Derivado cotangente: cálculo, demonstração, exercícios

A derivada do cotangente é igual ao oposto do quadrado da colheita “-Csc 2 “. Essa fórmula obedece às leis da derivada por definição e à diferenciação de funções trigonométricas. É indicado da seguinte forma:

d (ctg u) = -csc 2 u. du

Onde “du” simboliza a expressão derivada da função de argumento, com relação à variável independente.

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Fonte: Pixabay.com

Como é calculado?

O procedimento para desenvolver esses derivados é bastante simples. Apenas identifique o argumento e o tipo de função que ele representa.

Por exemplo, a expressão Ctg (f / g) apresenta uma divisão em seu argumento. Isso exigirá uma diferenciação em relação à U / V, após o desenvolvimento do derivado cotangente.

O cotangente é a função recíproca da tangente. Algebricamente, isso significa que:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

É incorreto dizer que a função cotangente é o “inverso” da tangente. Isso ocorre porque a função inversa da tangente, por definição, é tangente ao arco.

(Tg -1 x) = arctg x

De acordo com a trigonometria pitagórica, o cotangente está envolvido nas seguintes seções:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg 2 x + 1 = Csc 2 x

De acordo com a trigonometria analítica, responde às seguintes identidades:

Ctg (a + b) = (1 – tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a – b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a – tg b)

Ctg (2a) = (1 – tg 2 a) / (2tg a)

Características da função cotangente

É necessário analisar várias características da função f (x) = ctg x para definir os aspectos necessários para estudar sua diferenciabilidade e aplicação.

Assíntotas verticais

A função cotangente não está definida nos valores que zeram a expressão “Senx”. Devido ao seu equivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), ele terá uma indeterminação em todos os “nπ”, com n pertencente aos números inteiros.

Ou seja, em cada um desses valores de x = nπ, haverá uma assíntota vertical. Ao se aproximar à esquerda, o valor do cotangente diminuirá rapidamente e, ao se aproximar à direita, a função aumentará indefinidamente.

Domínio

O domínio da função cotangente é expresso pelo conjunto {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Isso é lido como “x que pertence ao conjunto de números reais, de modo que x é diferente de nπ, com n pertencendo ao conjunto de números inteiros”.

Range

O alcance da função cotangente varia de menos a mais infinito. Por isso, pode-se concluir que seu alcance é o conjunto de números reais R.

Frequência

A função cotangente é periódica e seu período é igual a π. Dessa maneira, a igualdade Ctg x = Ctg (x + nπ) é cumprida, onde n pertence a Z.

Comportamento

É uma função ímpar, pois Ctg (-x) = – Ctg x. Dessa forma, sabe-se que a função possui uma simetria em relação à origem das coordenadas. Também apresenta uma diminuição em todos os intervalos localizados entre duas assíntotas verticais sucessivas.

Não possui valores máximos ou mínimos, pois suas aproximações às assíntotas verticais apresentam comportamentos em que a função cresce ou diminui indefinidamente.

Os zeros ou raízes da função cotangente são encontrados nos múltiplos ímpares de π / 2. Isso significa que Ctg x = 0 é cumprido nos valores da forma x = nπ / 2 com um número inteiro ímpar.

Demonstração

Existem 2 maneiras de demonstrar a derivada da função cotangente.

Demonstração diferencial trigonométrica

A derivada da função cotangente do seu equivalente em senos e cossenos é demonstrada.

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É tratado como o derivado de uma divisão de funções

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Após a derivação, os fatores são agrupados e as identidades pitagóricas devem ser imitadas

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Substituir identidades e aplicar reciprocidade dá a expressão

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Demonstração por definição de derivada

A expressão a seguir corresponde à derivada por definição. Onde a distância entre 2 pontos da função se aproxima de zero.

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Substituindo o cotangente, é necessário:

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Identidades são aplicadas para a soma de argumentos e reciprocidade

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A fração do numerador é tradicionalmente operada

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Eliminando os elementos opostos e eliminando o fator comum que você obtém

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Aplicando identidades pitagóricas e reciprocidade, você precisa

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Os elementos avaliados em x são constantes em relação ao limite, portanto, podem deixar o argumento disso. Em seguida, as propriedades dos limites trigonométricos são aplicadas.

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O limite é avaliado

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É então fatorado para o valor desejado.

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A derivada do cotangente é assim demonstrada como o oposto do quadrado da colheita.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

De acordo com a função f (x), defina a expressão f ‘(x)

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A derivação correspondente é aplicada respeitando a regra da cadeia

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Derivando o argumento

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Às vezes, é necessário aplicar identidades recíprocas ou trigonométricas para adaptar as soluções.

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Exercício 2

Defina a expressão diferencial correspondente a F (x)

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De acordo com a fórmula de derivação e respeitando a regra da cadeia

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O argumento é derivado, enquanto o restante permanece o mesmo

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Derivando todos os elementos

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Produtos em operação tradicional da mesma base

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Os mesmos elementos são adicionados e o fator comum é extraído

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Os sinais são simplificados e operam. Dando lugar à expressão totalmente derivada

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Referências

  1. Série Trigonométrica, Volume 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
  2. Cálculo de uma única variável. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 de nov 2008
  3. Cálculo com trigonometria e geometria analítica. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Editores Saxões, 1988
  4. Análise Multivariável. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 de dezembro 2010
  5. Dinâmica de Sistemas: Modelagem, Simulação e Controle de Sistemas Mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de mar 2012
  6. Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 de janeiro 1999

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