Quais são os limites trigonométricos? (Exercícios resolvidos)

Os limites trigonométricas são limites de funções tais que estas funções são formados por funções trigonométricas.

Existem duas definições que devem ser conhecidas para entender como o cálculo de um limite trigonométrico é realizado.

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Essas definições são:

– Limite de uma função «f» quando «x» tende a «b»: consiste em calcular o valor em que f (x) se aproxima quando «x» se aproxima de «b», sem valer «b ».

– Funções trigonométricas: as funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, denotadas por sin (x), cos (x) e tan (x), respectivamente.

As outras funções trigonométricas são obtidas das três funções mencionadas acima.

Limites de Função

Para esclarecer o conceito do limite de uma função, alguns exemplos com funções simples serão mostrados.

– O limite de f (x) = 3 quando “x” tende a “8” é igual a “3”, pois a função é sempre constante. Não importa quanto vale “x”, o valor de f (x) sempre será “3”.

– O limite de f (x) = x-2 quando “x” tende a “6” é “4”. Desde quando “x” se aproxima de “6” então “x-2” se aproxima de “6-2 = 4”.

– O limite de g (x) = x² quando “x” tende a “3” é igual a 9, pois quando “x” se aproxima de “3”, então “x²” se aproxima de “3² = 9” .

Como você pode ver nos exemplos anteriores, calcular um limite consiste em avaliar o valor no qual “x” tende na função e o resultado será o valor do limite, embora isso seja válido apenas para funções contínuas.

Existem limites mais complicados?

A resposta é sim. Os exemplos acima são os exemplos mais simples de limites. Nos livros de cálculo, os principais exercícios de limite são aqueles que geram uma indeterminação do tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.

Essas expressões são chamadas indeterminações, pois são expressões que matematicamente não fazem sentido.

Além disso, dependendo das funções envolvidas no limite original, o resultado obtido na resolução das indeterminações pode ser diferente em cada caso.

Exemplos de limites trigonométricos simples

Para resolver limites, é sempre muito útil conhecer os gráficos das funções envolvidas. Os gráficos das funções seno, cosseno e tangente são mostrados abaixo.

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Alguns exemplos de limites trigonométricos simples são:

– Calcule o limite do pecado (x) quando «x» tender a «0».

Observando o gráfico, pode-se ver que, se “x” se aproxima de “0” (esquerdo e direito), o gráfico senoidal também se aproxima de “0”. Portanto, o limite do pecado (x) quando «x» tende a «0» é «0».

– Calcule o limite de cos (x) quando «x» tender a «0».

Observando o gráfico do cosseno, pode ser visto que quando “x” está próximo de “0”, o gráfico do cosseno está próximo de “1”. Isso implica que o limite de cos (x) quando “x” tende a “0” é igual a “1”.

Um limite pode existir (seja um número), como nos exemplos anteriores, mas também pode ocorrer que ele não exista, conforme mostrado no exemplo a seguir.

– O limite de tan (x) quando “x” tende a “Π / 2” à esquerda é igual a “+ ∞”, como pode ser visto no gráfico. Por outro lado, o limite de tan (x) quando “x” tende a “-Π / 2” à direita é igual a “-∞”.

Identidades de limite trigonométricas

Duas identidades muito úteis no cálculo de limites trigonométricos são:

– O limite de “sin (x) / x” quando “x” tende a “0” é igual a “1”.

– O limite de «(1-cos (x)) / x» quando «x» tende a «0» é igual a «0».

Essas identidades são usadas com muita frequência quando há algum tipo de indeterminação.

Exercícios resolvidos

Resolva os seguintes limites usando as identidades descritas acima.

– Calcule o limite de «f (x) = sin (3x) / x» quando «x» tender a «0».

Se a função «f» for avaliada em «0», será obtida uma indeterminação do tipo 0/0. Portanto, devemos tentar resolver essa indeterminação usando as identidades descritas.

A única diferença entre esse limite e a identidade é o número 3 que aparece na função seno. Para aplicar a identidade, a função “f (x)” deve ser reescrita da seguinte forma “3 * (sin (3x) / 3x)”. Agora, o argumento seno e o denominador são iguais.

Portanto, quando “x” tende a “0”, o uso da identidade resulta em “3 * 1 = 3”. Portanto, o limite de f (x) quando «x» tende a «0» é igual a «3».

– Calcule o limite de «g (x) = 1 / x – cos (x) / x» quando «x» tender a «0».

Quando “x = 0” é substituído em g (x), é obtida uma indeterminação do tipo ∞-∞. Para resolvê-lo, as frações são subtraídas primeiro, o que resulta em «(1-cos (x)) / x».

Agora, ao aplicar a segunda identidade trigonométrica, temos que o limite de g (x) quando «x» tende a «0» é igual a 0.

– Calcule o limite de «h (x) = 4tan (5x) / 5x» quando «x» tender a «0».

Novamente, se h (x) for avaliado em “0”, será obtida uma indeterminação do tipo 0/0.

Reescrevendo como (5x) como sin (5x) / cos (5x), verifica-se que h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Usando isso, o limite de 4 / cos (x) quando “x” tende a “0” é igual a “4/1 = 4” e a primeira identidade trigonométrica é obtida de que o limite de h (x) quando “x” tende a «0» é igual a «1 * 4 = 4».

Observação

Os limites trigonométricos nem sempre são fáceis de resolver. Apenas exemplos básicos foram mostrados neste artigo.

Referências

  1. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática Pré-cálculo. Prentice Hall PTR.
  2. Fleming, W. & Varberg, DE (1989). Matemática pré-cálculo: uma abordagem de resolução de problemas (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
  3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  4. Larson, R. (2010). Pré-cálculo (8 ed.). Cengage Learning
  5. Leal, JM e Viloria, NG (2005). Geometria analítica plana. Mérida – Venezuela: Editorial Venezolana CA
  6. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  7. Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo (Nona ed.). Prentice Hall.
  8. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial com funções transcendentes iniciais para Ciência e Engenharia (Segunda Edição, ed.). Hipotenusa
  9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Parte: Analytical Conics (1907) (reimpressão ed.). Fonte de Raios
  10. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.

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