Produtos notáveis: explicação e exercícios resolvidos

Produtos notáveis são operações algébricas, nas quais são expressas multiplicações de polinômios, que não precisam ser resolvidas tradicionalmente, mas com a ajuda de certas regras você pode encontrar os resultados delas.

Os polinômios são multiplicados se, portanto, eles podem ter um grande número de termos e variáveis. Para tornar o processo mais curto, são usadas as regras de produtos notáveis, que permitem que sejam feitas multiplicações sem precisar ir termo a termo.

Produtos notáveis: explicação e exercícios resolvidos 1

Produtos e exemplos notáveis

Cada produto notável é uma fórmula que resulta de uma fatoração, composta por polinômios de vários termos, como binômios ou trinômios, chamados fatores.

Os fatores são a base de uma potência e têm um expoente. Quando os fatores se multiplicam, os expoentes devem ser adicionados.

Existem várias fórmulas notáveis ​​de produtos, algumas mais usadas que outras, dependendo dos polinômios, e são as seguintes:

Binomial ao quadrado

É a multiplicação de um binômio por si só, expressa na forma de poder, onde os termos são adicionados ou subtraídos:

a. Binomial da soma do quadrado: é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo. É expresso da seguinte forma:

(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).

A figura a seguir mostra como o produto se desenvolve de acordo com a regra mencionada. O resultado é chamado trinomial de um quadrado perfeito.

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Exemplo 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Exemplo 2

(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2

(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2

(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .

b. Binomial de uma subtração ao quadrado: a mesma regra do binomial de uma soma se aplica, somente neste caso o segundo termo é negativo. Sua fórmula é a seguinte:

(a – b) 2 = [(a) + (- b)] 2

(a – b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .

Exemplo 1

(2x – 6) 2 = (2x) 2 – 2 (2x * 6) + 6 2

(2x – 6) 2 = 4x 2 – 2 (12x) + 36

(2x – 6) 2 = 4x 2 – 24x + 36.

Produto de binômios conjugados

Dois binômios são conjugados quando os segundos termos de cada um têm sinais diferentes, ou seja, o primeiro é positivo e o segundo negativo ou vice-versa. Isso é resolvido aumentando cada monômio ao quadrado e subtraído. Sua fórmula é a seguinte:

(a + b) * (a – b)

Na figura a seguir é desenvolvido o produto de dois binômios conjugados, onde se observa que o resultado é uma diferença de quadrados.

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Exemplo 1

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )

(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 – 9b 2 .

Produto de dois binômios com um termo comum

É um dos produtos notáveis ​​mais complexos e raramente usados, porque é uma multiplicação de dois binômios que têm um termo comum. A regra indica o seguinte:

  • O quadrado do termo comum.
  • Além disso, adicione os termos que não são comuns e depois multiplique-os pelo termo comum.
  • Mais a soma da multiplicação de termos que não são comuns.

É representado na fórmula: (x + a) * (x + b) e é desenvolvido conforme mostrado na imagem. O resultado é um trinomial quadrado não perfeito.

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(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.

Existe a possibilidade de o segundo termo (o termo diferente) ser negativo e sua fórmula ser a seguinte: (x + a) * (x – b).

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Exemplo 2

(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + ( 4-2 ) * 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x 2 + (2) * 7x – 8

(7x + 4) * (7x – 2) = 49x 2 + 14x – 8.

Também pode ser que ambos os termos sejam negativos. Sua fórmula será: (x – a) * (x – b).

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Exemplo 3

(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b – 6) * (3b – 5) = 9b 2 – 33b + 30.

Polinômio ao quadrado

Nesse caso, existem mais de dois termos e, para desenvolvê-lo, cada um é elevado ao quadrado e somado ao dobro da multiplicação de um termo por outro; Sua fórmula é: (a + b + c) 2 e o resultado da operação é um trinômio quadrado.

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Exemplo 1

(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomial para o cubo

É um produto complexo notável. Para desenvolvê-lo, multiplique o binômio por seu quadrado, da seguinte maneira:

a. Para o binômio no cubo de uma soma:

  • O cubo do primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro termo pelo segundo.
  • Mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado.
  • Mais o cubo do segundo termo.

(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2

(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )

(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Exemplo 1

(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3

(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27

(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.

b. Para o binômio no cubo de uma subtração:

  • O cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo.
  • Mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado.
  • Menos o cubo do segundo termo.

(a – b) 3 = (a – b) * (a – b) 2

(a – b) 3 = (a – b) * (a 2 – 2ab + b 2 )

(a – b) 3 = a 3 – 2a 2 b + ab 2 – ba 2 + 2ab 2 – b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .

Exemplo 2

(b – 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3

(b – 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125

(b – 5) 3 = b 3 – 15b 2 + 75b – 125.

Cubo de um trinômio

É multiplicado pelo seu quadrado. É um produto notável muito extenso, porque há três termos elevados ao cubo, mais três vezes cada termo ao quadrado, multiplicado por cada um dos termos, mais seis vezes o produto dos três termos. Visto de uma maneira melhor:

(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2

(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.

Exemplo 1

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Exercícios resolvidos de produtos notáveis

Exercício 1

Desenvolva o seguinte binômio para o cubo: (4x – 6) 3 .

Solução

Lembrando que um binômio para o cubo é igual ao primeiro termo elevado ao cubo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo; mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado, menos o cubo do segundo termo.

(4x – 6) 3 = (4x) 3 – 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 – (6) 2

(4x – 6) 3 = 64x 3 – 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) – 36

(4x – 6) 3 = 64x 3 – 288x 2 + 432x – 36.

Exercício 2

Desenvolva o seguinte binômio: (x + 3) (x + 8).

Solução

Existe um binômio em que existe um termo comum, que é xe o segundo termo é positivo. Para desenvolvê-lo, basta quadrado o termo comum, mais a soma dos termos que não são comuns (3 e 8) e depois multiplicá-los pelo termo comum, mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.

(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)

(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.

Referências

  1. Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
  2. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  3. Das, S. (sf). Maths Plus 8. Reino Unido: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Aprendizado Cengage.
  5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.

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