Transformação discreta de Fourier: propriedades, aplicativos, exemplos

A transformada discreta de Fourier é um método numérico usado para definir amostras referentes às frequências espectrais que compõem um sinal. Estude funções periódicas em parâmetros fechados, resultando em outro sinal discreto.

Para obter a transformada de Fourier discreta de N pontos, em um sinal discreto, as 2 condições a seguir em uma sequência x [n] devem ser atendidas

x [n] = 0 n <0> n> N – 1

Se essas condições forem atendidas, a transformação discreta de Fourier pode ser definida como

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TDF

A transformada de Fourier discreta pode ser definida como uma amostra em N pontos da transformação de Fourier.

Interpretação da transformada de Fourier discreta

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Fonte: Pexels

Existem 2 pontos de vista dos quais os resultados obtidos em uma sequência x s [n] podem ser interpretados através da transformada discreta de Fourier.

-O primeiro corresponde aos coeficientes espectrais, já conhecidos da série de Fourier. É observado em sinais periódicos discretos, com amostras coincidindo com a sequência x s [n].

-O segundo trata do espectro de um sinal aperiódico discreto, com amostras correspondentes à sequência x s [n].

A transformação discreta é uma aproximação ao espectro do sinal analógico original. Sua fase depende dos momentos de amostragem, enquanto sua magnitude depende do intervalo de amostragem.

Propriedades

Os fundamentos algébricos da estrutura compõem as bases lógicas das seções a seguir.

Linearidade

C. S n → C. F [ S k ]; Se uma sequência for multiplicada por um escalar, sua transformação também será.

T N + V N = M [T K ] + F [V k ]; A transformação de uma soma é igual à soma da transformada.

Dualidade

F [S n ] → (1 / N) S- k; Se uma transformação de Fourier discreta for recalculada para uma expressão já transformada, a mesma expressão será obtida, dimensionada em N e invertida em relação ao eixo vertical.

Convolução

Perseguindo objetivos semelhantes aos que na transformação de Laplace , a convolução de funções se refere ao produto entre suas transformadas de Fourier. A convolução também se aplica a tempos discretos e é responsável por muitos procedimentos modernos.

X n * R n → F [X n ] .F [R n ]; A transformação de uma convolução é igual ao produto da transformação.

X n . R n → F [X n ] * F [R n ]; A transformação de um produto é igual à convolução do transformado.

Deslocamento

X n-m → F [X k ] e –i (2π / N) km ; Se uma sequência for atrasada em m amostras, seu efeito na transformação discreta será uma modificação do ângulo definido por (2π / N) km.

Simetria conjugada

X t [-k] = X * t [k] = X t [N – K]

Modulação

W -nm N . x [n] ↔ X t [k – m]

Produto

x [n] y [n] ↔ (1 / N) X t [k] * Y t [k]

Simetria

X [-n] ↔ X T [k] = X * T [k]

Conjugado

x * [n] ↔ X * t [-k]

Equação de Parseval

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Semelhanças e diferenças com a transformada de Fourier

Com relação à transformada de Fourier convencional, ela possui várias semelhanças e diferenças. A transformação de Fourier converte uma sequência em uma linha contínua. Desse modo, diz-se que o resultado da variável de Fourier é uma função complexa da variável real.

A transformada discreta de Fourier, ao contrário, recebe um sinal discreto e o transforma em outro sinal discreto, ou seja, uma sequência.

Para que serve a transformada discreta de Fourier?

Eles servem principalmente para simplificar significativamente as equações, enquanto transformam expressões derivadas em elementos de poder . Denotando expressões diferenciais em formas polinomiais integráveis.

Na otimização, modulação e modelagem de resultados, atua como uma expressão padronizada, sendo um recurso frequente para a engenharia após várias gerações.

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Fonte: pixabay

História

Este conceito matemático foi apresentado por Joseph B. Fourier em 1811, enquanto desenvolvia um tratado sobre a propagação de calor. Foi rapidamente adotado por vários ramos da ciência e engenharia.

Foi estabelecido como a principal ferramenta de trabalho no estudo de equações com derivadas parciais, comparando mesmo com a relação de trabalho entre a transformada de Laplace e as equações diferenciais ordinárias.

Qualquer função que possa ser trabalhada com a conversão de Fourier deve ter nulidade fora de um parâmetro definido.

Transformada discreta de Fourier e sua inversa

A transformação discreta é obtida através da expressão:

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Após uma sequência discreta X [n]

O inverso da transformação discreta de Fourier é definido através da expressão:

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PTO inversa

Quando a transformação discreta for alcançada, defina a sequência no domínio do tempo X [n].

Enrolado

O processo de parametrização correspondente à transformada discreta de Fourier está na envenenada. Para trabalhar a transformação, devemos limitar a sequência no tempo. Em muitos casos, os sinais em questão não têm essas limitações.

Uma sequência que não atende aos critérios de tamanho a serem aplicados à transformação discreta pode ser multiplicada por uma função de “janela” V [n], definindo o comportamento da sequência em um parâmetro controlado.

X [n]. V [n]

A largura do espectro dependerá da largura da janela. À medida que a largura da janela aumenta, a transformação calculada será mais estreita.

Aplicações

Cálculo da solução fundamental

A transformada discreta de Fourier é uma ferramenta poderosa no estudo de sequências discretas.

A transformação discreta de Fourier transforma uma função variável contínua em uma transformação variável discreta.

O problema de Cauchy para a equação do calor apresenta um campo de aplicação frequente da transformada de Fourier discreta . Onde é gerada a função de núcleo de calor ou núcleo de Dirichlet, que se aplica à amostragem de valores em um parâmetro definido.

Teoria dos sinais

A razão geral para a aplicação da transformada discreta de Fourier neste ramo é principalmente devida à decomposição característica de um sinal como superposição infinita de sinais tratáveis ​​com mais facilidade.

Pode ser uma onda sonora ou uma onda eletromagnética, a discreta transformada de Fourier a expressa em uma superposição de ondas simples. Essa representação é bastante frequente na engenharia elétrica.

A Série Fourier

São séries definidas em termos de cossenos e seios. Eles servem para facilitar o trabalho com funções periódicas gerais. Quando aplicados, fazem parte das técnicas para resolver equações diferenciais parciais e ordinárias.

As séries de Fourier são ainda mais gerais que as de Taylor, porque executam funções descontínuas periódicas que não têm representação nas séries de Taylor.

Outras formas da série Fourier

Para entender a transformação de Fourier analiticamente, é importante revisar as outras maneiras pelas quais a série de Fourier pode ser encontrada, até que a série de Fourier possa ser definida em sua notação complexa.

Série -Fourier em uma função de período de 2L:

Muitas vezes é necessário adaptar a estrutura de uma série de Fourier a funções periódicas cujo período é p = 2L> 0 no intervalo [-L, L].

– Série de Fourier em funções ímpares e pares

O intervalo [–π, π] é considerado, o que oferece vantagens ao tirar proveito das características simétricas das funções.

Se f for par, a série de Fourier é estabelecida como uma série de cossenos.

Se f for ímpar, a série de Fourier é estabelecida como uma série de peitos.

– Notação complexa da série Fourier

Se você possui uma função f (t), que atende a todos os requisitos da série de Fourier, é possível denotá-la no intervalo [-t, t] usando sua notação complexa:

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Exemplos

No que diz respeito ao cálculo da solução fundamental, são apresentados os seguintes exemplos:

Equação de Laplace

Equação do calor

Equação de Schrödinger

Equação de onda

Por outro lado, são exemplos de aplicação da transformada discreta de Fourier no campo da teoria dos sinais:

-Problemas de identificação do sistema. Ano fiscal estabelecido

-Problema com a consistência do sinal de saída

-Problemas com filtragem de sinal

Exercícios

Exercício 1

Calcule a transformação discreta de Fourier para a próxima sequência.

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O TDF de x [n] pode ser definido como:

X t [k] = {4, -j2, 0, j2} para k = 0, 1, 2, 3

Exercício 2

Você deseja determinar o sinal espectral definido pela expressão x (t) = e- t através de um algoritmo digital . Onde o coeficiente máximo de solicitação de frequência é f m = 1Hz. Um harmônico corresponde a f = 0,3 Hz. O erro é limitado a menos de 5%. Calcular f s , D e N.

Considerando o teorema da amostragem f s = 2f m = 2 Hz

É escolhida uma resolução de frequência de f = 0,1 Hz, onde D = 1 / 0,1 = 10s é obtido

0,3 Hz é a frequência correspondente ao índice k = 3, em que N = 3 × 8 = 24 amostras. Indicando que f s = N / A = 24/10 = 2,4> 2

Como o objetivo é atingir o menor valor possível para N, os seguintes valores podem ser considerados uma solução:

f = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Referências

  1. Dominando a transformação discreta de Fourier em uma, duas ou várias dimensões: armadilhas e artefatos. Isaac Amidror Springer Science & Business Media, 19 de jul 2013
  2. A DFT: um manual do proprietário para a transformação discreta de Fourier. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1º de janeiro 1995
  3. Processamento Digital de Sinais: Teoria e Prática. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
  4. Transformações e algoritmos rápidos para análise e representação de sinais. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 de dezembro 2012
  5. Transformadas de Fourier discretas e contínuas: análise, aplicações e algoritmos rápidos. Eleanor Chu CRC Press, 19 de março 2008

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