O derivado da função tangente é um conceito fundamental no cálculo diferencial. Neste contexto, o derivado da função cotangente, que é o inverso da tangente, também desempenha um papel crucial. Neste artigo, exploraremos como calcular o derivado da função cotangente, demonstraremos sua fórmula e apresentaremos alguns exercícios práticos para ajudar na compreensão e aplicação deste conceito. Vamos mergulhar neste importante tópico do cálculo diferencial e aprofundar nosso entendimento sobre a derivada da função cotangente.
Descubra como calcular a derivada da cotangente em poucos passos simples.
A derivada da cotangente pode ser calculada de forma simples seguindo alguns passos. Para encontrar a derivada da função cotangente, é importante lembrar que a cotangente é o inverso da tangente, e sua derivada pode ser calculada usando as regras básicas de derivadas trigonométricas.
Para calcular a derivada da cotangente, primeiro precisamos lembrar da identidade trigonométrica que relaciona a cotangente com o seno e o cosseno: cot(x) = cos(x) / sen(x). A partir dessa identidade, podemos derivar a função cotangente em relação a x.
Para encontrar a derivada da cotangente, podemos usar a regra do quociente para derivadas. A derivada da cotangente é dada por: d/dx cot(x) = -csc^2(x). Ou seja, a derivada da cotangente de x é igual a menos o cosecante ao quadrado de x.
Portanto, para calcular a derivada da cotangente de uma função trigonométrica, basta lembrar da identidade trigonométrica que relaciona a cotangente com o seno e o cosseno, e aplicar a regra do quociente para derivadas. Com esses passos simples, é possível encontrar a derivada da cotangente de forma rápida e eficiente.
Aprenda a calcular a tangente cotangente de um ângulo de forma simples.
Para calcular a tangente cotangente de um ângulo, é importante lembrar das definições das funções trigonométricas. A tangente de um ângulo é igual ao seno dividido pelo cosseno desse mesmo ângulo, ou seja, tan(θ) = sen(θ) / cos(θ). Já a cotangente é o inverso da tangente, ou seja, cot(θ) = 1 / tan(θ).
Para calcular a tangente cotangente de um ângulo, basta encontrar os valores do seno e do cosseno desse ângulo e aplicar as fórmulas mencionadas acima. Por exemplo, se temos um ângulo de 30 graus, podemos determinar o seno e o cosseno desse ângulo (sen(30°) = 0.5 e cos(30°) = √3/2) e então calcular a tangente e a cotangente.
É importante praticar esse tipo de cálculo para se familiarizar com as fórmulas e com as relações entre as funções trigonométricas. Além disso, resolver exercícios que envolvam o cálculo da tangente cotangente de diferentes ângulos pode ajudar a reforçar o aprendizado e a compreensão dessas funções.
Derivado cotangente: cálculo, demonstração, exercícios.
Qual é o conjunto de números reais para a função cotangente?
A função cotangente é uma função trigonométrica que representa a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto de um triângulo retângulo. No entanto, é importante destacar que a função cotangente não está definida para todos os números reais. O conjunto de números reais para a função cotangente é dado por todos os números reais, exceto os múltiplos ímpares de π/2.
Para entender melhor essa restrição, podemos observar o comportamento da função cotangente ao se aproximar desses valores. Quando o argumento da função cotangente é um múltiplo ímpar de π/2, o denominador da razão se torna zero, o que resulta em uma indeterminação. Por exemplo, o valor de cot(π/2) é indefinido, pois a tangente de π/2 é infinito.
Portanto, para garantir que a função cotangente seja bem definida, devemos excluir os múltiplos ímpares de π/2 do conjunto de números reais para os quais ela é válida. Assim, podemos afirmar que o conjunto de números reais para a função cotangente é dado por todos os números reais, exceto os múltiplos ímpares de π/2.
Qual é a função derivada do cosseno?
A função derivada do cosseno é dada por −sen(x). Isso significa que ao derivarmos a função cosseno em relação a x, obtemos como resultado a função seno com um sinal negativo.
O cálculo da derivada do cosseno pode ser feito utilizando as regras de derivação básicas, como a regra da cadeia e a derivada das funções trigonométricas. A demonstração matemática desse resultado envolve a utilização das propriedades do cosseno e seno, bem como a definição de derivada.
Para praticar o cálculo da derivada do cosseno, é importante resolver exercícios que envolvam essa função trigonométrica. Isso ajudará a reforçar o entendimento do conceito e a aplicação das regras de derivação.
Derivado cotangente: cálculo, demonstração, exercícios
Derivado cotangente: cálculo, demonstração, exercícios
A derivada do cotangente é igual ao oposto do quadrado da colheita “-Csc 2 “. Essa fórmula obedece às leis da derivada por definição e à diferenciação de funções trigonométricas. É indicado da seguinte forma:
d (ctg u) = -csc 2 u. du
Onde “du” simboliza a expressão derivada da função de argumento, com relação à variável independente.
Como é calculado?
O procedimento para desenvolver esses derivados é bastante simples. Apenas identifique o argumento e o tipo de função que ele representa.
Por exemplo, a expressão Ctg (f / g) apresenta uma divisão em seu argumento. Isso exigirá uma diferenciação em relação à U / V, após o desenvolvimento do derivado cotangente.
O cotangente é a função recíproca da tangente. Algebricamente, isso significa que:
(1 / tg x) = ctg x
Ctg x = Cos x / Sen x
É incorreto dizer que a função cotangente é o “inverso” da tangente. Isso ocorre porque a função inversa da tangente, por definição, é tangente ao arco.
(Tg -1 x) = arctg x
De acordo com a trigonometria pitagórica, o cotangente está envolvido nas seguintes seções:
Ctg x = (cos x) / (sin x)
Ctg 2 x + 1 = Csc 2 x
De acordo com a trigonometria analítica, responde às seguintes identidades:
Ctg (a + b) = (1 – tg a. Tg b) / (tg a + tg b)
Ctg (a – b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a – tg b)
Ctg (2a) = (1 – tg 2 a) / (2tg a)
Características da função cotangente
É necessário analisar várias características da função f (x) = ctg x para definir os aspectos necessários para estudar sua diferenciabilidade e aplicação.
Assíntotas verticais
A função cotangente não está definida nos valores que zeram a expressão “Senx”. Devido ao seu equivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), ele terá uma indeterminação em todos os “nπ”, com n pertencente aos números inteiros.
Ou seja, em cada um desses valores de x = nπ, haverá uma assíntota vertical. Ao se aproximar à esquerda, o valor do cotangente diminuirá rapidamente e, ao se aproximar à direita, a função aumentará indefinidamente.
Domínio
O domínio da função cotangente é expresso pelo conjunto {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Isso é lido como “x que pertence ao conjunto de números reais, de modo que x é diferente de nπ, com n pertencendo ao conjunto de números inteiros”.
Range
O alcance da função cotangente varia de menos a mais infinito. Por isso, pode-se concluir que seu alcance é o conjunto de números reais R.
Frequência
A função cotangente é periódica e seu período é igual a π. Dessa maneira, a igualdade Ctg x = Ctg (x + nπ) é cumprida, onde n pertence a Z.
Comportamento
É uma função ímpar, pois Ctg (-x) = – Ctg x. Dessa forma, sabe-se que a função possui uma simetria em relação à origem das coordenadas. Também apresenta uma diminuição em todos os intervalos localizados entre duas assíntotas verticais sucessivas.
Não possui valores máximos ou mínimos, pois suas aproximações às assíntotas verticais apresentam comportamentos em que a função cresce ou diminui indefinidamente.
Os zeros ou raízes da função cotangente são encontrados nos múltiplos ímpares de π / 2. Isso significa que Ctg x = 0 é cumprido nos valores da forma x = nπ / 2 com um número inteiro ímpar.
Demonstração
Existem 2 maneiras de demonstrar a derivada da função cotangente.
Demonstração diferencial trigonométrica
A derivada da função cotangente do seu equivalente em senos e cossenos é demonstrada.
É tratado como o derivado de uma divisão de funções
Após a derivação, os fatores são agrupados e as identidades pitagóricas devem ser imitadas
Substituir identidades e aplicar reciprocidade dá a expressão
Demonstração por definição de derivada
A expressão a seguir corresponde à derivada por definição. Onde a distância entre 2 pontos da função se aproxima de zero.
Substituindo o cotangente, é necessário:
Identidades são aplicadas para a soma de argumentos e reciprocidade
A fração do numerador é tradicionalmente operada
Eliminando os elementos opostos e eliminando o fator comum que você obtém
Aplicando identidades pitagóricas e reciprocidade, você precisa
Os elementos avaliados em x são constantes em relação ao limite, portanto, podem deixar o argumento disso. Em seguida, as propriedades dos limites trigonométricos são aplicadas.
O limite é avaliado
É então fatorado para o valor desejado.
A derivada do cotangente é assim demonstrada como o oposto do quadrado da colheita.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
De acordo com a função f (x), defina a expressão f ‘(x)
A derivação correspondente é aplicada respeitando a regra da cadeia
Derivando o argumento
Às vezes, é necessário aplicar identidades recíprocas ou trigonométricas para adaptar as soluções.
Exercício 2
Defina a expressão diferencial correspondente a F (x)
De acordo com a fórmula de derivação e respeitando a regra da cadeia
O argumento é derivado, enquanto o restante permanece o mesmo
Derivando todos os elementos
Produtos em operação tradicional da mesma base
Os mesmos elementos são adicionados e o fator comum é extraído
Os sinais são simplificados e operam. Dando lugar à expressão totalmente derivada
Referências
- Série Trigonométrica, Volume 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
- Cálculo de uma única variável. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 de nov 2008
- Cálculo com trigonometria e geometria analítica. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Editores Saxões, 1988
- Análise Multivariável. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 de dezembro 2010
- Dinâmica de Sistemas: Modelagem, Simulação e Controle de Sistemas Mecatrônicos. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 de mar 2012
- Cálculo: Matemática e Modelagem. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 de janeiro 1999