Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Números transcendentes: o que são, fórmulas, exemplos, exercícios

Os números transcendentais são aqueles que não são obtidos como resultado de uma equação polinomial. O oposto de um número transcendente é um número algébrico , que são soluções de uma equação polinomial do tipo:

a n x n + a n-1 x n-1 + …… + a 2 x 2 + a 1 x + a = 0

Onde os coeficientes a n , a n-1 , … .. a 2 , a 1 , a são números racionais,  chamados de coeficientes do polinômio . Se um número x é uma solução para a equação acima, esse número não é transcendente.

Analisaremos alguns números e veremos se eles são transcendentes ou não:

a) 3 não é transcendente porque é uma solução de x – 3 = 0.

b) -2 não pode ser transcendente porque é uma solução de x + 2 = 0.

c) ⅓ é uma solução de 3x – 1 = 0

d) Uma solução da equação x 2 – 2x + 1 = 0 é √2 -1, portanto esse número, por definição, não é transcendente.

e) Nem é √2 porque é o resultado da equação x 2 – 2 = 0. Ao quadrado √2 resulta 2, que subtraído de 2 é igual a zero. Então √2 é um número irracional, mas não é transcendente.

O que são números transcendentes?

O problema é que não existe uma regra geral para obtê-los (mais tarde diremos um formulário), mas alguns dos mais famosos são o número pi e o número de Neper , denotados respectivamente por: π e e .

O número π

O número π aparece naturalmente ao observar que o quociente matemático entre o perímetro P de um círculo e seu diâmetro D, independentemente de ser um círculo pequeno ou grande, sempre fornece o mesmo número, chamado  pi :

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Isso significa que, se o diâmetro da circunferência for tomado como unidade de medida, para todas elas grandes ou pequenas, o perímetro será sempre P = 3,14 … = π , como pode ser visto na animação da figura 2.

Para determinar mais casas decimais, precisamos medir P e D com mais precisão e depois calcular o quociente, que foi feito matematicamente. A conclusão é que as casas decimais do quociente são infinitas e nunca se repetem; portanto, o número π não é apenas transcendente, mas também irracional .

Um número irracional é aquele número que não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros. 

Todo número transcendente é conhecido por ser irracional, mas não é verdade que todos os números irracionais sejam transcendentes. Por exemplo, √2 é irracional, mas não é transcendente.

O número e

O número transcendente e é a base dos logaritmos neperianos e sua aproximação decimal é:

e 2.718281828459045235360….

Se alguém quisesse escrever o número e exatamente, seria necessário escrever decimais infinitos, porque todo número transcendente é irracional, como foi dito anteriormente.

Os dez primeiros dígitos de e são fáceis de lembrar:

2,7 1828 1828 e, embora pareça seguir um padrão repetitivo, isso não é alcançado em decimais de ordem maior que nove.

Uma definição mais formal de e é a seguinte:

Isso significa que o valor exato de e é alcançado executando a operação indicada nesta fórmula, quando o número natural n tende ao infinito.

Isso explica por que só podemos obter aproximações de e , pois, por maior que seja o número n, sempre podemos encontrar um  n maior.

Vamos procurar algumas abordagens por conta própria:

-Quando n = 100 então (1 + 1/100) 100 = 2,70481 que dificilmente coincide no primeiro decimal com o valor “verdadeiro” de e.

-Se você escolher n = 10.000, possui (1 + 1 / 10.000) 10.000 = 2,71815 que corresponde ao valor “exato” de e nas três primeiras casas decimais.

Seria necessário continuar esse processo até o infinito para obter o valor “verdadeiro” de e. Acho que não temos tempo para fazê-lo, mas vamos fazer mais uma tentativa:

Vamos usar n = 100.000:

(1 + 1 / 100.000) 100.000 = 2.7182682372

Possui apenas quatro casas decimais que correspondem ao valor considerado exato.

O importante é entender que, quanto maior o valor de n escolhido para calcular e n , mais próximo ele estará do valor verdadeiro. Mas esse verdadeiro valor só será obtido quando n for infinito.

Outros números importantes

Além desses números famosos, existem outros números transcendentes, por exemplo:

– 2 √2

Qualquer número algébrico, diferente de 0 ou 1, elevado a um expoente irracional será um número transcendente.

-O número de Champernowne na base 10: 

C_10 = 0,123456789101112131415161718192021….

-O número de Champernowne na base 2:

C_2 = 0,1101110010110111….

-O número Gamma γ ou constante de Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Que é obtido fazendo o seguinte cálculo:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n – ln (n)

Quando n é muito, muito grande. Para ter o valor exato do número gama, seria necessário fazer o cálculo com n infinito. Algo semelhante ao que fizemos acima.

E há muitos números mais importantes. O grande matemático Georg Cantor, nascido na Rússia e que viveu entre 1845 e 1918, mostrou que o conjunto de números transcendentes é muito maior que o conjunto de números algébricos.

Fórmulas em que o número transcendente π aparece

O perímetro da circunferência

P = π D = 2 π R, onde P é o perímetro, D o diâmetro e R o raio da circunferência. Deve-se lembrar que:

-O diâmetro da circunferência é o segmento mais longo que une dois pontos e sempre passa pelo centro,

-O raio tem metade do diâmetro e é o segmento que vai do centro até a aresta.

Área de um círculo

A = π R 2 = π D 2

Superfície de uma esfera

S = 4 π R2 .

Sim. Embora possa não parecer, a superfície de uma esfera é a mesma que a de quatro círculos do mesmo raio que a esfera.

Volume de discagem

V = 4/3 π R 3

Exercícios

– Exercício 1

A pizzaria “EXÓTICA” vende pizzas de três diâmetros: 30 cm pequeno, 37 cm médio e 45 cm grandes. Uma criança está com muita fome e percebeu que duas pequenas pizzas custam o mesmo que uma grande. O que será melhor para ele, comprando duas pizzas pequenas ou uma grande?

Solução

Quanto maior a área, maior a quantidade de pizza; por esse motivo, a área de uma pizza grande será calculada e comparada à de duas pizzas pequenas:

Área de pizza grande = D π D 2 = ⋅3.1416⋅45 2 = 1590.44 cm 2

Área de pizza pequena = π π d 2 = ⋅3.1416⋅30 2 = 706.86 cm 2

Portanto, duas pequenas pizzas terão uma área de 

2 x 706,86 = 1413,72 centímetros 2 .

É claro: você terá uma quantidade maior de pizza comprando uma grande do que duas pequenas.

– Exercício 2

A pizzaria “EXÓTICA” também vende uma pizza hemisférica com raio de 30 cm pelo mesmo preço que uma pizza retangular de 30 x 40 cm. Qual desses você escolheria?

Solução

Como mencionado na seção anterior, a superfície de uma esfera é quatro vezes maior que a de um círculo do mesmo diâmetro, portanto, um hemisfério com 30 cm de diâmetro terá:

Pizza hemisférica de 30 cm: 1413,72 cm 2 (dobro de uma circular do mesmo diâmetro)

Pizza retangular: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm 2 .

A pizza hemisférica tem uma área maior.

Referências

  1. Fernández J. O número e. Origem e curiosidades. Recuperado de: soymatematicas.com
  2. Aprecie matemática. Número de Euler. Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
  3. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
  4. García, M. O número e no cálculo elementar. Recuperado de: matematica.ciens.ucv.ve.
  5. Wikipedia. Número PI. Recuperado de: wikipedia.com
  6. Wikipedia. Números transcendentes. Recuperado de: wikipedia.com

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