Critérios de divisibilidade: o que são, para que servem e as regras

C CRITÉRIOS divisibilidade são argumentos teóricos utilizados para determinar se um número inteiro é divisível por outro inteiro. Como as divisões devem ser exatas, esse critério se aplica apenas ao conjunto de números inteiros Z. Por exemplo, a figura 123 é divisível por três, de acordo com o critério de divisibilidade de 3, que será especificado posteriormente.

Diz-se que uma divisão é exata se seu resíduo for igual a zero, sendo o resíduo o valor diferencial obtido no método tradicional de divisão manual. Se o resíduo for diferente de zero, a divisão é imprecisa e é necessário expressar a figura resultante com valores decimais.

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Quais são os critérios de divisibilidade?

Sua maior utilidade é estabelecida antes de uma divisão manual tradicional, onde é necessário saber se uma figura inteira será obtida após a divisão.

Eles são comuns na obtenção de raízes pelo método de Ruffini e outros procedimentos relacionados à fatoração. Essa é uma ferramenta bem conhecida para estudantes que, por razões pedagógicas, ainda não estão autorizados a usar calculadoras ou ferramentas de cálculo digital.

Regras mais comuns

Existem critérios de divisibilidade para muitos números inteiros, que são usados ​​principalmente para trabalhar com números primos. No entanto, eles também podem ser aplicados com outros tipos de números. Alguns desses critérios são definidos abaixo.

Critérios de divisibilidade de um “1”

Não há critério específico de divisibilidade para o número um. É necessário apenas estabelecer que todo número inteiro é divisível por um . Isso ocorre porque todo número multiplicado por um permanece inalterado.

Critério de divisibilidade de dois “2”

Alega-se que um número é divisível por dois se seu último dígito ou número referente a unidades for zero ou par .

Os seguintes exemplos são observados:

234: É divisível por 2 porque termina em 4, que é o número par.

2035: Não é divisível por 2, já que 5 não é par.

1200: É divisível por 2 porque seu último dígito é zero.

Critérios de divisibilidade de três “3”

Uma figura será divisível por três se a soma de seus dígitos separadamente for igual a um número múltiplo de três.

123: É divisível por três, uma vez que a soma de seus termos 1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2

451: Não é divisível por 3, o que é verificado verificando que 4 + 5 +1 = 10, não é um múltiplo de três.

Critérios de divisibilidade de quatro “4”

Para determinar se um número é múltiplo de quatro, é necessário verificar se seus dois últimos dígitos são 00 ou múltiplo de quatro.

3822: Observando seus dois últimos dígitos “22”, é detalhado que eles não são múltiplos de quatro, portanto, o número não é divisível por 4.

644: Sabe-se que 44 = 4 x 11, para que 644 seja divisível por quatro.

3200: Sendo seus últimos números 00, conclui-se que o número é divisível por quatro.

Critérios de divisibilidade dos cinco “5”

É bastante intuitivo que o critério de divisibilidade de cinco seja que seu último dígito seja igual a cinco ou zero. Como a tabela de cinco mostra que todos os resultados terminam com um desses dois números.

350, 155 e 1605 são divisíveis por cinco, de acordo com este critério.

Critério de separabilidade de seis “6”

Para que um número seja divisível por seis, deve-se concluir que é divisível ao mesmo tempo entre 2 e 3. Isso faz sentido, porque a decomposição de 6 é igual a 2 × 3.

Para verificar a divisibilidade por seis, os critérios correspondentes a 2 e 3 são analisados ​​separadamente.

468: Para terminar em número par, ele cumpre o critério de divisibilidade por 2. Ao adicionar separadamente os dígitos que compõem a figura, você obtém 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6. O critério de divisibilidade 3 é atendido. Portanto, 468 é divisível por seis.

622: O número par correspondente às unidades indica que é divisível por 2. Mas, adicionando seus dígitos separadamente 6 + 2 + 2 = 10, não é um múltiplo de 3. Dessa forma, verifica-se que 622 não é divisível por seis .

Critério de separabilidade de sete “7”

Para este critério, o número completo deve ser separado em 2 partes; unidades e resto do número. O critério da divisibilidade por sete será que a subtração entre o número sem as unidades e o dobro das unidades seja igual a zero ou um múltiplo de sete.

Isso é melhor compreendido por exemplos.

133: O número sem as unidades é 13 e o dobro das unidades é 3 × 2 = 6. Desta forma, a subtração é realizada. 13 – 6 = 7 = 7 × 1. Isso garante que 133 seja divisível por 7.

8435: É executada a subtração 843-10 = 833. Quando se observa que 833 ainda é muito grande para determinar a divisibilidade, o processo é aplicado novamente. 83 – 6 = 77 = 7 x 11. Verifica-se que 8435 é divisível por sete.

Critério de separabilidade de oito “8”

Os últimos três dígitos do número devem ser 000 ou um múltiplo de 8.

3456 e 73000 são divisíveis por oito.

Critérios de divisibilidade dos nove “9”

Semelhante ao critério de divisibilidade de três, deve-se verificar que a soma de seus dígitos separadamente é igual a um múltiplo de nove.

3438: Quando a soma é feita, é obtido 3 + 4 + 3 + 8 = 18 = 9 x 2. É verificado que 3438 é divisível por nove.

1451: Adicionando os dígitos separadamente, 1 + 4 + 5 + 1 = 11. Como não é um múltiplo de nove, verifica-se que 1451 não é divisível por nove.

Critérios de divisibilidade de dez “10”

Somente números terminando em zero serão divisíveis por dez.

20, 1000 e 2030 são divisíveis por dez.

Critérios de divisibilidade de onze “11”

Esse é um dos mais complexos, porém trabalhar em ordem garante sua fácil verificação. Para que um número seja divisível por onze, deve-se observar que a soma dos dígitos na posição par, menos, a soma dos dígitos na posição ímpar é igual a zero ou um múltiplo de onze.

39.369: A soma dos números pares será 9 + 6 = 15. E a soma dos números das posições ímpares é 3 + 3 + 9 = 15. Assim, subtraindo 15 – 15 = 0, verifica-se que 39.369 é divisível por onze.

Referências

  1. Critérios de Divisibilidade. NN Vorobyov. Universidade de Chicago Press, 1980
  2. Teoria elementar dos números em nove capítulos. James J. Tattersall. Cambridge University Press, 14 de outubro 1999
  3. História da teoria dos números: divisibilidade e primalidade. Leonard Eugene Dickson. Chelsea Pub. Co., 1971
  4. Divisibilidade por 2 potências de determinados números de classes quadráticas. Peter Stevenhagen Universidade de Amsterdã, Departamento de Matemática e Ciência da Computação, 1991
  5. Aritmética Elementar Enzo R. Gentile. Secretaria-Geral da Organização dos Estados Americanos, Programa Regional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, 1985

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