Medidas de tendência central para dados agrupados (exemplos)

As medidas de tendência central dos dados agrupados são usadas nas estatísticas para descrever determinados comportamentos de um grupo de dados fornecidos, como qual o valor próximo, qual a média dos dados coletados, entre outros.

Ao coletar uma grande quantidade de dados, é útil agrupá-los para ter uma melhor ordem deles e, assim, poder calcular determinadas medidas de tendência central.

Entre as medidas de tendência central mais amplamente utilizadas estão a média aritmética, mediana e moda. Esses números informam certas qualidades sobre os dados coletados em um determinado experimento.

Para usar essas medidas, é necessário primeiro saber como agrupar um conjunto de dados.

Dados agrupados

Para agrupar dados, o intervalo dos dados deve primeiro ser calculado, o que é obtido subtraindo o valor mais alto menos o valor mais baixo dos dados.

Depois, você escolhe um número «k», que é o número de classes em que deseja agrupar os dados.

O intervalo é dividido por «k» para obter a amplitude das classes a serem agrupadas. Este número é C = R / k.

Finalmente, começa o agrupamento, para o qual é escolhido um número menor que o menor valor dos dados obtidos.

Este número será o limite inferior da primeira classe. A isto é adicionado C. O valor obtido será o limite superior da primeira classe.

Então, C é adicionado a esse valor e o limite superior da segunda classe é obtido. Isso prossegue até que o limite superior da última classe seja obtido.

Depois que os dados são agrupados, a média, a mediana e o modo podem ser calculados.

Para ilustrar como a média aritmética, a mediana e o modo são calculados, procederemos com um exemplo.

Exemplo

Portanto, o agrupamento dos dados produzirá uma tabela como a seguinte:

As 3 principais medidas de tendência central

Agora procederemos ao cálculo da média aritmética, mediana e modo. O exemplo anterior será usado para ilustrar este procedimento.

1- Média aritmética

A média aritmética consiste em multiplicar cada frequência pela média do intervalo. Todos esses resultados são adicionados e, finalmente, são divididos pelo total de dados.

Usando o exemplo anterior, seria obtido que a média aritmética é igual a:

(4 * 2 + 4 * 4 + 6 * 6 + 4 * 8) / 18 = (8 + 16 + 36 + 32) / 18 = 5,11111

Isso indica que o valor médio dos dados na tabela é 5.11111.

2- Médio

Para calcular a mediana de um conjunto de dados, todos os dados são ordenados do menor para o maior. Podem ocorrer dois casos:

– Se o número de dados for ímpar, a mediana é a que está no centro.

– Se o número de dados for par, a mediana é a média dos dois dados que permanecem no centro.

Quando se trata de dados agrupados, o cálculo da mediana é feito da seguinte maneira:

– N / 2 é calculado, onde N é o total de dados.

– O primeiro intervalo é pesquisado onde a frequência acumulada (a soma das frequências) é maior que N / 2 e o limite inferior desse intervalo, chamado Li, é selecionado.

A mediana é dada pela seguinte fórmula:

Me = Li + (Ls-Li) * (N / 2 – Frequência acumulada antes de Li) / frequência de [Li, Ls)

Ls é o limite superior do intervalo mencionado acima.

Se a tabela de dados anterior for usada, temos que N / 2 = 18/2 = 9. As frequências acumuladas são 4, 8, 14 e 18 (uma para cada linha da tabela).

Portanto, o terceiro intervalo deve ser selecionado, pois a frequência acumulada é maior que N / 2 = 9.

Então Li = 5 e Ls = 7. Aplicando a fórmula descrita acima, você deve:

Me = 5 + (7-5) * (9-8) / 6 = 5 + 2 * 1/6 = 5 + 1/3 = 16/3 ≈ 5,3333.

3- Moda

O modo é o valor que tem a maior frequência entre todos os dados agrupados; isto é, é o valor que é repetido mais vezes no conjunto de dados inicial.

Quando você tem uma quantidade muito grande de dados, a seguinte fórmula é usada para calcular o modo dos dados agrupados:

Mo = Li + (Ls-Li) * (frequência de Li – Frequência de L (i-1)) / ((frequência de Li – Frequência de L (i-1)) + (frequência de Li – Frequência de L ( i + 1)))

O intervalo [Li, Ls) é o intervalo em que a frequência mais alta é encontrada. Para o exemplo feito neste artigo, temos que o modo é dado por:

Mo = 5 + (7-5) * (6-4) / ((6-4) + (6-4)) = 5 + 2 * 2/4 = 5 + 1 = 6.

Outra fórmula usada para obter um valor aproximado para o modo é a seguinte:

Mo = Li + (Ls-Li) * (frequência L (i + 1)) / (frequência L (i-1) + frequência L (i + 1)).

Com esta fórmula, as contas são as seguintes:

Mo = 5 + (7-5) * 4 / (4 + 4) = 5 + 2 * 4/8 = 5 + 1 = 6.

Referências

1. Bellhouse, DR (2011). Abraham De Moivre: Preparando o cenário para a probabilidade clássica e suas aplicações. CRC Pressione.
2. Cifuentes, JF (2002). Introdução à Teoria da Probabilidade. Universidade Nacional da Colômbia.
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4. Larson, HJ (1978). Introdução à teoria das probabilidades e inferência estatística. Editorial Limusa.
5. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Probabilidade e estatística matemática: aplicações na prática clínica e na gestão em saúde. Edições Díaz de Santos.
6. Vázquez, AL e Ortiz, FJ (2005). Métodos estatísticos para medir, descrever e controlar a variabilidade. Ed. Universidade da Cantábria.
7. Vázquez, SG (2009). Manual de Matemática para acesso à Universidade. Editorial Centro de Estudos Ramon Areces SA.