Os produtos notáveis são expressões matemáticas que surgem frequentemente em diversas situações e são fundamentais para simplificar cálculos e resolver problemas. Neste contexto, entender e dominar os produtos notáveis é essencial para o estudo da álgebra e da matemática de forma geral. Neste artigo, vamos explicar o conceito de produtos notáveis, apresentar os principais casos e propor exercícios resolvidos para ajudar na fixação e compreensão desse tema tão importante.
Descomplicando a explicação dos produtos notáveis em passos simples e práticos.
Os produtos notáveis são expressões matemáticas que possuem uma forma específica e recorrente, facilitando o cálculo e a simplificação de equações. Para compreender melhor esse conceito, vamos descomplicar a explicação em passos simples e práticos.
Primeiramente, é importante entender que os produtos notáveis são compostos por expressões algébricas que seguem um padrão predefinido. Os principais produtos notáveis são: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença e quadrado de um binômio.
Para calcular esses produtos notáveis, basta aplicar as propriedades matemáticas correspondentes a cada caso. Por exemplo, no caso do quadrado da soma, utilizamos a fórmula (a + b)² = a² + 2ab + b². Já no quadrado da diferença, temos (a – b)² = a² – 2ab + b².
Para facilitar o entendimento, vamos resolver um exercício prático: calcular o quadrado da soma entre 3x e 2y. Aplicando a fórmula (a + b)², temos (3x + 2y)² = (3x)² + 2(3x)(2y) + (2y)².
Ao simplificar a expressão, obtemos: 9x² + 12xy + 4y². Dessa forma, encontramos o produto notável correspondente ao quadrado da soma entre 3x e 2y.
Em resumo, os produtos notáveis são expressões matemáticas com formas padronizadas que facilitam o cálculo e a simplificação de equações. Com a prática e o conhecimento das fórmulas adequadas, é possível resolver exercícios com facilidade e precisão.
Dicas para resolver problemas de produto notável de forma eficaz e prática.
Resolver problemas envolvendo produtos notáveis pode ser desafiador para muitos estudantes, mas com as dicas corretas, é possível tornar esse processo mais fácil e eficaz. Aqui estão algumas dicas para resolver problemas de produto notável de forma eficaz e prática:
1. Identifique o tipo de produto notável: Antes de começar a resolver o problema, identifique se é um quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença ou quadrado de um binômio. Saber o tipo de produto notável irá direcionar o caminho para a resolução correta.
2. Utilize fórmulas específicas: Cada tipo de produto notável possui uma fórmula específica para a sua resolução. Certifique-se de conhecê-las e aplicá-las corretamente no problema em questão.
3. Simplifique as expressões: Muitas vezes, os problemas envolvendo produtos notáveis podem parecer complexos à primeira vista. Portanto, é importante simplificar as expressões e identificar padrões que facilitem a resolução.
4. Pratique com exercícios variados: A prática é fundamental para o domínio dos produtos notáveis. Resolva diversos exercícios, variando os tipos de problemas e dificuldades, para aprimorar suas habilidades e compreensão do assunto.
5. Consulte material de apoio: Caso tenha dúvidas ou dificuldades na resolução de problemas de produto notável, consulte livros didáticos, vídeos explicativos ou professores para obter auxílio e esclarecer suas questões.
Agora que você conhece algumas dicas para resolver problemas de produto notável de forma eficaz e prática, coloque-as em prática e fortaleça suas habilidades matemáticas. Com dedicação e persistência, você será capaz de dominar esse conteúdo e obter sucesso em seus estudos.
Resolvendo produtos notáveis: passo a passo simples para resolver essas expressões matemáticas especiais.
Produtos notáveis são expressões matemáticas especiais que facilitam a resolução de equações e simplificação de polinômios. Para resolver produtos notáveis, é importante conhecer as fórmulas e saber aplicá-las corretamente. Neste artigo, vamos explicar de forma simples e clara como resolver essas expressões matemáticas especiais.
Um dos produtos notáveis mais comuns é o quadrado da soma de dois termos, que pode ser representado pela fórmula: (a + b)² = a² + 2ab + b². Para resolver essa expressão, basta substituir os valores de a e b na fórmula e realizar as operações matemáticas necessárias.
Outro exemplo de produto notável é o quadrado da diferença de dois termos, que segue a fórmula: (a – b)² = a² – 2ab + b². Para resolver essa expressão, basta substituir os valores de a e b na fórmula e realizar as operações matemáticas correspondentes.
Além desses, existem outros produtos notáveis que podem ser úteis na resolução de problemas matemáticos mais complexos. É importante praticar a resolução de exercícios para familiarizar-se com essas fórmulas e garantir um bom desempenho em provas e vestibulares.
Agora que você entende como resolver produtos notáveis, pratique resolvendo os exercícios a seguir:
1) Calcule o valor de (3 + 4)²
2) Simplifique a expressão (5 – 2)²
Com esses exemplos e a prática constante, você estará apto a resolver qualquer produto notável com facilidade. Lembre-se de revisar as fórmulas e praticar regularmente para manter suas habilidades matemáticas afiadas!
Descubra os três tipos de produtos notáveis em apenas uma explicação simples e direta.
Os produtos notáveis são expressões matemáticas que possuem características especiais e podem ser facilmente simplificados. Existem três tipos principais de produtos notáveis: quadrado da soma, quadrado da diferença e produto da soma pela diferença.
Produtos notáveis: explicação e exercícios resolvidos
Produtos notáveis são operações algébricas, nas quais são expressas multiplicações de polinômios, que não precisam ser resolvidas tradicionalmente, mas com a ajuda de certas regras você pode encontrar os resultados delas.
Os polinômios são multiplicados se, portanto, eles podem ter um grande número de termos e variáveis. Para tornar o processo mais curto, são usadas as regras de produtos notáveis, que permitem que sejam feitas multiplicações sem precisar ir termo a termo.
Produtos e exemplos notáveis
Cada produto notável é uma fórmula que resulta de uma fatoração, composta por polinômios de vários termos, como binômios ou trinômios, chamados fatores.
Os fatores são a base de uma potência e têm um expoente. Quando os fatores se multiplicam, os expoentes devem ser adicionados.
Existem várias fórmulas notáveis de produtos, algumas mais usadas que outras, dependendo dos polinômios, e são as seguintes:
Binomial ao quadrado
É a multiplicação de um binômio por si só, expressa na forma de poder, onde os termos são adicionados ou subtraídos:
a. Binomial da soma do quadrado: é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto dos termos, mais o quadrado do segundo termo. É expresso da seguinte forma:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
A figura a seguir mostra como o produto se desenvolve de acordo com a regra mencionada. O resultado é chamado trinomial de um quadrado perfeito.
Exemplo 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Exemplo 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Binomial de uma subtração ao quadrado: a mesma regra do binomial de uma soma se aplica, somente neste caso o segundo termo é negativo. Sua fórmula é a seguinte:
(a – b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a – b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 .
Exemplo 1
(2x – 6) 2 = (2x) 2 – 2 (2x * 6) + 6 2
(2x – 6) 2 = 4x 2 – 2 (12x) + 36
(2x – 6) 2 = 4x 2 – 24x + 36.
Produto de binômios conjugados
Dois binômios são conjugados quando os segundos termos de cada um têm sinais diferentes, ou seja, o primeiro é positivo e o segundo negativo ou vice-versa. Isso é resolvido aumentando cada monômio ao quadrado e subtraído. Sua fórmula é a seguinte:
(a + b) * (a – b)
Na figura a seguir é desenvolvido o produto de dois binômios conjugados, onde se observa que o resultado é uma diferença de quadrados.
Exemplo 1
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a 2 – 9b 2 .
Produto de dois binômios com um termo comum
É um dos produtos notáveis mais complexos e raramente usados, porque é uma multiplicação de dois binômios que têm um termo comum. A regra indica o seguinte:
- O quadrado do termo comum.
- Além disso, adicione os termos que não são comuns e depois multiplique-os pelo termo comum.
- Mais a soma da multiplicação de termos que não são comuns.
É representado na fórmula: (x + a) * (x + b) e é desenvolvido conforme mostrado na imagem. O resultado é um trinomial quadrado não perfeito.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Existe a possibilidade de o segundo termo (o termo diferente) ser negativo e sua fórmula ser a seguinte: (x + a) * (x – b).
Exemplo 2
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + ( 4-2 ) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x 2 + (2) * 7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x 2 + 14x – 8.
Também pode ser que ambos os termos sejam negativos. Sua fórmula será: (x – a) * (x – b).
Exemplo 3
(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b 2 – 33b + 30.
Polinômio ao quadrado
Nesse caso, existem mais de dois termos e, para desenvolvê-lo, cada um é elevado ao quadrado e somado ao dobro da multiplicação de um termo por outro; Sua fórmula é: (a + b + c) 2 e o resultado da operação é um trinômio quadrado.
Exemplo 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial para o cubo
É um produto complexo notável. Para desenvolvê-lo, multiplique o binômio por seu quadrado, da seguinte maneira:
a. Para o binômio no cubo de uma soma:
- O cubo do primeiro termo, mais o triplo do quadrado do primeiro termo pelo segundo.
- Mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado.
- Mais o cubo do segundo termo.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
Exemplo 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Para o binômio no cubo de uma subtração:
- O cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo.
- Mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado.
- Menos o cubo do segundo termo.
(a – b) 3 = (a – b) * (a – b) 2
(a – b) 3 = (a – b) * (a 2 – 2ab + b 2 )
(a – b) 3 = a 3 – 2a 2 b + ab 2 – ba 2 + 2ab 2 – b 3
(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 .
Exemplo 2
(b – 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b – 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b – 5) 3 = b 3 – 15b 2 + 75b – 125.
Cubo de um trinômio
É multiplicado pelo seu quadrado. É um produto notável muito extenso, porque há três termos elevados ao cubo, mais três vezes cada termo ao quadrado, multiplicado por cada um dos termos, mais seis vezes o produto dos três termos. Visto de uma maneira melhor:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
Exemplo 1
Exercícios resolvidos de produtos notáveis
Exercício 1
Desenvolva o seguinte binômio para o cubo: (4x – 6) 3 .
Solução
Lembrando que um binômio para o cubo é igual ao primeiro termo elevado ao cubo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo; mais três vezes o primeiro termo, para o segundo quadrado, menos o cubo do segundo termo.
(4x – 6) 3 = (4x) 3 – 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 – (6) 2
(4x – 6) 3 = 64x 3 – 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) – 36
(4x – 6) 3 = 64x 3 – 288x 2 + 432x – 36.
Exercício 2
Desenvolva o seguinte binômio: (x + 3) (x + 8).
Solução
Existe um binômio em que existe um termo comum, que é xe o segundo termo é positivo. Para desenvolvê-lo, basta quadrado o termo comum, mais a soma dos termos que não são comuns (3 e 8) e depois multiplicá-los pelo termo comum, mais a soma da multiplicação dos termos que não são comuns.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Referências
- Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Das, S. (sf). Maths Plus 8. Reino Unido: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Álgebra Elementar e Intermediária: Uma Abordagem Combinada. Flórida: Aprendizado Cengage.
- Pérez, CD (2010). Pearson Education.