Teorema do fator: explicação, exemplos, exercícios

O teorema do fator é um conceito fundamental da matemática que nos permite decompor um polinômio em fatores mais simples. Ele é frequentemente utilizado para resolver equações polinomiais e encontrar raízes de polinômios.

Neste artigo, vamos explicar o teorema do fator em detalhes, apresentar alguns exemplos práticos de sua aplicação e propor alguns exercícios para que você possa praticar e aprimorar seus conhecimentos sobre o assunto. Acompanhe e aprofunde seu entendimento sobre esse importante teorema matemático.

Aprenda a fatorar uma função de maneira simples e eficiente em 15 passos.

O Teorema do fator é uma ferramenta poderosa na matemática que nos ajuda a simplificar funções de maneira eficiente. Aprender a fatorar uma função pode parecer complicado à primeira vista, mas com alguns passos simples, você será capaz de dominar essa técnica. Neste artigo, vamos explicar o Teorema do fator, fornecer exemplos práticos e sugerir exercícios para você praticar.

Para fatorar uma função, siga estes 15 passos simples:

Passo 1: Identifique os termos comuns na expressão.

Passo 2: Agrupe os termos em pares.

Passo 3: Identifique o fator comum em cada par.

Passo 4: Extraia o fator comum de cada par.

Passo 5: Verifique se ainda há fatores comuns na expressão.

Passo 6: Repita o processo de fatoração até não sobrarem mais fatores comuns.

Passo 7: Verifique se é possível aplicar alguma identidade algébrica para simplificar a expressão.

Passo 8: Considere a possibilidade de agrupar termos para facilitar a fatoração.

Passo 9: Utilize os conceitos de potenciação para fatorar expressões com potências.

Passo 10: Tome cuidado com os sinais das expressões ao fatorar.

Passo 11: Verifique se é possível aplicar a técnica de completar o quadrado para simplificar a expressão.

Passo 12: Considere fatorar por agrupamento em casos mais complexos.

Passo 13: Pratique a fatoração resolvendo exercícios diversos.

Passo 14: Verifique suas respostas e identifique possíveis erros.

Passo 15: Reforce o aprendizado revisitando os conceitos e praticando regularmente.

Agora que você conhece os passos básicos para fatorar uma função, vamos ver um exemplo prático:

Considere a expressão: 2x² + 8x.

Para fatorar essa expressão, siga os passos descritos acima. Identifique o fator comum, que é 2x, e extraia-o dos termos:

2x² + 8x = 2x(x + 4).

Agora, a expressão está fatorada de forma simples e eficiente.

Pratique a fatoração resolvendo exercícios semelhantes e explorando diferentes tipos de expressões. Quanto mais você praticar, mais confiante ficará na aplicação do Teorema do fator.

Como destacar o fator de forma eficaz?

Para destacar o fator de forma de forma eficaz em um artigo sobre o Teorema do fator, é importante explicar claramente o conceito do teorema e fornecer exemplos que ilustrem sua aplicação. Além disso, a inclusão de exercícios práticos ajudará os leitores a compreender melhor como o fator de forma funciona na prática.

O Teorema do fator é uma ferramenta matemática poderosa que permite simplificar integrais complexas através da identificação de um fator comum. Para explicar isso aos leitores, é essencial fornecer uma definição concisa do teorema e mostrar como ele pode ser aplicado em diferentes contextos.

Por exemplo, ao resolver uma integral dupla, podemos usar o Teorema do fator para identificar um fator comum que simplifica o cálculo. Isso pode ser demonstrado através de um exemplo específico, onde os leitores podem ver como o fator de forma é destacado e utilizado para resolver a integral de maneira mais eficiente.

Além disso, a inclusão de exercícios no artigo permitirá que os leitores pratiquem a aplicação do Teorema do fator por conta própria. Isso ajudará a reforçar o entendimento do conceito e a desenvolver habilidades de resolução de problemas.

Tipos de fatoração: conheça as diferentes formas de decomposição de expressões matemáticas.

A fatoração é uma técnica muito importante na matemática que consiste em decompor uma expressão matemática em fatores mais simples. Existem diferentes tipos de fatoração que podem ser aplicados dependendo da expressão em questão.

Uma forma comum de fatoração é a fatoração de um polinômio, onde procuramos encontrar os fatores que compõem o polinômio. Por exemplo, no polinômio x² – 4, podemos fatorá-lo como (x + 2)(x – 2) utilizando o Teorema do fator.

O Teorema do fator afirma que se f(x) é um polinômio e se f(a) = 0, então (x – a) é um fator de f(x). Este teorema é muito útil na fatoração de polinômios e na resolução de equações polinomiais.

Vejamos um exemplo prático do Teorema do fator. Considere o polinômio f(x) = x² – 5x + 6. Se f(2) = 0, então (x – 2) é um fator de f(x). Podemos então fatorar o polinômio como (x – 2)(x – 3).

Para praticar a aplicação do Teorema do fator, podemos resolver alguns exercícios. Por exemplo, fatorar o polinômio x² – 9, dado que f(3) = 0. Utilizando o Teorema do fator, podemos encontrar os fatores como (x – 3)(x + 3).

Praticar a aplicação deste teorema em exercícios pode ajudar a aprimorar suas habilidades em fatoração e resolver problemas matemáticos de forma mais eficiente.

Como aplicar o teorema do resto para encontrar o resultado de uma divisão?

Para aplicar o teorema do resto e encontrar o resultado de uma divisão, é importante lembrar que esse teorema afirma que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um polinômio (x – a) é igual a P(a). Em outras palavras, se quisermos dividir um polinômio por (x – a), podemos simplesmente substituir x por a no polinômio original e encontrar o resto da divisão.

Vamos considerar um exemplo prático para entender melhor como aplicar o teorema do resto. Digamos que queremos dividir o polinômio P(x) = 2x^2 + 3x – 5 por (x – 2). Para encontrar o resto dessa divisão, basta substituir x por 2 em P(x):

P(2) = 2(2)^2 + 3(2) – 5 = 8 + 6 – 5 = 9

Portanto, o resto da divisão de 2x^2 + 3x – 5 por (x – 2) é 9.

Teorema do fator: explicação, exemplos, exercícios

O teorema do fator afirma que se um polinômio P(a) é igual a zero, então (x – a) é um fator de P(x). Em outras palavras, se substituirmos x por a e o resultado for zero, isso significa que (x – a) divide P(x).

Para ilustrar esse teorema, vamos considerar o polinômio Q(x) = x^2 – 4. Se quisermos encontrar os fatores de Q(x), precisamos encontrar os valores de x para os quais Q(x) é igual a zero:

Q(x) = x^2 – 4 = 0

x^2 = 4

x = ±2

Portanto, os fatores de Q(x) são (x – 2) e (x + 2).

Para praticar o teorema do fator, tente resolver os seguintes exercícios:

1. Encontre os fatores do polinômio R(x) = x^2 – 9.

2. Determine se (x – 3) é um fator do polinômio S(x) = 2x^3 – 7x^2 + 6x – 9.

Com esses exemplos e exercícios, você poderá praticar e aprimorar seu conhecimento sobre o teorema do fator e sua aplicação na divisão de polinômios.

Teorema do fator: explicação, exemplos, exercícios

O teorema do fator afirma que um polinômio P (x) é divisível por um binomial da forma (x – a) se x = a é uma raiz de P (x), ou seja, P (a) = 0. Diz-se que um polinômio é divisível por outro quando o restante ou o restante é zero.

Um polinômio é uma expressão da forma:

P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₁ x + a ₀

Onde:

-n é o grau do polinômio, em que n é o maior número inteiro para o qual a variável independente x é aumentada,

-Os valores a _n , a _n-1 , …… + a ₁ , a ₀ são os coeficientes do polinômio, que geralmente são números reais, mas também podem ser números complexos.

Um polinômio de grau n pode ser decomposto como produto de n binômios da forma:

(x – r _i )

Em que R _i é o i-ésimo raiz de P (x):

P (x) = a _n (x – r ₁ ) (x – r ₂ )… .. (x – r _n )

Como o número de raízes de um polinômio é igual ao seu grau.

Exemplos

– Exemplo 1

Considere, por exemplo, o polinômio:

P (x) = 3⋅x ² – 7⋅x + 2

Queremos saber se esse polinômio é divisível pelo binômio (x – 2). Se o teorema do fator for usado, devemos avaliar P (x = 2) para saber se o valor 2 é raiz ou não. Em seguida, procedemos a avaliar a expressão:

P (2) = 3⋅22 – 7⋅2 + 2 = 3⋅4 – 7⋅2 + 2 = 12-14 + 2 = 12-12 = 0.

Acontece que x = 2 é a raiz de P (x), portanto, de acordo com o teorema do fator, o binômio (x – 2) é efetivamente um fator de P (x).

Vamos para a verificação direta dividindo. Os detalhes de como a divisão é realizada são mostrados na figura a seguir:

Verifica-se que o quociente entre P (x) e (x-2) fornece um polinômio de menor grau chamado quociente C (x) = 3⋅x – 1 com o restante 0.

Podemos resumir o resultado da seguinte maneira:

(3⋅x ² – 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x – 1) + 0

A expressão anterior pode ser escrita de outra maneira, simplesmente lembrando que o dividendo P (x) é igual ao produto do divisor (x -2) vezes o quociente (3⋅x – 1) mais o restante (neste caso, zero):

( ³ xx ² – 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x – 1) + 0

Dessa maneira, foi possível fatorar o polinômio P (x), ou seja, escrever o polinômio original como um produto dos polinômios:

( ³ xx ² – 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x – 1)

– exemplo 2

Seja o polinômio Q (x) = x ³ – x + 2. Queremos saber se é divisível pelo binômio (x + 1).

A maneira mais direta é simplesmente aplicar o teorema do fator. Nesse caso, basta verificar se x = -1 cancela ou não o polinômio Q (x).

Procedemos substituindo:

Q (-1) = (-1) ³ – (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2

O resultado é diferente de zero; portanto, o teorema do fator garante que o polinômio Q (x) não é divisível por (x + 1), pois Q (-1) ≠ 0.

Agora, procederemos à divisão de Q (x) pelo binômio (x + 1) como método de verificação de nossa conclusão.

Nesta oportunidade, a divisão será realizada pelo método de divisão sintética, que consiste em colocar todos os coeficientes do polinômio, incluindo os ausentes, na primeira linha, na ordem do grau mais alto ao zero, uma vez que possuem um coeficiente de zero.

Então, na primeira coluna, o termo independente do divisor é colocado, mas com o sinal alterado, no nosso caso, o divisor é (x + 1). Seu termo independente é 1, mas, como na primeira coluna, ele muda de sinal, ou seja, -1.

A figura a seguir ilustra como a divisão sintética é realizada:

Com esse resultado, verifica-se que (x + 1) não é um fator do polinômio Q (x) = x ³ – x + 2, pois o resíduo não é zero.

Essa conclusão não é surpreendente, porque já havia sido prevista com o teorema do fator. Observe também que, ao substituir x = -1 em Q (x), o que é obtido é precisamente o restante ou o restante da divisão dos polinômios, uma vez que Q (-1) = restante = 2.

Obviamente, a divisão fornece informações adicionais sobre o quociente C (x) = x ² – x.

Lembrando que o dividendo Q (x) é igual ao divisor (x + 1) pelo quociente C (x) mais o restante r = 2, resta a expansão do polinômio Q (x) da seguinte forma:

Q (x) = (x + 1) (X ² – x) x + 2 = (x + 1) (x – 1) + 2

Deve-se notar que essa expressão não é a fatoração do referido polinômio, pois existe um acréscimo não nulo de termo, que é apenas o restante do valor 2.

Exercícios

– Exercício 1

Encontre os fatores do polinômio

P (x) = x ³ – 5 x ² + 2 x + 8

E também escreva sua fatoração.

Solução

O teorema do fator nos diz que devemos procurar as raízes a e, em seguida, encontrar os fatores (x – a ), neste caso, como é um polinômio de grau três, deve haver três raízes. 

Como este é um polinômio com coeficientes inteiros, as raízes devem estar entre os divisores do termo independente, que neste caso é 8. Esses divisores são:

± 1, ± 2, ± 4, ± 8.

Começamos explorando +1: P (+1) = 1 ³ – 5⋅ 1 ² + 2⋅1 + 8 = 1-5 + 2 + 8 = 6, que é diferente de 0; portanto, +1 não é raiz.

Exploramos -1:

P (-1) = (-1) ³ – 5⋅ (-1) ² + 2⋅ (-1) + 8 = -1 – 5 – 2 + 8 = 0

A partir do resultado, conclui-se que -1 é a raiz de P (x) e (x – (-1)) = (x + 1) é um fator do polinômio.

Resta encontrar mais dois fatores:

Tentamos o seguinte, que é +2:

P (+2) = (+2) ³ – 5⋅ (+2) ² + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0

Mais uma vez, obtemos zero. Então o outro fator é (x – 2).

Como é um polinômio de grau três, precisamos apenas encontrar um fator. Agora testamos o valor +4 para descobrir se ele cancela o polinômio:

P (+4) = (+4) ³ – 5⋅ (+4) ² + 2⋅ (+4) + 8 = 64 – 80 + 8 + 8 = 0.

Em outras palavras, +4 é a raiz de P (x) e, portanto, o binômio (x – 4) é outro dos seus fatores.

Você não precisa mais continuar procurando, porque é um polinômio de grau 3 que tem três raízes no máximo. Neste exercício, todas as raízes se mostraram reais e inteiras.

Portanto, o polinômio P (x) é fatorado assim:

P (x) = x ³ – 5 x ² + 2 x + 8 = (x + 1) (x – 2) (x – 4).

– Exercício 2

Seja o polinômio p 3x ³ – x + 2p. Determine o valor de p para que o polinômio seja divisível por (x + 2).

Solução

Utilizamos o teorema do fator, que afirma que se x = -2 cancela o polinômio, então (x – (-2)) é um fator desse polinômio.

Então x é substituído por (-2) no polinômio original, simplificado e igual a zero:

p⋅ (-2) ³ – (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0

Agora, o valor de p é limpo para que a igualdade zero seja atendida:

p = -2 / 10 = -⅕ 

Isso significa que o polinômio: 

-⅕⋅x ³ – x – ⅖

É divisível por (x + 2), ou o que é equivalente: (x + 2) é um de seus fatores.

Referências

1. Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, W. Pré-cálculo: Gráfico, Numérico, Algébrico, 7ª Ed. Pearson Education.
3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.