O teorema do fator afirma que um polinômio P (x) é divisível por um binomial da forma (x – a) se x = a é uma raiz de P (x), ou seja, P (a) = 0. Diz-se que um polinômio é divisível por outro quando o restante ou o restante é zero.
Um polinômio é uma expressão da forma:
P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + …… + a 1 x + a 0
Onde:
-n é o grau do polinômio, em que n é o maior número inteiro para o qual a variável independente x é aumentada,
-Os valores a n , a n-1 , …… + a 1 , a 0 são os coeficientes do polinômio, que geralmente são números reais, mas também podem ser números complexos.
Um polinômio de grau n pode ser decomposto como produto de n binômios da forma:
(x – r i )
Em que R i é o i-ésimo raiz de P (x):
P (x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 )… .. (x – r n )
Como o número de raízes de um polinômio é igual ao seu grau.
Exemplos
– Exemplo 1
Considere, por exemplo, o polinômio:
P (x) = 3⋅x 2 – 7⋅x + 2
Queremos saber se esse polinômio é divisível pelo binômio (x – 2). Se o teorema do fator for usado, devemos avaliar P (x = 2) para saber se o valor 2 é raiz ou não. Em seguida, procedemos a avaliar a expressão:
P (2) = 3⋅22 – 7⋅2 + 2 = 3⋅4 – 7⋅2 + 2 = 12-14 + 2 = 12-12 = 0.
Acontece que x = 2 é a raiz de P (x), portanto, de acordo com o teorema do fator, o binômio (x – 2) é efetivamente um fator de P (x).
Vamos para a verificação direta dividindo. Os detalhes de como a divisão é realizada são mostrados na figura a seguir:
Verifica-se que o quociente entre P (x) e (x-2) fornece um polinômio de menor grau chamado quociente C (x) = 3⋅x – 1 com o restante 0.
Podemos resumir o resultado da seguinte maneira:
(3⋅x 2 – 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x – 1) + 0
A expressão anterior pode ser escrita de outra maneira, simplesmente lembrando que o dividendo P (x) é igual ao produto do divisor (x -2) vezes o quociente (3⋅x – 1) mais o restante (neste caso, zero):
( 3 xx 2 – 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x – 1) + 0
Dessa maneira, foi possível fatorar o polinômio P (x), ou seja, escrever o polinômio original como um produto dos polinômios:
( 3 xx 2 – 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x – 1)
– exemplo 2
Seja o polinômio Q (x) = x 3 – x + 2. Queremos saber se é divisível pelo binômio (x + 1).
A maneira mais direta é simplesmente aplicar o teorema do fator. Nesse caso, basta verificar se x = -1 cancela ou não o polinômio Q (x).
Procedemos substituindo:
Q (-1) = (-1) 3 – (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
O resultado é diferente de zero; portanto, o teorema do fator garante que o polinômio Q (x) não é divisível por (x + 1), pois Q (-1) ≠ 0.
Agora, procederemos à divisão de Q (x) pelo binômio (x + 1) como método de verificação de nossa conclusão.
Nesta oportunidade, a divisão será realizada pelo método de divisão sintética, que consiste em colocar todos os coeficientes do polinômio, incluindo os ausentes, na primeira linha, na ordem do grau mais alto ao zero, uma vez que possuem um coeficiente de zero.
Então, na primeira coluna, o termo independente do divisor é colocado, mas com o sinal alterado, no nosso caso, o divisor é (x + 1). Seu termo independente é 1, mas, como na primeira coluna, ele muda de sinal, ou seja, -1.
A figura a seguir ilustra como a divisão sintética é realizada:
Com esse resultado, verifica-se que (x + 1) não é um fator do polinômio Q (x) = x 3 – x + 2, pois o resíduo não é zero.
Essa conclusão não é surpreendente, porque já havia sido prevista com o teorema do fator. Observe também que, ao substituir x = -1 em Q (x), o que é obtido é precisamente o restante ou o restante da divisão dos polinômios, uma vez que Q (-1) = restante = 2.
Obviamente, a divisão fornece informações adicionais sobre o quociente C (x) = x 2 – x.
Lembrando que o dividendo Q (x) é igual ao divisor (x + 1) pelo quociente C (x) mais o restante r = 2, resta a expansão do polinômio Q (x) da seguinte forma:
Q (x) = (x + 1) (X 2 – x) x + 2 = (x + 1) (x – 1) + 2
Deve-se notar que essa expressão não é a fatoração do referido polinômio, pois existe um acréscimo não nulo de termo, que é apenas o restante do valor 2.
Exercícios
– Exercício 1
Encontre os fatores do polinômio
P (x) = x 3 – 5 x 2 + 2 x + 8
E também escreva sua fatoração.
Solução
O teorema do fator nos diz que devemos procurar as raízes a e, em seguida, encontrar os fatores (x – a ), neste caso, como é um polinômio de grau três, deve haver três raízes.
Como este é um polinômio com coeficientes inteiros, as raízes devem estar entre os divisores do termo independente, que neste caso é 8. Esses divisores são:
± 1, ± 2, ± 4, ± 8.
Começamos explorando +1: P (+1) = 1 3 – 5⋅ 1 2 + 2⋅1 + 8 = 1-5 + 2 + 8 = 6, que é diferente de 0; portanto, +1 não é raiz.
Exploramos -1:
P (-1) = (-1) 3 – 5⋅ (-1) 2 + 2⋅ (-1) + 8 = -1 – 5 – 2 + 8 = 0
A partir do resultado, conclui-se que -1 é a raiz de P (x) e (x – (-1)) = (x + 1) é um fator do polinômio.
Resta encontrar mais dois fatores:
Tentamos o seguinte, que é +2:
P (+2) = (+2) 3 – 5⋅ (+2) 2 + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0
Mais uma vez, obtemos zero. Então o outro fator é (x – 2).
Como é um polinômio de grau três, precisamos apenas encontrar um fator. Agora testamos o valor +4 para descobrir se ele cancela o polinômio:
P (+4) = (+4) 3 – 5⋅ (+4) 2 + 2⋅ (+4) + 8 = 64 – 80 + 8 + 8 = 0.
Em outras palavras, +4 é a raiz de P (x) e, portanto, o binômio (x – 4) é outro dos seus fatores.
Você não precisa mais continuar procurando, porque é um polinômio de grau 3 que tem três raízes no máximo. Neste exercício, todas as raízes se mostraram reais e inteiras.
Portanto, o polinômio P (x) é fatorado assim:
P (x) = x 3 – 5 x 2 + 2 x + 8 = (x + 1) (x – 2) (x – 4).
– Exercício 2
Seja o polinômio p 3x 3 – x + 2p. Determine o valor de p para que o polinômio seja divisível por (x + 2).
Solução
Utilizamos o teorema do fator, que afirma que se x = -2 cancela o polinômio, então (x – (-2)) é um fator desse polinômio.
Então x é substituído por (-2) no polinômio original, simplificado e igual a zero:
p⋅ (-2) 3 – (-2) + 2p = 8p + 2 + 2p = 10p + 2 = 0
Agora, o valor de p é limpo para que a igualdade zero seja atendida:
p = -2 / 10 = -⅕
Isso significa que o polinômio:
-⅕⋅x 3 – x – ⅖
É divisível por (x + 2), ou o que é equivalente: (x + 2) é um de seus fatores.
Referências
- Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
- Demana, W. Pré-cálculo: Gráfico, Numérico, Algébrico, 7ª Ed. Pearson Education.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.