K = YX

De acordo com o seu gráfico

Às vezes, apenas o gráfico de uma função será conhecido parcial ou completamente. Nesses casos, será necessário, por meio de análise gráfica, determinar o tipo de proporcionalidade. Você precisará definir uma coordenada que permita verificar os valores de X e Y para aplicar à fórmula K correspondente.

Os gráficos referentes às proporcionalidades diretas são lineares. Por outro lado, os gráficos de funções proporcionais inversas geralmente assumem a forma de hipérbole.

De acordo com a tabela de valores

Em alguns casos, há uma tabela de valores com os valores correspondentes a cada iteração da variável independente. Normalmente, isso implica a realização do gráfico, além de definir o valor de K.

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De acordo com a expressão analítica

Mostra a expressão que define a função analiticamente. O valor de K pode ser limpo diretamente ou também pode ser deduzido da própria expressão.

Pela regra de três direta ou composta

Em outros modelos de exercícios, são apresentados alguns dados, que se referem à relação entre os valores. Isso torna necessário aplicar uma regra direta ou composta de três para definir outros dados necessários no exercício.

História

O conceito de proporcionalidade sempre esteve presente. Não apenas na mente e no trabalho dos grandes matemáticos, mas no cotidiano da população, devido à sua praticidade e aplicabilidade.

É muito comum encontrar situações que exijam uma abordagem de proporcionalidade. Isso ocorre em cada caso em que você precisa comparar variáveis ​​e fenômenos que possuem certos relacionamentos.

Através de uma linha do tempo, podemos caracterizar momentos históricos, nos quais os avanços matemáticos em relação à proporcionalidade foram aplicados.

– século II aC É adotado o sistema de armazenamento de frações e proporções na Grécia.

– século V aC A proporção que relaciona o lado e a diagonal de um quadrado também é descoberta na Grécia.

– 600 aC Contos de Mileto apresenta seu teorema sobre proporcionalidade.

– Ano 900. O sistema de casas decimais usado anteriormente pela Índia em razões e proporções é ampliado. Contribuição dos árabes.

– século XVII. Chegam contribuições sobre as proporções no cálculo de Euler.

– Século XIX. Gauss traz o conceito de número e proporção complexos.

– Século XX. A proporcionalidade como modelo de função é definida por Azcarate e Deulofeo.

Proporcionalidade constante: o que é, cálculo, exercícios 2

Exercícios resolvidos

Exercício 1

É necessário calcular o valor das variáveis ​​x, y, z e g. Conhecendo os seguintes relacionamentos proporcionais:

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Matemática5 pontos

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

Os valores relativos da constante de proporcionalidade são definidos. Estes podem ser obtidos a partir do segundo relacionamento, em que o valor que divide cada variável indica um relacionamento ou razão referente a K.

X = 3k y = 2k z = 3k g = 5k

Os valores na primeira expressão são substituídos, onde o novo sistema será avaliado em uma única variável k.

3 (3k) + 2 (2k) – 6 (3k) + 8 (5k) = 1925

9k + 4k -18k + 40k = 1925

35k = 1925

K = 1925/35 = 55

Usando esse valor da constante de proporcionalidade, podemos encontrar a figura que define cada uma das variáveis.

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 g = 5 (55) = 275

Exercício 2

Calcule a constante de proporcionalidade e a expressão que define a função, dado seu gráfico.

Proporcionalidade constante: o que é, cálculo, exercícios 3

Primeiro, o gráfico é analisado, seu caráter linear sendo evidente. Isso indica que é uma função com proporcionalidade direta e que o valor de K será obtido pela expressão k = y / x

Então, um ponto determinável do gráfico é escolhido, ou seja, aquele em que as coordenadas que o compõem podem ser vistas exatamente.

Para este caso, o ponto (2, 4) é utilizado. Onde podemos estabelecer o seguinte relacionamento.

K = 4/2 = 2

Portanto, a expressão é definida pela função y = kx, que neste caso será

F (x) = 2x

Referências

  1. Matemática para Eletricidade e Eletrônica. Dr. Arthur Kramer. Cengage Learning, 27 de jul 2012
  2. Visão 2020: O Papel Estratégico da Pesquisa Operacional. N. Ravichandran. Allied Publishers, 11 de setembro 2005
  3. Conhecimento gramatical e aritmético do Assistente Administrativo do State.e-book. MAD-Eduforma
  4. Reforço da matemática para apoio e diversificação curricular: para apoio e diversificação curricular. Mª Lourdes Lázaro Soto. Edições Narcea, 29 de agosto 2003
  5. Gestão logística e comercial. Maria José Escudero Serrano. Ediciones Paraninfo, SA, 1º de setembro 2013

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