Binômio conjugado: como resolvê-lo, exemplos, exercícios

O binômio conjugado é uma expressão matemática que surge da adição ou subtração de dois termos que possuem o mesmo valor absoluto, mas sinais opostos. Resolver um binômio conjugado envolve a aplicação de propriedades e técnicas algébricas para simplificar a expressão e chegar a uma solução. Neste artigo, abordaremos como resolver binômios conjugados, apresentando exemplos e exercícios para auxiliar na compreensão e prática desse conceito matemático.

Como encontrar a solução de um binômio por meio da fórmula matemática adequada.

Para encontrar a solução de um binômio por meio da fórmula matemática adequada, é importante compreender o conceito de binômio conjugado. Um binômio conjugado é formado por dois termos com sinais opostos, ou seja, um termo positivo e outro negativo.

A fórmula matemática adequada para resolver um binômio conjugado é (a + b)(a – b) = a² – b². Nesta fórmula, a e b representam os termos do binômio conjugado.

Vamos analisar um exemplo para entender melhor como resolver um binômio conjugado. Se tivermos o binômio (3x + 2)(3x – 2), aplicamos a fórmula (a + b)(a – b) = a² – b². Neste caso, a = 3x e b = 2. Assim, temos (3x)² – 2², que resulta em 9x² – 4.

Agora, vamos praticar com alguns exercícios para reforçar o aprendizado. Calcule a solução dos seguintes binômios conjugados:

1. (5a + 3)(5a – 3)
2. (2x + 4)(2x – 4)
3. (7y + 1)(7y – 1)

Após resolver esses exercícios, você estará mais familiarizado com a resolução de binômios conjugados e poderá aplicar esse conhecimento em problemas mais complexos. Pratique sempre para aprimorar suas habilidades matemáticas!

Exemplo de um binômio: definição e aplicação em expressões matemáticas.

Um binômio é uma expressão matemática que consiste em dois termos. Esses termos podem ser números, variáveis ou uma combinação dos dois, separados por um sinal de adição ou subtração. Um exemplo comum de um binômio é a expressão 2x + 3, onde 2x e 3 são os dois termos separados pelo sinal de adição.

Os binômios são frequentemente utilizados em álgebra e cálculo para representar relações matemáticas e resolver equações. Eles podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos de acordo com as regras da matemática, facilitando a resolução de problemas complexos.

Binômio conjugado: como resolvê-lo, exemplos, exercícios.

Um binômio conjugado é uma expressão que difere apenas no sinal entre os dois termos. Por exemplo, se tivermos o binômio 2x + 3, o seu binômio conjugado seria 2x – 3. Para resolver um binômio conjugado, podemos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação.

Vamos ver um exemplo de como resolver um binômio conjugado:

Exemplo: Resolva o binômio conjugado de 5x + 2.

Solução: O binômio conjugado de 5x + 2 é 5x – 2.

Agora, vamos praticar com alguns exercícios:

Exercício 1: Encontre o binômio conjugado de 3y + 4.

Exercício 2: Determine o binômio conjugado de 7a – 5.

Praticando esses exercícios, você estará mais preparado para lidar com binômios conjugados e suas aplicações em expressões matemáticas.

Como realizar a adição de binômios de maneira simples e eficiente em matemática.

A adição de binômios é uma operação matemática fundamental que consiste em somar dois binômios. Para realizar essa operação de maneira simples e eficiente, é importante lembrar a regra básica de adicionar os termos semelhantes.

Uma maneira prática de adicionar binômios é utilizar o método do binômio conjugado. Um binômio conjugado é formado pela diferença dos termos de um binômio original. Por exemplo, o binômio conjugado de (a + b) é (a – b) e vice-versa.

Para resolver um binômio conjugado, basta aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Vamos ver um exemplo:

Exemplo: Calcular a soma de (2x + 3) e (2x – 5)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

(2x + 3) + (2x – 5) = 2x + 3 + 2x – 5

= 4x – 2

Portanto, a soma de (2x + 3) e (2x – 5) é 4x – 2.

Agora, vamos praticar com um exercício:

Exercício: Calcular a soma de (3y + 4) e (3y – 2)

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

(3y + 4) + (3y – 2) = 3y + 4 + 3y – 2

= 6y + 2

Portanto, a soma de (3y + 4) e (3y – 2) é 6y + 2.

Como visto nos exemplos e exercícios acima, a adição de binômios utilizando o método do binômio conjugado é simples e eficiente. Basta aplicar a propriedade distributiva e somar os termos semelhantes para obter o resultado desejado.

Descubra o sexto termo do binômio de Newton até a potência de 16.

O binômio de Newton é uma fórmula matemática utilizada para expandir expressões do tipo (a + b)^n, onde “a” e “b” são números reais e “n” é um número natural. Para encontrar o sexto termo do binômio de Newton até a potência de 16, devemos utilizar a fórmula geral que nos permite encontrar qualquer termo da expansão.

A fórmula para encontrar o k-ésimo termo da expansão de um binômio de Newton é dada por:

C(n, k) * a^(n-k) * b^k

Onde C(n, k) representa o coeficiente binomial, que pode ser calculado através da fórmula:

C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

Para encontrar o sexto termo do binômio de Newton até a potência de 16, devemos considerar que k = 5 (pois os termos são contados a partir de 0) e n = 16. Substituindo na fórmula, temos:

C(16, 5) * a^(16-5) * b^5

Calculando o coeficiente binomial C(16, 5), encontramos que ele é igual a 4368. Substituindo na fórmula, temos:

4368 * a^11 * b^5

Portanto, o sexto termo do binômio de Newton até a potência de 16 é 4368 * a^11 * b^5.

O binômio conjugado é uma expressão matemática que envolve a soma e a diferença de dois termos. Para resolver um binômio conjugado, basta aplicar a propriedade da diferença de dois quadrados, que consiste em fatorar a expressão como o produto de duas expressões conjugadas. Por exemplo, a^2 – b^2 = (a + b)(a – b).

Um exemplo de exercício envolvendo um binômio conjugado seria resolver a expressão (x + 2)(x – 2). Aplicando a propriedade da diferença de dois quadrados, obtemos:

(x + 2)(x – 2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4

Portanto, o resultado da expressão (x + 2)(x – 2) é x^2 – 4.

Praticar exercícios envolvendo binômios conjugados é fundamental para fixar o conhecimento e aprimorar as habilidades matemáticas. Seguindo os passos corretamente, é possível resolver essas expressões de forma rápida e eficiente.

Binômio conjugado: como resolvê-lo, exemplos, exercícios

Um binômio conjugado de outro binômio é aquele em que eles são diferenciados apenas por um sinal da operação. O binômio, como o próprio nome indica, é uma estrutura algébrica que consiste em dois termos.

Alguns exemplos de binômios são:  (a + b) , (3m – n) e (5x – y) . E seus respectivos binômios conjugados são: (a – b), (-3m – n) e (5x + y). Como pode ser visto imediatamente, a diferença está no sinal.

Um binômio multiplicado por seu conjugado resulta em um produto notável que é amplamente usado em álgebra e ciência. O resultado da multiplicação é a subtração dos quadrados dos termos do binômio original.

Por exemplo, (x – y) é um binomial e seu conjugado é (x + y) . Portanto, o produto dos dois binômios é a diferença dos quadrados dos termos:

(x – y). (x + y) = x ² – y ²

Como é resolvido um binômio conjugado?

A regra declarada de binômios conjugados é a seguinte: 

O produto de dois binômios conjugados é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Este resultado é chamado de diferença de quadrados.

Como exemplo de aplicação, começaremos demonstrando o resultado anterior, que pode ser feito usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma algébrica.

(x – y) (x + y) = xx + xy – yx – yy

A multiplicação anterior foi obtida seguindo estas etapas:

– O primeiro termo do primeiro binômio é multiplicado pelo primeiro termo do segundo

– Então o primeiro do primeiro, para o segundo do segundo

– Então o segundo do primeiro pelo primeiro do segundo 

– Finalmente, o segundo do primeiro pelo segundo do segundo.

Agora vamos fazer uma pequena alteração usando  a propriedade comutativa: yx = xy . Se parece com isso:

(x – y) (x + y) = xx + xy – xy – yy

Como existem dois termos iguais mas opostos (destacados em cores e sublinhados), eles são cancelados e simplificados:

(x – y) (x + y) = xx – aa

Por fim, aplica-se que multiplicar um número por si só é equivalente a quadrá-lo, então xx = x ²  e também yy = y ² .

Dessa forma, o que foi apontado na seção anterior é mostrado, que o produto de uma soma por sua diferença é a diferença dos quadrados:

(x – y). (x + y) = x ² – y ²

Exemplos

– Binômios conjugados de várias expressões

Exemplo 1

Encontre o conjugado de (y ² – 3y).

Resposta : (y ² + 3y)

Exemplo 2

Obtenha o produto de (y ² – 3y) pelo seu conjugado.

Resposta: (y ² – 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² – (3y) ² = y ⁴  – 3 ² y ² = y ⁴  – 9y ²

Exemplo 3

Desenvolva o produto (1 + 2a). (2a -1).

Resposta: a expressão anterior é equivalente a (2a + 1). (2a -1), ou seja, corresponde ao produto de um binômio por seu conjugado.

Sabe-se que o produto de um binômio multiplicado por seu binômio conjugado é igual à diferença dos quadrados dos termos binomiais:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² – 1 ² = 4 a ² – 1

Exemplo 4

Escreva o produto (x + y + z) (x – y – z) como uma diferença de quadrados.

Resposta: Podemos assimilar os trinômios anteriores à forma de binômios conjugados, fazendo um uso cuidadoso dos parênteses e colchetes:

(x + y + z) (x – y – z) = [x + (y + z)] [x – (y + z)]

Desta maneira, a diferença de quadrados pode ser aplicada:

(x + y + z) (x – y – z) = [x + (y + z)]. [x – (y + z)] = x ² – (y + z) ²

Exemplo 5

Expresse o produto (m ² – m -1). (M ² + m -1) como uma diferença de quadrados.

Resposta : A expressão acima é o produto de dois trinômios. Primeiro, ele deve ser reescrito como o produto de dois binômios conjugados:

(m ² – m -1) (m ² + m -1) = (m ² – 1 – m) (m ² -1 + m) = [(m ² -1) – m]. [(m ² – 1) + m)]

Aplicamos o fato de que o produto de um binômio por seu conjugado é a diferença quadrática de seus termos, conforme explicado:

[(m ² -1) – m]. [(m ² -1) + m)] = (m ² -1) ² – m ²

Exercícios

Como sempre, comece com os exercícios mais simples e aumente o nível de complexidade.

– Exercício 1

Escreva (9 – a ² ) como um produto.

Solução

Primeiro, reescrevemos a expressão como uma diferença de quadrados, para aplicar o que foi explicado anteriormente. Portanto:

(9 – a ² ) = (3 ² – a ² )

A seguir, fatoramos, o que equivale a escrever essa diferença de quadrados como produto, conforme solicitado na declaração:

(9 – a ² ) = (3 ² – a ² ) = (3 + a) (3 -a)

– Exercício 2

Fatore 16x ² – 9y ⁴ .

Solução

Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Nesse caso, é necessário reescrever a expressão antecipadamente, para obter uma diferença de quadrados.

Não é difícil, pois observar cuidadosamente todos os fatores são quadrados perfeitos. Por exemplo 16 é o quadrado de 4 , 9 é o quadrado de 3 , e ⁴  é o quadrado de Y ²  e  X ²  representa o quadrado de x:

16x ² – 9y ⁴   = 4 ² x ² – 3 ² y ⁴  = 4 ² x ²  – 3 ² (y ² ) ²

Em seguida, aplicamos o que já sabemos anteriormente: que uma diferença de quadrados é o produto de binômios conjugados:

(4x) ² – (3 e ² ) ² = (4x – 3 e ² ). (4x + 3 e ² )

– Exercício 3

Escreva (a – b) como um produto de binômios

Solução

A diferença acima deve ser escrita como diferenças quadradas

(√a) ² – (√b) ²

Em seguida, aplica-se que a diferença de quadrados é o produto dos binômios conjugados

(√a – √b) (√a + √b)

– Exercício 4

Um dos usos do binômio conjugado é a racionalização de expressões algébricas. Este procedimento consiste em eliminar as raízes do denominador de uma expressão fracionária, o que em muitas ocasiões facilita as operações. Você é solicitado a usar o binômio conjugado para racionalizar a seguinte expressão:

√ (2-x) / [√3 – √ (2 + x)]

Solução

A primeira coisa é identificar o binômio conjugado do denominador: [√3 + √ (2 + x)].

Agora multiplicamos o numerador e o denominador da expressão original pelo binômio conjugado:

√ (2-x) [√3 + √ (2 + x)] / {[√3 – √ (2 + x)]. [√3 + √ (2 + x)]}

No denominador da expressão anterior, reconhecemos o produto de uma diferença por uma soma, que já sabemos que corresponde à diferença dos quadrados dos binômios:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / {(√3) ² – [√ (2 + x)] ²  }

Simplificar o denominador é:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / [3 – (2 + x)] = √ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 – x)

Agora, lidamos com o numerador, para o qual aplicaremos a propriedade distributiva do produto com relação à soma:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 – x) = √ (6-3x) + √ [(2-x) (2 + x)] / (1 – x )

Na expressão anterior, reconhecemos o produto do binômio (2-x) por seu conjugado, que é o produto notável igual à diferença de quadrados. Dessa maneira, uma expressão racionalizada e simplificada é finalmente obtida:

[√ (6-3x) + √ (4-x ² )] / (1 – x)

– Exercício 5

Desenvolva o seguinte produto, usando as propriedades do binômio conjugado:

[2a ^{(x + 3y)} – 3a ^{(x – 3y)} ]. [2a ^{(x + 3y)} + 3a ^{(x – 3y)} ]

Solução

4a ^{(2x + 6y)} – 9a ^{(2x – 6y)} = 4a ^(2x)  .a ^(6y) – 9a ^(2x)  .a ^(-6y) = [4a ^(6y) – 9a ^(-6y) ] .a ^{( 2x)}

O leitor atento terá notado o fator comum que foi destacado em cores.

Referências

1. Baldor, A. 1991. Álgebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Exercícios binomiais conjugados. Recuperado de: academia.edu.
3. Professor de matemática Alex. Produtos notáveis. Recuperado do youtube.com.
4. Math2me. Binômios conjugados / produtos notáveis. Recuperado do youtube.com.
5. Produtos de binômios conjugados. Recuperado de: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binômios conjugados. Recuperado de: youtube.com.