Os limites trigonométricas são limites de funções tais que estas funções são formados por funções trigonométricas.
Existem duas definições que devem ser conhecidas para entender como o cálculo de um limite trigonométrico é realizado.
Essas definições são:
– Limite de uma função «f» quando «x» tende a «b»: consiste em calcular o valor em que f (x) se aproxima quando «x» se aproxima de «b», sem valer «b ».
– Funções trigonométricas: as funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, denotadas por sin (x), cos (x) e tan (x), respectivamente.
As outras funções trigonométricas são obtidas das três funções mencionadas acima.
Limites de Função
Para esclarecer o conceito do limite de uma função, alguns exemplos com funções simples serão mostrados.
– O limite de f (x) = 3 quando “x” tende a “8” é igual a “3”, pois a função é sempre constante. Não importa quanto vale “x”, o valor de f (x) sempre será “3”.
– O limite de f (x) = x-2 quando “x” tende a “6” é “4”. Desde quando “x” se aproxima de “6” então “x-2” se aproxima de “6-2 = 4”.
– O limite de g (x) = x² quando “x” tende a “3” é igual a 9, pois quando “x” se aproxima de “3”, então “x²” se aproxima de “3² = 9” .
Como você pode ver nos exemplos anteriores, calcular um limite consiste em avaliar o valor no qual “x” tende na função e o resultado será o valor do limite, embora isso seja válido apenas para funções contínuas.
Existem limites mais complicados?
A resposta é sim. Os exemplos acima são os exemplos mais simples de limites. Nos livros de cálculo, os principais exercícios de limite são aqueles que geram uma indeterminação do tipo 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 e (∞) ^ 0.
Essas expressões são chamadas indeterminações, pois são expressões que matematicamente não fazem sentido.
Além disso, dependendo das funções envolvidas no limite original, o resultado obtido na resolução das indeterminações pode ser diferente em cada caso.
Exemplos de limites trigonométricos simples
Para resolver limites, é sempre muito útil conhecer os gráficos das funções envolvidas. Os gráficos das funções seno, cosseno e tangente são mostrados abaixo.
Alguns exemplos de limites trigonométricos simples são:
– Calcule o limite do pecado (x) quando «x» tender a «0».
Observando o gráfico, pode-se ver que, se “x” se aproxima de “0” (esquerdo e direito), o gráfico senoidal também se aproxima de “0”. Portanto, o limite do pecado (x) quando «x» tende a «0» é «0».
– Calcule o limite de cos (x) quando «x» tender a «0».
Observando o gráfico do cosseno, pode ser visto que quando “x” está próximo de “0”, o gráfico do cosseno está próximo de “1”. Isso implica que o limite de cos (x) quando “x” tende a “0” é igual a “1”.
Um limite pode existir (seja um número), como nos exemplos anteriores, mas também pode ocorrer que ele não exista, conforme mostrado no exemplo a seguir.
– O limite de tan (x) quando “x” tende a “Π / 2” à esquerda é igual a “+ ∞”, como pode ser visto no gráfico. Por outro lado, o limite de tan (x) quando “x” tende a “-Π / 2” à direita é igual a “-∞”.
Identidades de limite trigonométricas
Duas identidades muito úteis no cálculo de limites trigonométricos são:
– O limite de “sin (x) / x” quando “x” tende a “0” é igual a “1”.
– O limite de «(1-cos (x)) / x» quando «x» tende a «0» é igual a «0».
Essas identidades são usadas com muita frequência quando há algum tipo de indeterminação.
Exercícios resolvidos
Resolva os seguintes limites usando as identidades descritas acima.
– Calcule o limite de «f (x) = sin (3x) / x» quando «x» tender a «0».
Se a função «f» for avaliada em «0», será obtida uma indeterminação do tipo 0/0. Portanto, devemos tentar resolver essa indeterminação usando as identidades descritas.
A única diferença entre esse limite e a identidade é o número 3 que aparece na função seno. Para aplicar a identidade, a função “f (x)” deve ser reescrita da seguinte forma “3 * (sin (3x) / 3x)”. Agora, o argumento seno e o denominador são iguais.
Portanto, quando “x” tende a “0”, o uso da identidade resulta em “3 * 1 = 3”. Portanto, o limite de f (x) quando «x» tende a «0» é igual a «3».
– Calcule o limite de «g (x) = 1 / x – cos (x) / x» quando «x» tender a «0».
Quando “x = 0” é substituído em g (x), é obtida uma indeterminação do tipo ∞-∞. Para resolvê-lo, as frações são subtraídas primeiro, o que resulta em «(1-cos (x)) / x».
Agora, ao aplicar a segunda identidade trigonométrica, temos que o limite de g (x) quando «x» tende a «0» é igual a 0.
– Calcule o limite de «h (x) = 4tan (5x) / 5x» quando «x» tender a «0».
Novamente, se h (x) for avaliado em “0”, será obtida uma indeterminação do tipo 0/0.
Reescrevendo como (5x) como sin (5x) / cos (5x), verifica-se que h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).
Usando isso, o limite de 4 / cos (x) quando “x” tende a “0” é igual a “4/1 = 4” e a primeira identidade trigonométrica é obtida de que o limite de h (x) quando “x” tende a «0» é igual a «1 * 4 = 4».
Observação
Os limites trigonométricos nem sempre são fáceis de resolver. Apenas exemplos básicos foram mostrados neste artigo.
Referências
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