Números naturais: história, propriedades, operações, exemplos

Números naturais: história, propriedades, operações, exemplos

Os números naturais são aqueles que servem para contar o número de elementos de um determinado conjunto. Por exemplo, números naturais são aqueles usados ​​para descobrir quantas maçãs existem em uma caixa. Eles também são usados ​​para classificar itens em um conjunto, por exemplo, alunos da primeira série em ordem de tamanho. 

No primeiro caso, falamos de números cardinais e no segundo de números ordinais , de fato, “primeiro” e “segundo” são números naturais ordinais. Pelo contrário, um (1), dois (2) e três (3) são números naturais cardinais.

Além de servir para contar e ordenar, os números naturais também são usados ​​como uma maneira de identificar e diferenciar os elementos de um determinado conjunto.

Por exemplo, o bilhete de identidade tem um número único, atribuído a cada pessoa que pertence a um determinado país.

Na notação matemática, o conjunto de números naturais é indicado da seguinte forma:

= {1, 2, 3, 4, 5, ………}

E o conjunto de números naturais com zero é denotado dessa outra maneira:

+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

Nos dois conjuntos, as reticências indicam que os elementos continuam consecutivamente até o infinito, sendo a palavra infinito a maneira de dizer que o conjunto não tem fim.

Não importa quão grande seja um número natural, você sempre poderá obter o próximo valor mais alto.

História

Antes que os números naturais aparecessem, ou seja, o conjunto de símbolos e nomes para indicar uma certa quantidade, os primeiros humanos usaram outro conjunto de comparação, por exemplo, os dedos das mãos.

Então, para dizer que encontraram um rebanho de cinco mamutes, eles usaram os dedos de uma mão para simbolizar esse número.

Esse sistema pode variar de um grupo humano para outro, talvez outros usem um grupo de paus, pedras, contas de colar ou nós em uma corda em vez dos dedos. Mas a coisa mais segura é que eles usaram os dedos.

Então os símbolos começaram a aparecer para representar uma certa quantidade. A princípio, eram marcas em um osso ou um graveto.

São conhecidas gravuras cuneiformes em placas de barro, representando símbolos numéricos e datando de 400 antes da era cristã, encontradas na Mesopotâmia , que atualmente é a nação do Iraque.

Os símbolos evoluíram, então os gregos e mais tarde os romanos usavam letras para indicar números.

Números arábicos

Os algarismos arábicos são o sistema que usamos hoje e foram trazidos para a Europa pelos árabes que ocupavam a Península Ibérica, mas na verdade foram inventados na Índia, motivo pelo qual são conhecidos como sistema de numeração indo-árabe.

Nosso sistema de numeração é baseado em dez, porque existem dez dedos.

Temos dez símbolos para expressar qualquer quantidade numérica, um símbolo para cada dedo.

Estes símbolos são:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Com esses símbolos, é possível representar qualquer quantidade usando o sistema posicional: 10 é uma dez unidades zero, 13 é uma dez e três unidades, 22 duas dezenas duas unidades.

Deve ficar claro que, além dos símbolos e do sistema de numeração, os números naturais sempre existiram e sempre foram utilizados pelos seres humanos de uma maneira ou de outra.

Propriedades dos números naturais

O conjunto de números naturais é:

+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}

E com eles você pode contar o número de elementos em outro conjunto ou também ordená-los, se cada um tiver um número natural atribuído.

É infinito e contável

O conjunto de números naturais é um conjunto ordenado que possui infinitos elementos.

No entanto, é um conjunto contável no sentido de que você pode saber quantos elementos ou números naturais existem entre um número e outro.

Por exemplo, sabemos que entre 5 e 9 existem cinco elementos, incluindo 5 e 9.

É um conjunto ordenado

Sendo um conjunto ordenado, você pode saber quais números estão após ou antes de um determinado número. Dessa forma, é possível estabelecer, entre dois elementos do conjunto natural, relações de comparação como estas:

7> 3 significa que sete é maior que três

2 <11 é lido dois é menor que onze

Eles podem ser agrupados (operação de adição)

3 + 2 = 5 significa que, se você juntar três elementos com dois elementos, terá cinco elementos. O símbolo + indica a operação de adição.

Operações com números naturais

– Soma

1.- A soma é uma operação interna , no sentido de que se dois elementos do conjunto dos números naturais forem adicionados, será obtido outro elemento que pertence ao referido conjunto. Simbolicamente, seria assim:

Se aε  ℕ e bε  , então a + b £   

2.- A operação de soma dos naturais é comutativa , o que significa que o resultado é o mesmo, mesmo que os adendos sejam invertidos. Simbolicamente, é expresso assim:

Se a  ℕ ℕ e b ∊  , então a + b = b + a = c onde c ∊ 

Por exemplo, 3 + 5 = 8 e 5 + 3 = 8, em que 8 é um elemento de números naturais.

3.- A soma dos números naturais preenche a propriedade associativa :

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Um exemplo tornará isso mais claro. Podemos adicionar assim:

3 + 6 + 8 = 3 + (6 + 8) = 3 + 14 = 17

E desta maneira também:

3 + 6 + 8 = (3 + 6) + 8 = 9 + 8 = 17

Por fim, se for adicionado dessa maneira, o mesmo resultado também será obtido:

3 + 6 + 8 = (3 + 8) + 6 = 11 + 6 = 17

4.- Existe o elemento neutro da soma e o referido elemento é zero: a + 0 = 0 + a = a. Por exemplo:

7 + 0 = 0 + 7 = 7.

– Subtração

-O operador de subtração é indicado pelo símbolo -. Por exemplo:

5 – 3 = 2.

É importante que o primeiro operando seja maior ou igual a (≥) o segundo operando, porque, caso contrário, a operação de subtração não seria definida nos naturais:

a – b = c, onde c  ℕ ℕ se e somente se a ≥ b.

– Multiplicação

-A multiplicação é denotada por a ⋅ b e significa somar a si b vezes. Por exemplo: 6 ⋅ 4 = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.

– Divisão

A divisão é denotada por: a ÷ b significa quantas vezes b está em a. Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3 porque 2 está contido em 6 três vezes (3).

Exemplos

– Exemplo 1

Em uma caixa são contadas 15 maçãs, enquanto em outras 22 são contadas. Se todas as maçãs da segunda caixa forem colocadas na primeira caixa, quantas maçãs estarão na primeira caixa?

Responda

15 + 22 = 37 maçãs.

– exemplo 2

Se 5 forem removidos da caixa de 37 maçãs, quantos serão deixados na caixa?

Responda

37 – 5 = 32 maçãs.

– exemplo 3

Se você tiver 5 caixas com 32 maçãs cada, quantas maçãs haverá no total?

Responda

A operação seria adicionar 32 a si mesma 5 vezes o que é indicado da seguinte maneira:

32 ⋅ 5 = 32 + 32 + 32 + 32 + 32 = 160

– exemplo 4

Você deseja dividir uma caixa de 32 maçãs em 4 partes. Quantas maçãs cada parte contém?

Responda

A operação é uma divisão que é denotada assim:

32 ÷ 4 = 8

Em outras palavras, existem quatro grupos de oito maçãs cada.

Referências

  1. Conjunto de números naturais para a quinta série do ensino fundamental. Recuperado de: servicioseducativas.net
  2. Matemática para crianças. Números naturais. Recuperado de: elhuevodechocolate.com
  3. Martha. Números naturais. Recuperado de: superprof.es
  4. Um professor. Números naturais. Recuperado de: unprofesor.com
  5. wikipedia. Número natural. Recuperado de: wikipedia.com

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