Binômio conjugado: como resolvê-lo, exemplos, exercícios

Um binômio conjugado de outro binômio é aquele em que eles são diferenciados apenas por um sinal da operação. O binômio, como o próprio nome indica, é uma estrutura algébrica que consiste em dois termos.

Alguns exemplos de binômios são:  (a + b) , (3m – n) e (5x – y) . E seus respectivos binômios conjugados são: (a – b), (-3m – n) e (5x + y). Como pode ser visto imediatamente, a diferença está no sinal.

Um binômio multiplicado por seu conjugado resulta em um produto notável que é amplamente usado em álgebra e ciência. O resultado da multiplicação é a subtração dos quadrados dos termos do binômio original.

Por exemplo, (x – y) é um binomial e seu conjugado é (x + y) . Portanto, o produto dos dois binômios é a diferença dos quadrados dos termos:

(x – y). (x + y) = x ² – y ²

Como é resolvido um binômio conjugado?

A regra declarada de binômios conjugados é a seguinte: 

O produto de dois binômios conjugados é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Este resultado é chamado de diferença de quadrados.

Como exemplo de aplicação, começaremos demonstrando o resultado anterior, que pode ser feito usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma algébrica.

(x – y) (x + y) = xx + xy – yx – yy

A multiplicação anterior foi obtida seguindo estas etapas:

– O primeiro termo do primeiro binômio é multiplicado pelo primeiro termo do segundo

– Então o primeiro do primeiro, para o segundo do segundo

– Então o segundo do primeiro pelo primeiro do segundo 

– Finalmente, o segundo do primeiro pelo segundo do segundo.

Agora vamos fazer uma pequena alteração usando  a propriedade comutativa: yx = xy . Se parece com isso:

(x – y) (x + y) = xx + xy – xy – yy

Como existem dois termos iguais mas opostos (destacados em cores e sublinhados), eles são cancelados e simplificados:

(x – y) (x + y) = xx – aa

Por fim, aplica-se que multiplicar um número por si só é equivalente a quadrá-lo, então xx = x ²  e também yy = y ² .

Dessa forma, o que foi apontado na seção anterior é mostrado, que o produto de uma soma por sua diferença é a diferença dos quadrados:

(x – y). (x + y) = x ² – y ²

Exemplos

– Binômios conjugados de várias expressões

Exemplo 1

Encontre o conjugado de (y ² – 3y).

Resposta : (y ² + 3y)

Exemplo 2

Obtenha o produto de (y ² – 3y) pelo seu conjugado.

Resposta: (y ² – 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² – (3y) ² = y ⁴  – 3 ² y ² = y ⁴  – 9y ²

Exemplo 3

Desenvolva o produto (1 + 2a). (2a -1).

Resposta: a expressão anterior é equivalente a (2a + 1). (2a -1), ou seja, corresponde ao produto de um binômio por seu conjugado.

Sabe-se que o produto de um binômio multiplicado por seu binômio conjugado é igual à diferença dos quadrados dos termos binomiais:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² – 1 ² = 4 a ² – 1

Exemplo 4

Escreva o produto (x + y + z) (x – y – z) como uma diferença de quadrados.

Resposta: Podemos assimilar os trinômios anteriores à forma de binômios conjugados, fazendo um uso cuidadoso dos parênteses e colchetes:

(x + y + z) (x – y – z) = [x + (y + z)] [x – (y + z)]

Desta maneira, a diferença de quadrados pode ser aplicada:

(x + y + z) (x – y – z) = [x + (y + z)]. [x – (y + z)] = x ² – (y + z) ²

Exemplo 5

Expresse o produto (m ² – m -1). (M ² + m -1) como uma diferença de quadrados.

Resposta : A expressão acima é o produto de dois trinômios. Primeiro, ele deve ser reescrito como o produto de dois binômios conjugados:

(m ² – m -1) (m ² + m -1) = (m ² – 1 – m) (m ² -1 + m) = [(m ² -1) – m]. [(m ² – 1) + m)]

Aplicamos o fato de que o produto de um binômio por seu conjugado é a diferença quadrática de seus termos, conforme explicado:

[(m ² -1) – m]. [(m ² -1) + m)] = (m ² -1) ² – m ²

Exercícios

Como sempre, comece com os exercícios mais simples e aumente o nível de complexidade.

– Exercício 1

Escreva (9 – a ² ) como um produto.

Solução

Primeiro, reescrevemos a expressão como uma diferença de quadrados, para aplicar o que foi explicado anteriormente. Portanto:

(9 – a ² ) = (3 ² – a ² )

A seguir, fatoramos, o que equivale a escrever essa diferença de quadrados como produto, conforme solicitado na declaração:

(9 – a ² ) = (3 ² – a ² ) = (3 + a) (3 -a)

– Exercício 2

Fatore 16x ² – 9y ⁴ .

Solução

Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Nesse caso, é necessário reescrever a expressão antecipadamente, para obter uma diferença de quadrados.

Não é difícil, pois observar cuidadosamente todos os fatores são quadrados perfeitos. Por exemplo 16 é o quadrado de 4 , 9 é o quadrado de 3 , e ⁴  é o quadrado de Y ²  e  X ²  representa o quadrado de x:

16x ² – 9y ⁴   = 4 ² x ² – 3 ² y ⁴  = 4 ² x ²  – 3 ² (y ² ) ²

Em seguida, aplicamos o que já sabemos anteriormente: que uma diferença de quadrados é o produto de binômios conjugados:

(4x) ² – (3 e ² ) ² = (4x – 3 e ² ). (4x + 3 e ² )

– Exercício 3

Escreva (a – b) como um produto de binômios

Solução

A diferença acima deve ser escrita como diferenças quadradas

(√a) ² – (√b) ²

Em seguida, aplica-se que a diferença de quadrados é o produto dos binômios conjugados

(√a – √b) (√a + √b)

– Exercício 4

Um dos usos do binômio conjugado é a racionalização de expressões algébricas. Este procedimento consiste em eliminar as raízes do denominador de uma expressão fracionária, o que em muitas ocasiões facilita as operações. Você é solicitado a usar o binômio conjugado para racionalizar a seguinte expressão:

√ (2-x) / [√3 – √ (2 + x)]

Solução

A primeira coisa é identificar o binômio conjugado do denominador: [√3 + √ (2 + x)].

Agora multiplicamos o numerador e o denominador da expressão original pelo binômio conjugado:

√ (2-x) [√3 + √ (2 + x)] / {[√3 – √ (2 + x)]. [√3 + √ (2 + x)]}

No denominador da expressão anterior, reconhecemos o produto de uma diferença por uma soma, que já sabemos que corresponde à diferença dos quadrados dos binômios:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / {(√3) ² – [√ (2 + x)] ²  }

Simplificar o denominador é:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / [3 – (2 + x)] = √ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 – x)

Agora, lidamos com o numerador, para o qual aplicaremos a propriedade distributiva do produto com relação à soma:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 – x) = √ (6-3x) + √ [(2-x) (2 + x)] / (1 – x )

Na expressão anterior, reconhecemos o produto do binômio (2-x) por seu conjugado, que é o produto notável igual à diferença de quadrados. Dessa maneira, uma expressão racionalizada e simplificada é finalmente obtida:

[√ (6-3x) + √ (4-x ² )] / (1 – x)

– Exercício 5

Desenvolva o seguinte produto, usando as propriedades do binômio conjugado:

[2a ^{(x + 3y)} – 3a ^{(x – 3y)} ]. [2a ^{(x + 3y)} + 3a ^{(x – 3y)} ]

Solução

4a ^{(2x + 6y)} – 9a ^{(2x – 6y)} = 4a ^(2x)  .a ^(6y) – 9a ^(2x)  .a ^(-6y) = [4a ^(6y) – 9a ^(-6y) ] .a ^{( 2x)}

O leitor atento terá notado o fator comum que foi destacado em cores.

Referências

1. Baldor, A. 1991. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Exercícios binomiais conjugados. Recuperado de: academia.edu.
3. Professor de matemática Alex. Produtos notáveis. Recuperado do youtube.com.
4. Math2me. Binômios conjugados / produtos notáveis. Recuperado do youtube.com.
5. Produtos de binômios conjugados. Recuperado de: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binômios conjugados. Recuperado de: youtube.com.