Séries de poder: exemplos e exercícios

Séries de poder: exemplos e exercícios

Uma série de potências  consiste em um somatório de termos na forma de potências da variável x , ou mais geralmente, de xc , onde c é um número real constante. Na notação de soma, uma série de poderes é expressa da seguinte forma:

Na n (x -c) n = a o + a 1 (x – c) + a 2 (x – c) 2 + a 3 (x – c) 3 +… + a n (x – c) n

Onde os coeficientes a o , a 1 , a 2 … são números reais e a série começa em n = 0.

Essa série é centrada no valor c que é constante, mas você pode escolher que c seja igual a 0; nesse caso, a série de potências é simplificada para:

Na n x n = a o + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n

As séries começam com  um o (xc) e a ou x 0, respectivamente. Mas sabemos que:

(xc) = x = 1

Por conseguinte,  um o (xc) = um ou x  =  um o (termo independente)

O bom das séries de potência é que você pode expressar funções com elas e isso tem muitas vantagens, especialmente se você deseja trabalhar com uma função complicada.

Nesse caso, em vez de usar a função diretamente, é utilizado seu desenvolvimento em séries de poderes, que podem ser mais fáceis de derivar, integrar ou trabalhar numericamente.

Claro que tudo está condicionado à convergência da série. Uma série converge ao adicionar um grande número de termos, resultando em um valor fixo. E se adicionarmos ainda mais termos, continuaremos obtendo esse valor.

Funções como séries de potência

Como exemplo de uma função expressa como uma série de potências, tomemos  f (x)  = e x .

Esta função pode ser expressa em termos de uma série de potências da seguinte maneira:

e ≈ 1 + x + (x 2 /2!) + (x 3 /3!) + (x 4 /4!) + (x 5 / os 5!) + …

Onde! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … e você pega 0! = 1.

Vamos verificar com a ajuda de uma calculadora se a série realmente corresponde à função fornecida explicitamente. Por exemplo, vamos começar fazendo x = 0.

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Sabemos que e = 1. Vamos ver o que a série faz:

e ≈ 1 + 0 + (0 2 /2!) + (0 3 /3!) + (0 4 /4!) + (0 5 / os 5!) + … = 1

E agora vamos tentar x = 1 . Uma calculadora mostra que  e 1 = 2,71828 e depois comparamos com a série:

e uma ≈ 1 + 1 + (1 2 /2!) + (1 3 /3!) + (1 4 /4!) + (1 5 / os 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0,0083 + … ≈ 2.7167

Com apenas 5 termos, já temos uma correspondência exata na e 2.71 . Nossa série carece de um pouco mais, mas à medida que mais termos são adicionados, certamente converge para o valor exato de e . A representação é exata quando n → ∞ .

Se a análise anterior for repetida para n = 2 , resultados muito semelhantes são obtidos.

Dessa maneira, temos certeza de que a função exponencial f (x) = e x pode ser representada por esta série de potências:

Série de potência geométrica

A função f (x) = e x não é a única função que suporta uma representação em série de potências. Por exemplo, a função  f ( x) = 1/1 – x   se parece muito com a conhecida série geométrica convergente :

Nar n = a / 1 – r

Basta fazer a = 1 er = x para obter uma série adequada para esta função, centrada em c = 0:

Entretanto, sabe-se que essa série é convergente para │r│ <1, portanto, a representação é válida apenas no intervalo (-1,1), mesmo que a função seja válida para todos os x, exceto x = 1.

Quando você deseja definir essa função em outro intervalo, concentre-se apenas em um valor adequado e pronto.

Como encontrar o desenvolvimento serial de poderes de uma função

Qualquer função pode ser desenvolvida em uma série de potências centrada em c, desde que tenha derivadas de todas as ordens em x = c. O procedimento utiliza o seguinte teorema, chamado  teorema de Taylor:

Seja f função (x) com derivados de ordem n , indicados como f (n) , que suporta um desenvolvimento em série de energia no intervalo de I . Seu desenvolvimento da série Taylor é:

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De maneira que:

f (x) = f (c) + f ‘(c), (xc) + f’ ‘(c) (XC) 2 /2 + f ”’ (c) (XC) 3 /6 + … R n

Onde R n , que é o enésimo termo da série, é chamado o restante :

Quando c = 0, a série é chamada de série Maclaurin .

Esta série apresentada aqui é idêntica à série apresentada no início, mas agora temos uma maneira de encontrar explicitamente os coeficientes de cada termo, dados por:

No entanto, deve-se garantir que a série converja para a função a ser representada. Acontece que nem todas as séries de Taylor necessariamente convergem para f (x) que foi levado em consideração no cálculo dos coeficientes a n .

Isso acontece porque talvez as derivadas da função, avaliadas em x = c, coincidam com o mesmo valor que as derivadas de outra, também em x = c . Nesse caso, os coeficientes seriam os mesmos, mas o desenvolvimento seria ambíguo, pois não havia certeza de qual função ele corresponde.

Felizmente, há uma maneira de saber:

Critérios de convergência

Para evitar ambiguidade, se R n → 0 quando n → ∞ para todo x no intervalo I, a série converge para f (x).

Exercício

– Exercício resolvido 1

Encontre a série geométrica de potências para a função f (x) = 1/2 – x centralizada em c = 0.

Solução

A função fornecida deve ser expressa de tal maneira que coincida o mais próximo possível com 1/1 x, cuja série é conhecida. Portanto, vamos reescrever numerador e denominador, sem alterar a expressão original:

1/2 – x = (1/2) / [1 – (x / 2)]

Como ½ é constante, ele sai do somatório e é escrito em termos da nova variável x / 2:

Observe que x = 2 não pertence ao domínio da função e, de acordo com o critério de convergência fornecido na seção Série de Potência Geométrica , o desenvolvimento é válido para │x / 2│ <1 ou equivalentemente -2 <x <2.

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– Exercício resolvido 2

Encontre os 5 primeiros termos do desenvolvimento da série Maclaurin da função f (x) = sin x.

Solução

Passo 1

Primeiro, encontramos os derivados:

-Derivada da ordem 0: é a mesma função f (x) = sin x

-Primeira derivada: (sin x) ´ = cos x

-Segunda derivada: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = – sin x

-Terceira derivada: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = – cos x

-Quinta derivada: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Passo 2

Então cada derivada é avaliada em x = c, assim como o desenvolvimento de Maclaurin, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; – sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

etapa 3

Os coeficientes a n são construídos ;

a o = 0/0! = 0; a 1 = 1/1! = 1; a 2 = 0/2! = 0; a 3 = -1 / 3! a 4 = 0/4! = 0

Passo 4

Finalmente, a série é montada de acordo com:

sin x ≈ 0.x + 1. x 1 + 0 .x 2 – (1/3!) x 3 + x 4 … = x – (1/3!)) x 3  +…

O leitor precisa de mais termos? Quantos mais, a série está mais próxima da função.

Observe que há um padrão nos coeficientes, o próximo termo não nulo é 5 e todos os números ímpares também são diferentes de 0, alternando sinais, tais como:

sin x ≈ x – (1/3!)) x 3   + (1/5!)) x 5 – (1/7!)) x 7   +….

É deixado como um exercício para verificar se converge, o critério do quociente pode ser usado para a convergência de séries.

Referências

  1. Fundação CK-12. Power Series: representação de funções e operações. Recuperado de: ck12.org.
  2. Engler, A. 2019. Cálculo Integral. Universidade Nacional do Litoral.
  3. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.
  4. Textos Livres de Matemática. Série de potência. Recuperado de: math.liibretexts.org.
  5. Wikipedia. Série de potência. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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