Hipercubo: definição, dimensões, coordenadas, divisão

Hipercubo: definição, dimensões, coordenadas, divisão

Um hipercubo é um cubo de dimensão n. O caso particular do hipercubo quadridimensional é chamado teseracto . Um hipercubo ou cubo n consiste em segmentos retos, todos de igual comprimento, ortogonais em seus vértices.

Os seres humanos percebem o espaço tridimensional: largura, altura e profundidade, mas não é possível visualizar um hipercubo com dimensão maior que 3. 

No máximo, podemos fazer projeções dele no espaço tridimensional para representá-lo, semelhante à maneira como projetamos um cubo em um plano para representá-lo.

Na dimensão 0, a única figura é o ponto; portanto, um cubo 0 é um ponto. Um cubo 1 é um segmento reto, formado por mover um ponto em uma direção a uma distância a.

Por seu lado, um cubo 2 é um quadrado. É construído movendo o cubo 1 (o segmento longo a) na direção y, ortogonal à direção x, a uma distância a.

O cubo 3 é o cubo comum. Ele é construído a partir do quadrado movendo-o na terceira direção (z), ortogonal às direções xey, a uma distância a .

O 4-cubo é o tesseracto, o qual é construído a partir de um 3-cubo movendo-ortogonal, uma distância de , no sentido de uma quarta dimensão (ou quarta direcção), o qual não pode perceber.

Um tesserato tem todos os seus ângulos retos, possui 16 vértices e todas as suas arestas (18 no total) têm o mesmo comprimento a .

Se o comprimento das arestas de um cubo n ou hipercubo de dimensão n for 1, é um hipercubo unitário, no qual a diagonal mais longa mede √n.

Quais são as dimensões?

As dimensões são graus de liberdade ou as possíveis direções nas quais um objeto pode ser movido.

Na dimensão 0, não há possibilidade de movimento e o único objeto geométrico possível é o ponto.

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Uma dimensão no espaço euclidiano é representada por uma linha ou eixo orientado que define essa dimensão, chamada eixo X. A separação entre dois pontos A e B é a distância euclidiana:

d = √ [(x a – x b ) 2 ]. 

Em duas dimensões, o espaço é representado por duas linhas orientadas ortogonais entre si, chamadas eixo X e eixo Y.

A posição de qualquer ponto neste espaço bidimensional é dada por seu par de coordenadas cartesianas (x, y) e a distância entre quaisquer dois pontos A e B será:

d = √ [(x a – x b ) 2  + (y a – y b ) 2 ]

Porque é um espaço onde a geometria de Euclides é cumprida.

Espaço tridimensional

Espaço tridimensional é o espaço em que nos movemos. Ele tem três direções: largura, altura e profundidade.

Em uma sala vazia, os cantos perpendiculares entre si dão essas três direções e para cada uma podemos associar um eixo: X, Y, Z.

Esse espaço também é euclidiano e a distância entre dois pontos A e B é calculada da seguinte forma:

d = √ [(x a – x b ) 2  + (y a – y b ) 2  + (z a – z b ) 2 ]

Os seres humanos não podem perceber mais de três dimensões espaciais (ou euclidianas).

No entanto, do ponto de vista estritamente matemático, é possível definir um espaço euclidiano n-dimensional.

Nesse espaço, um ponto possui coordenadas: (x1, x2, x3,… .., xn) e a distância entre dois pontos é: 

d = √ [(x 1a – x 1b ) 2 + (x 2a – x 2b ) 2 +… .. + (x na – x nb ) 2 ].

A quarta dimensão e tempo

De fato, na teoria da relatividade, o tempo é tratado como mais uma dimensão e uma coordenada é associada a ele.

Mas deve ser esclarecido que essa coordenada associada ao tempo é um número imaginário. Portanto, a separação de dois pontos ou eventos no espaço-tempo não é euclidiana, mas segue a métrica de Lorentz.

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Um hipercubo quadridimensional (o tesserato) não vive no espaço-tempo, pertence a um hiperespaço euclidiano quadridimensional. 

As coordenadas de um hipercubo

As coordenadas dos vértices de um cubo n centrado na origem são obtidas fazendo todas as permutações possíveis da seguinte expressão:

(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)

Onde a é o comprimento da aresta.

-O volume de um n-cubo da aresta a é: (a / 2) n (2 n ) = a n .

-A diagonal mais longa é a distância entre os vértices opostos.

-Os seguintes são vértices opostos em um quadrado : (-1, -1) e (+1, +1).

-E em um cubo : (-1, -1, -1) e (+1, +1, +1). 

-A diagonal mais longa de um n-cubo mede: 

d = √ [1 – (- 1)) 2 + … + (1 – (- 1)) 2 ] = √ [n 2 2 ] = 2√n

Nesse caso, assumiu-se que o lado é a = 2. Para um n-cubo, qualquer um será:

d = a√n.

-Um tesseract possui cada um de seus 16 vértices conectados a quatro arestas. A figura a seguir mostra como os vértices são conectados em um tesseract.

Desdobramento de um hipercubo

Uma figura geométrica regular, por exemplo, um poliedro, pode ser dividida em várias figuras dimensionais menores.

No caso de um cubo 2 (um quadrado), ele pode ser dividido em quatro segmentos, ou seja, quatro cubos 1.

Da mesma forma, um cubo 3 pode ser dividido em seis 2 cubos.

Um cubo de 4 (tesseract) pode ser dividido em oito 3 cubos.

A animação a seguir mostra o desenvolvimento de um tesseract.

Referências

  1. Cultura científica. Hipercubo, visualizando a quarta dimensão. Recuperado de: culturacientifica.com
  2. Epsilones. Hipercubo tetradimensional ou tesserato. Recuperado de: epsilones.com
  3. Perez R, Aguilera A. Um método para obter um tesserato a partir do desenvolvimento de um hipercubo (4D). Recuperado de: researchgate.net
  4. Wikilivros. Matemática, Poliedros, Hipercubos. Recuperado de: es.wikibooks.org
  5. Wikipedia. Hypercube. Recuperado de: en.wikipedia.com
  6. Wikipedia. Tesseract. Recuperado de: en.wikipedia.com

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