Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Os números transcendentes são um tipo especial de número real que não pode ser expresso como raiz de uma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em outras palavras, são números que não são soluções de nenhuma equação algébrica.

Existem diversas fórmulas e propriedades que podem ser utilizadas para identificar e trabalhar com números transcendentes, como por exemplo a fórmula de Euler para números transcendentes como o número π e o número de Euler. Além disso, existem diversos exemplos de números transcendentes famosos, como π, e, √2, entre outros.

Para praticar e aprofundar o conhecimento sobre números transcendentes, é possível realizar diversos exercícios que envolvam identificar se um número é transcendente, provar propriedades relacionadas a esses números e resolver problemas que envolvam seu uso em diversas áreas da matemática. Com isso, é possível compreender melhor a importância e a complexidade dos números transcendentes no universo matemático.

Entendendo o conceito de números transcendentes e sua importância na matemática.

Números transcendentes são números reais que não podem ser a solução de uma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em outras palavras, são números que não podem ser expressos como raiz de uma equação algébrica. Eles são importantes na matemática por desafiarem a compreensão e a representação dos números reais.

Um exemplo clássico de número transcendente é o número pi (π), que é a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. Outro exemplo famoso é o número de Euler (e), que é a base dos logaritmos naturais.

Para identificar se um número é transcendente, podemos utilizar algumas fórmulas específicas, como a fórmula de Lindemann-Weierstrass. Essa fórmula estabelece que, se α é um número algébrico diferente de zero, então e^α é um número transcendente. Essa fórmula foi fundamental para provar a transcendência de π e e.

Para praticar o conceito de números transcendentes, podemos resolver alguns exercícios. Por exemplo, determine se os seguintes números são transcendentes: √2, 2^√2, e ln(2).

A transcendência de PI: entenda por que esse número é infinito e irracional.

Números transcendentes são números reais que não são raízes de nenhum polinômio não nulo com coeficientes inteiros. Um exemplo clássico de número transcendente é o número π (pi), que representa a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Neste artigo, vamos explorar a transcendência de π e entender por que esse número é infinito e irracional.

Para começar, é importante ressaltar que π é um número irracional, o que significa que não pode ser representado como uma fração de dois números inteiros. Isso implica que a expansão decimal de π é infinita e não periódica, ou seja, seus dígitos decimais não se repetem em nenhum padrão previsível.

Além disso, a transcendência de π foi demonstrada pela primeira vez por Johann Lambert em 1768 e posteriormente por Ferdinand von Lindemann em 1882. A demonstração de Lindemann foi baseada na relação entre π e os números complexos, mostrando que π é transcendente porque é uma solução da equação polinomial x^2 – π = 0.

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Portanto, podemos concluir que π é um número transcendente porque não pode ser expresso como a raiz de nenhum polinômio não nulo com coeficientes inteiros. Sua infinitude e irracionalidade fazem dele um dos números mais fascinantes e misteriosos da matemática, sendo utilizado em diversas áreas como geometria, trigonometria e cálculo.

O que são os números algébricos e como identificá-los em equações matemáticas?

Os números algébricos são aqueles que podem ser expressos como raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Em outras palavras, são números que satisfazem alguma equação polinomial com coeficientes inteiros, como por exemplo: raízes quadradas, cúbicas, etc.

Para identificar os números algébricos em equações matemáticas, basta verificar se eles satisfazem alguma equação polinomial com coeficientes inteiros. Por exemplo, se um número x satisfaz a equação x^2 – 2 = 0, então ele é um número algébrico, pois é raiz de uma equação polinomial com coeficientes inteiros.

Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Os números transcendentes são números que não podem ser expressos como raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Em outras palavras, são números que não satisfazem nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros.

Um exemplo famoso de número transcendente é o número π (pi), que é a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro. Outro exemplo é o número e, que é a base dos logaritmos naturais. Esses números são transcendentes e não podem ser expressos como raízes de equações polinomiais.

Para identificar os números transcendentes, é necessário verificar se eles podem ser expressos como raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Se não for possível, então o número é transcendente.

É importante compreender a diferença entre esses dois tipos de números na matemática.

Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Os números transcendentais são aqueles que não são obtidos como resultado de uma equação polinomial. O oposto de um número transcendente é um número algébrico , que são soluções de uma equação polinomial do tipo:

a n x n + a n-1 x n-1 + …… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0

Onde os coeficientes a n , a n-1 , … .. a 2 , a 1 , a 0 são números racionais,  chamados de coeficientes do polinômio . Se um número x é uma solução para a equação acima, esse número não é transcendente.

Analisaremos alguns números e veremos se eles são transcendentes ou não:

a) 3 não é transcendente porque é uma solução de x – 3 = 0.

b) -2 não pode ser transcendente porque é uma solução de x + 2 = 0.

c) ⅓ é uma solução de 3x – 1 = 0

d) Uma solução da equação x 2 – 2x + 1 = 0 é √2 -1, portanto esse número, por definição, não é transcendente.

e) Nem é √2 porque é o resultado da equação x 2 – 2 = 0. Ao quadrado √2 resulta 2, que subtraído de 2 é igual a zero. Então √2 é um número irracional, mas não é transcendente.

O que são números transcendentes?

O problema é que não existe uma regra geral para obtê-los (mais tarde diremos um formulário), mas alguns dos mais famosos são o número pi e o número de Neper , denotados respectivamente por: π e e .

O número π

O número π aparece naturalmente ao observar que o quociente matemático entre o perímetro P de um círculo e seu diâmetro D, independentemente de ser um círculo pequeno ou grande, sempre fornece o mesmo número, chamado  pi :

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Isso significa que, se o diâmetro da circunferência for tomado como unidade de medida, para todas elas grandes ou pequenas, o perímetro será sempre P = 3,14 … = π , como pode ser visto na animação da figura 2.

Para determinar mais casas decimais, precisamos medir P e D com mais precisão e depois calcular o quociente, que foi feito matematicamente. A conclusão é que as casas decimais do quociente são infinitas e nunca se repetem; portanto, o número π não é apenas transcendente, mas também irracional .

Um número irracional é aquele número que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. 

Todo número transcendente é conhecido por ser irracional, mas não é verdade que todos os números irracionais sejam transcendentes. Por exemplo, √2 é irracional, mas não é transcendente.

O número e

O número transcendente e é a base dos logaritmos neperianos e sua aproximação decimal é:

e 2.718281828459045235360….

Se alguém quisesse escrever o número e exatamente, seria necessário escrever decimais infinitos, porque todo número transcendente é irracional, como foi dito anteriormente.

Os dez primeiros dígitos de e são fáceis de lembrar:

2,7 1828 1828 e, embora pareça seguir um padrão repetitivo, isso não é alcançado em decimais de ordem maior que nove.

Uma definição mais formal de e é a seguinte:

Isso significa que o valor exato de e é alcançado executando a operação indicada nesta fórmula, quando o número natural n tende ao infinito.

Isso explica por que só podemos obter aproximações de e , pois, por maior que seja o número n, sempre podemos encontrar um  n maior.

Vamos procurar algumas abordagens por conta própria:

-Quando n = 100 então (1 + 1/100) 100 = 2,70481 que dificilmente coincide no primeiro decimal com o valor “verdadeiro” de e.

-Se você escolher n = 10.000, possui (1 + 1 / 10.000) 10.000 = 2,71815 que corresponde ao valor “exato” de e nas três primeiras casas decimais.

Seria necessário continuar esse processo até o infinito para obter o valor “verdadeiro” de e. Acho que não temos tempo para fazê-lo, mas vamos fazer mais uma tentativa:

Vamos usar n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) 100.000 = 2.7182682372

Possui apenas quatro casas decimais que correspondem ao valor considerado exato.

O importante é entender que, quanto maior o valor de n escolhido para calcular e n , mais próximo ele estará do valor verdadeiro. Mas esse verdadeiro valor só será obtido quando n for infinito.

Outros números importantes

Além desses números famosos, existem outros números transcendentes, por exemplo:

– 2 √2

Qualquer número algébrico, diferente de 0 ou 1, elevado a um expoente irracional será um número transcendente.

-O número de Champernowne na base 10: 

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C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-O número de Champernowne na base 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-O número Gamma γ ou constante de Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Que é obtido fazendo o seguinte cálculo:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n – ln (n)

Quando n é muito, muito grande. Para ter o valor exato do número gama, seria necessário fazer o cálculo com n infinito. Algo semelhante ao que fizemos acima.

E há muitos números mais importantes. O grande matemático Georg Cantor, nascido na Rússia e que viveu entre 1845 e 1918, mostrou que o conjunto de números transcendentes é muito maior que o conjunto de números algébricos.

Fórmulas em que o número transcendente π aparece

O perímetro da circunferência

P = π D = 2 π R, onde P é o perímetro, D o diâmetro e R o raio da circunferência. Deve-se lembrar que:

-O diâmetro da circunferência é o segmento mais longo que une dois pontos e sempre passa pelo centro,

-O raio tem metade do diâmetro e é o segmento que vai do centro até a aresta.

Área de um círculo

A = π R 2 = π D 2

Superfície de uma esfera

S = 4 π R2 .

Sim. Embora possa não parecer, a superfície de uma esfera é a mesma que a de quatro círculos do mesmo raio que a esfera.

Volume de discagem

V = 4/3 π R 3

Exercícios

– Exercício 1

A pizzaria “EXÓTICA” vende pizzas de três diâmetros: 30 cm pequeno, 37 cm médio e 45 cm grandes. Uma criança está com muita fome e percebeu que duas pequenas pizzas custam o mesmo que uma grande. O que será melhor para ele, comprando duas pizzas pequenas ou uma grande?

Solução

Quanto maior a área, maior a quantidade de pizza; por esse motivo, a área de uma pizza grande será calculada e comparada à de duas pizzas pequenas:

Área de pizza grande = D π D 2 = ⋅3.1416⋅45 2 = 1590.44 cm 2

Área de pizza pequena = π π d 2 = ⋅3.1416⋅30 2 = 706.86 cm 2

Portanto, duas pequenas pizzas terão uma área de 

2 x 706,86 = 1413,72 centímetros 2 .

É claro: você terá uma quantidade maior de pizza comprando uma grande do que duas pequenas.

– Exercício 2

A pizzaria “EXÓTICA” também vende uma pizza hemisférica com raio de 30 cm pelo mesmo preço que uma pizza retangular de 30 x 40 cm. Qual desses você escolheria?

Solução

Como mencionado na seção anterior, a superfície de uma esfera é quatro vezes maior que a de um círculo do mesmo diâmetro, portanto, um hemisfério com 30 cm de diâmetro terá:

Pizza hemisférica de 30 cm: 1413,72 cm 2 (dobro de uma circular do mesmo diâmetro)

Pizza retangular: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm 2 .

A pizza hemisférica tem uma área maior.

Referências

  1. Fernández J. O número e. Origem e curiosidades. Recuperado de: soymatematicas.com
  2. Aprecie matemática. Número de Euler. Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
  3. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
  4. García, M. O número e no cálculo elementar. Recuperado de: matematica.ciens.ucv.ve.
  5. Wikipedia. Número PI. Recuperado de: wikipedia.com
  6. Wikipedia. Números transcendentes. Recuperado de: wikipedia.com

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